[PDF] Chapitre 2 Formes bilin´eaires sym´etriques, formes - CAS

Chapitre 2 Formes bilin´eaires sym´etriques, formes - CAS

Une forme quadratique q est dite non d´eg´en´er´ee quand sa forme polaire l’est On d´efinit le noyau et le rang d’une forme quadratique comme ceux de sa forme polaire De mˆeme, l’orthogonal d’un sous-espace pour une forme quadratique est son orthogonal pour la forme polaire

Algèbre bilinéaire

ii) Tout hyperplan de E est le noyau d’au moins une forme linéaire non nulle de E iii) Si j et y sont deux formes linéaires non nulles de E Alors ker(j)=ker(y)()9l2K : y=lj Proposition 1 3 Preuve i) Soit j une forme linéaire non nul sur E, alors on sait que E=ker(j) est isomorphe à Im(j) Puisque j6=0, alors Im(j)6=f0

Sur les intégrales attachées aux formes automorphes

forme bilinéaire non dégénérée invariante par la peprésentation p Elle est n symétrique si n est paire,et alternée si n est impaire En effet, la représentation contragradiente de la représentation pn est irré-ductible de dimension n + 1 ,donc isomorphe à la représentation pn ,ce qui

Série N : Formes linéaires, Produit mixte et produit vectoriel

1 Montrer que fest une forme bilinéaire 2 Déterminer bpour que fsoit dégénérée 3 Trouver les noyaux des deux homomorphismes associés canoniquement à f 4 Déterminer le rang de fselon les valeurs de b Exercice 3 Dans R3, on considèreles vecteursx= (1,1,1)T, y= (2,3,4)T et z= (4,9,16)T relativement à la base canonique B de R3 1

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L

LEMME 0 2 1 Soient E un espace vectoriel sur Z/2 de dimension fini, muni d'une forme quadratique q non dégénérée, 1 un sous-espace vectoriel de E tel que 1 = I1, et u un élément de E tel que q (x) = u x pour tout x de 1 {on note la forme bilinéaire associée à q) Alors l'invariant de Arf de q est q(u) 0 2 2

The Batalin-Vilkovisky Algebra on Hochschild Cohomology

résultat au cas d’une algèbre A-infinie unitaire munie d’une forme bilinéaire symé-trique A-infinie non dégénérée 1 Introduction M Gerstenhaber [8] showed that for any associative algebra A, the Hochschild-cohomology H•(A,A) has a Gerstenhaber-structure More pre-

51MT2MM4 : Algèbre et analyse fondamentales II Pré requis

Forme bilinéaire symétrique et forme quadratique (sur R) · forme bilinéaire symétrique, forme quadratique, identité de polarisation ; vecteurs orthogonaux, orthogonal d’un sous-espace ; forme non dégénérée ; · (en dimension finie) matrice d’une forme bilinéaire dans une base, expression matricielle ; formule de changement de base ;

Daniel ALIBERT Formes quadratiques Espaces vectoriels

Soit E un espace vectoriel réel, et q une forme quadratique sur E Si q(x) ≥ 0, pour tout x de E, on dit que q (ou sa forme polaire) est positive Sur Rn, la forme quadratique canonique est non dégénérée et positive Soit φ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur un espace vectoriel réel de dimension finie

Série No4 : Formes linéaires et Formes quadratiques

Déterminer le rang de l’application bilinéaire f Exercice 5 Soit E = R[x] l’espace vectoriel sur R des fonctions polynômiale en x Pour tout polynôme P, soit fP l’application sur E qui associe, à tout polynôme Q, le nombre fP(Q) = Z 1 0 P(x)Q0(x)dx + Z 1 0 P0(x)Q(x)dx 1 Montrer que fP est une forme linéaire sur E 2

Sommaire - AlloSchool

1 3 Forme quadratique définie positive Définition : q une forme quadratique, on dit que q est positive ,8u 2E; q(u) >0 Définition : q une forme quadratique positive, on dit que q est définie-positive ,8u 2E;(q(u) = 0 ,u = 0) On dit aussi que q est positive non-dégénérée Le même vocabulaire s’applique à la forme bilinéaire

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Chapitre 2

Formes bilin´eaires sym´etriques,

formes quadratiques

2.1 Formes bilin´eaires sym´etriques

Dans ce qui suit,Eest un espace vectoriel sur un corpsK.

2.1.1 D´efinition

D´efinition 2.1

Une application

b:E×E-→K est appel´ee uneforme bilin´eairequand ?x1,x2,y?E?λ?Kb(x1+λx2,y) =b(x1,y) +λb(x2,y) ?x,y1,y2?E?λ?Kb(x,y1+λy2) =b(x,y1) +λb(x,y2) (bilin´earit´e = lin´earit´e `a gauche + lin´earit´e `a droite).

On dit quebestsym´etriquequand

?x,y?E b(x,y) =b(y,x). Remarquer que la sym´etrie permet de ne v´erifier la lin´earit´e que d"un seul cˆot´e.

Exemples:

1. E=K. La multiplication (x,y)?→xyest une forme bilin´eaire sym´etrique surK×K. 5

6CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES

2.

E=R2. Le produit scalaire usuel

µµx1

x 2 ,µy1 y

2

?→x1y1+x2y2 est une forme bilin´eaire sym´etrique surR2×R2. 3.

E=C([-1,1],R). L"application

C

0([-1,1],R)× C0([-1,1],R)-→R

(f,g)?-→Z 1 -1f(t)g(t)dt est une forme bilin´eaire sym´etrique. 4.

E=Mn(K). L"application

M n(K)×Mn(K)-→K (A,B)?-→trace(AB) est une forme bilin´eaire sym´etrique (v´erifier la sym´etrie).

2.1.2 Matrice d"une forme bilin´eaire sym´etrique

On suppose

Ede dimension finien. SoitE= (e1,...,en) une base deE. Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique surE×E.

D´efinition 2.2

La matriceME(b)debdans la baseEest la matrice sym´etrique n×nqui a pour coefficientsb(ei,ej)(i num´ero de ligne entre 1 etn,jnum´ero de colonne entre 1 etn). Sixetysont des ´el´ements deEdont les vecteurs colonnes de coordonn´ees dans la baseEsontXetYrespectivement, on a b(x,y) =tX ME(b)Y . Dans l"autre sens, siMest une matrice sym´etrique dansMn(K), alors (x,y)?→tX M Y(o`uXetYsont les vecteurs colonnes des coordonn´ees de xetydans la baseE) est bien une forme bilin´eaire sym´etrique.

Exemple:µ3 1

1-2

est la matrice (dans la base canonique) de la forme bilin´eaire sym´etrique

µµx1

x 2 ,µy1 y

2

?-→3x1y1-2x2y2+x1y2+x2y1. SoitE?une autre base deEetPla matrice de changement de base deE `aE?.

2.1. FORMES BILIN

´EAIRES SYM´ETRIQUES7

Rappel : Changement de base.

D´efinition 2.3

La matrice de changement de base deE`aE?= (e?1,...,e?n)est la matrice inversibleP dont laj-`eme colonne est form´ee des coordonn´ees dee?jdans la baseE.

Proposition 2.4

Soitxun ´el´ement deE,X(respX?) le vecteur colonne de ses coodonn´ees dansE (resp.E?). AlorsX=P X?. Soituun endomorphisme deE,M(resp.M?) sa matrice dans la baseE (resp.E?). AlorsM?=P-1AP. Proposition 2.5 (Changement de base pour les f.b.s.)

La matrice de

la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle baseE?est M

E?(b) =tP ME(b)P .

2.1.3 Forme bilin´eaire et dualit´e

Soitb:E×E→Kune forme bilin´eaire sym´etrique. Pour toutx?E, l"application b(·,x) :E-→K y?-→b(y,x) est une forme lin´eaire surK, c"est `a dire un ´el´ement du dualE?.

Proposition 2.6

L"application

b:E-→E? x?-→b(·,x) est lin´eaire. On appelle?bl"application lin´eaire deEdans son dual associ´ee `a la forme bilin´eaire sym´etriqueb. SiEest de dimension finie etEest une base deE, alors la matrice debdansEest ´egale `a la matricequotesdbs_dbs2.pdfusesText_2