Série N : Formes linéaires, Produit mixte et produit vectoriel

Cherche y sous la forme λx+u 2- Construire une base U E =(x,u2,···,u n)deE telle que φ(x,u i) = 0 Par la question pr´ ec´edente en d´eduire l’existence de y i ∈ C(φ)delaformex+λ iu i Pour construire U E,consid´erer la forme lin´eaire non nulle u → φ(x,u) Son noyau (k·x)⊥ est un hyperplan H de E contenant x Soit(x,e2

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL

Définition 1 1 5 UnP forme symplectique est une forme bilinéaire antisymé triquP non dégénérée Définition 1 1 6 Un espace vectorid symplectique (V,w), est un espace vectoriel V muni d'une forme symplectique w De plus, si W C V est un sous-espace de V, on dit que W est :

ALGÈBRE IV NOTES DU COURS - UniFI

forme bilinéaire ’n’est ni symétrique ni antisymétrique Cependant dans ce casonaurait? — Soit ’une forme bilinéaire symétrique ou antisymé-

Formes linéaires et hyperplans en dimension nie Exemples et

5 3 Rang, noyau d'une forme bilinéaire ou quadratique Orthogonalité Proposition 11 Les applications I et J ont le même ang,r que l'on appelera le angr de a Le anrg d'une forme quadratique sera le angr de sa forme olairpe Proposition 12 Le angr de a est galé au anrg de de sa matrice dans 'imnortep quelle aseb de E Dé nition 12

Série N : Formes linéaires, Produit mixte et produit vectoriel

(a) Montrer que fP est une forme linéaire sur E (b) Trouver les polynômes Pde degré 2 tels que fP soit orthogonal aux polynômes 1 et x 3 On munit R3 de la forme bilinéaire canonique, c’est-à-dire le produit scalaire Trouver les

CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques

CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques 2009-2010 Exercice 1 Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel elér V et soit q sa forme quadratique associée 1 Montrer l'identité de Cauchy

Chapitre 5 Formes quadratiques et matrices sym´etriques

Chapitre 5 Matrices sym´etriques et formes quadratiques 71 “en coordonn´ees rectangulaires”, f(X,Y)= " ix iy i,etlanormecarr´eeQ(X)= i x 2 Un espace vectoriel dot´e d’une forme bilin´eaire d´eﬁnie positive est appel´e espace euclidien

1 Formes multilinéaires et déter- minant - Free

Déﬁnition Soit E un k-espacevectoriel Soit f une forme p-linéairedéﬁnie sur un k-espacevectoriel E Si p=2, on dit que f est une forme bilinéaire Si p=3, on dit que f est une forme trilinéaire Déﬁnition Soit E un k-espacevectoriel Une forme p-linéaireest dite alternée si pour tout (x1, ,xp) Ep vériﬁant i j 1 p i

FORMES QUADRATIQUES ET HERMITIENNES I

d) Soient l ∈ E∗ telle que (A,B) 7→l(AB) soit une forme bilinéaire symétrique Montrer que la forme l est proportionnelle à la forme t race, c'est à dire qu'il existe λ ∈ R tel que l = λtr e) Montrer que la forme trace induit une norme sur le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M n(R)

Séminaire Jean Leray Sur les équations aux dérivées partielles

La valeur de la forme extérieure 1 sur un couple de vecteurs de Z sera notée [zgzt] ; c est une fonction numérique réelle, bilinéaire, antisymé trique et de rang maximum : (6) si z est tel que (l ztEZ) = 0, alors z = 0 Autrement dit est une forme symplectique ; sa donnée munit Z d une structure symplecticme § 2

[PDF] les différents types de textes et leurs caractéristiques

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ENSA d"Al-HoceimaAnnée 2020/2021

CP-II, 2ème année,Semestre 3

Algèbre Quadratique,TD5

SérieNo5: Formes linéaires, Produit mixte et produit vectoriel

Exercice 1

1. Soient (e1,e2,e3) une base d"un espace vectoriel réelE, (e?1,e?2,e?3) la base duale deE?.

Montrer que (2e1,5e2,-e3) est une base deE, et que la base duale est (1

2e?1,15e?2,-e?3).

2. SoietEl"espace vectoriel des polynômes enxà coefficients réels. Pour tout polynômeP,

soitfPla fonction surEqui associe, à tout polynômeQ, le nombre?1

0P(x)Q(x)dx.

(a) Montrer quefPest une forme linéaire surE (b) Trouver les polynômesPde degré 2 tels quefPsoit orthogonal aux polynômes 1 etx.

3. On munitR3de la forme bilinéaire canonique, c"est-à-dire le produit scalaire. Trouver les

éléments deR3orthogonaux àu= (2,-1,-1) et àv= (1,3,-4).

4. SoitEun espace vectoriel,uun automorphisme deE. Montrer que, pour toutn?Z, on a

t(un) = (tu)n.

Exercice 2

On considère l"applicationf:R2×R2→R, ((x,y),(x?,y?))?→2xx?-4xy?+ 5x?y+byy?.

1. Montrer quefest une forme bilinéaire.

2. Déterminerbpour quefsoit dégénérée.

3. Trouver les noyaux des deux homomorphismes associés canoniquement àf.

4. Déterminer le rang defselon les valeurs deb.

Exercice 3

DansR3, on considère les vecteursx= (1,1,1)T, y= (2,3,4)Tetz= (4,9,16)Trelativement

à la base canoniqueBdeR3.

1. Calculer det

B(x,y,z). En déduire que le système{x,y,z}est une autre base deR3.

2. Calculer les coordonnées des vecteursx?y,y?zetz?x.

3. Calculer la norme de chacun des vecteursx,y,z,x?y,y?zetz?x, puis en déduire les

angles?xy,?yzet?zx.

Exercice 4

SoitEun espace vectoriel ordinaire. On donne un repère orthonormé (O,i,j,k). SoientAetB deux points deEde coordonnées respectives (-2,1,0) et (2,-1,1).

1. (a) Soit le pointMde coordonnées (x,y,z). Déterminer les coordonnées du vecteur (--→OA?--→OB)?--→OMen fonction dex,yetz.

(b) Déterminer less équations de l"ensemble des pointsMvérifiant (--→OA?--→OB)?--→OM=k

2. SoitCetDdeux points deEde coordonnées respectives (1,3,0) et (-1,-10,-1). On affecte

le pointAde coefficient 2, le pointBdu coefficients 1, le pointCdu coefficient 3 et le point

Ddu coefficient 1.

(a) Déterminer le barycentre des quatre pointsA,B,CetDaffectés de leurs coefficients respectifs. (b) SoitIle milieu du segment [BD] etJle point vérifiant 2-→JA+ 3-→JC= 0E.

Montrer que les pointsO,IetJsont alignés.

3. Déterminer l"angle?(--→OA,--→OB).

Exercice 5

SoientAetBdeux vecteurs non nuls d"un espace vectorielE.

1. Donner une condition nécessaire surAetBpour qu"il existeX?Etel queX?A=B.

2. On suppose queA·B= 0.

Déterminer l"ensembleDdes vecteursX?Etels queX?A=B.

Exercice 6

On désigne parEun espace vectoriel de dimeensionnsur un corps commutatifKet on rappelle

que le produit extérieur??ψde 2 formes linéaires surEest la forme bilinéaire alternée définie

par : (??ψ)(x,y) =?(x)ψ(y)-?(y)ψ(x).

1. Montrer que si?1,...,?nsont des formes linéaires indépendantes, les produits?i??j,

oùi < jsont des formes bilinéaires indépendantes (on pourra utiliser des bases duales de l"espaceEet de son dual).

2. On considèrepformes linéaires indépendantes?1,...,?petpformes linéairesψ1,...,ψp

telles que :p? i=1? i?ψi= 0. Montrer que les formesψisont des combinaisons linéaires des formes?iet que la matrice des coefficients est symétrique.

Exercice 7

SoitEunR-espace vectoriel muni d"une baseB={e1,e2,e3}. Pour tout (X,X?) = ((x,y,z)T,(x?,y?,z?)T) dansR3×R3, on définitFpar

F(X,X?) =-2yx?+ 2xy?-2zy?+βyz?-3xz?+ 3zx?.

1. Déterminer la valeur deβpour queFsoit une application bilinéaire alternée.

2. Déterminer une matrice M telle queF(X,X?) = (MX,X?) =X?TMX.

3. Soit L un application surEtelle que L(x,y,z) = MX. Montrer que L est linéaire antisymé-

trique, puis déterminer un vecteur-→Rtel que L(x,y,z) =-→R ?X.

Exercice 8

Soitαetγdeux réels fixés, etEunR-espace vectoriel muni d"une baseβ={e1,e2,e3}. Pour tout (X,X?) = ((x,y,z)T,(x?,y?,z?)T) dansR3×R3, on définitFpar

F(X,X?) =-2yx?+αxy?-2zy?+γyz?+ 3xz?-3zx?.

1. Déterminer les valeurs deαetγpour queFsoit une application bilinéaire alternée.

2. Déterminer une matrice M telle queF(X,X?) = (MX,X?) =X?TMX.

3. Soit L un application surEtelle que L(x,y,z) = MX. Montrer que L est linéaire antisymé-

trique, puis déterminer un vecteur-→Rtel que L(x,y,z) =-→R ?X.

Exercice 9

SoientEun espace vectoriel euclidien de dimension finien. la matricePde la projection orthogonalepsurH.

2. Exprimer les coefficientspijde la matriceP.

2 parUila matrice colonne des coordonnées du vecteursuidans une base deE. Déterminer la matricePde la projection orthogonale surF.

Exercice 10

SoitEun espace euclidien de dimension finien,fun opérateur orthogonal deEetFun sous- espace vectoriel deEinvariant parf. Montrer que le sous-espace vectorielGorthogonal àFest aussi invariant parf. 3quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

[PDF] Série N : Formes linéaires, Produit mixte et produit vectoriel

ENSA d"Al-HoceimaAnnée 2020/2021

CP-II, 2ème année,Semestre 3

Algèbre Quadratique,TD5

Exercice 1

1. Soient (e1,e2,e3) une base d"un espace vectoriel réelE, (e?1,e?2,e?3) la base duale deE?.

2e?1,15e?2,-e?3).

2. SoietEl"espace vectoriel des polynômes enxà coefficients réels. Pour tout polynômeP,

0P(x)Q(x)dx.

3. On munitR3de la forme bilinéaire canonique, c"est-à-dire le produit scalaire. Trouver les

4. SoitEun espace vectoriel,uun automorphisme deE. Montrer que, pour toutn?Z, on a

Exercice 2

1. Montrer quefest une forme bilinéaire.

2. Déterminerbpour quefsoit dégénérée.

3. Trouver les noyaux des deux homomorphismes associés canoniquement àf.

4. Déterminer le rang defselon les valeurs deb.

Exercice 3

à la base canoniqueBdeR3.

1. Calculer det

2. Calculer les coordonnées des vecteursx?y,y?zetz?x.

3. Calculer la norme de chacun des vecteursx,y,z,x?y,y?zetz?x, puis en déduire les

Exercice 4

1. (a) Soit le pointMde coordonnées (x,y,z). Déterminer les coordonnées du vecteur (--→OA?--→OB)?--→OMen fonction dex,yetz.

2. SoitCetDdeux points deEde coordonnées respectives (1,3,0) et (-1,-10,-1). On affecte

Ddu coefficient 1.

Montrer que les pointsO,IetJsont alignés.

3. Déterminer l"angle?(--→OA,--→OB).

Exercice 5

1. Donner une condition nécessaire surAetBpour qu"il existeX?Etel queX?A=B.

2. On suppose queA·B= 0.

Exercice 6

1. Montrer que si?1,...,?nsont des formes linéaires indépendantes, les produits?i??j,

2. On considèrepformes linéaires indépendantes?1,...,?petpformes linéairesψ1,...,ψp

Exercice 7

F(X,X?) =-2yx?+ 2xy?-2zy?+βyz?-3xz?+ 3zx?.

1. Déterminer la valeur deβpour queFsoit une application bilinéaire alternée.

2. Déterminer une matrice M telle queF(X,X?) = (MX,X?) =X?TMX.

3. Soit L un application surEtelle que L(x,y,z) = MX. Montrer que L est linéaire antisymé-

Exercice 8

F(X,X?) =-2yx?+αxy?-2zy?+γyz?+ 3xz?-3zx?.

1. Déterminer les valeurs deαetγpour queFsoit une application bilinéaire alternée.

2. Déterminer une matrice M telle queF(X,X?) = (MX,X?) =X?TMX.

3. Soit L un application surEtelle que L(x,y,z) = MX. Montrer que L est linéaire antisymé-

Exercice 9

2. Exprimer les coefficientspijde la matriceP.

Exercice 10