Leçon 170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de
Dé nition 8 ( [dSP] p 51 ) Une forme quadratique qest non-dégénérée lorsque kerq= 0 Exemple 5 ( [dSP] p 51 ) La forme quadratique rT : M n(K) K A 7 rT (A2) est non-dégénérée Proposition 5 ( [dSP] p 51 ) La forme quadratique qest non-dégénérée si et seulement si l'application b g: E E x 7 b(x;) est un isomorphisme de K
Formes quadratiques, orthogonalité (TD6)
Soient k un corps de caractéristique di érente de 2, E un espace vectoriel de dimension nie non réduit à 0 et H un hyperplan de E Soient q une forme quadratique non dégénérée sur E de et u un élément de O(q) véri ant u H = id H a) Si q H est non dégénérée, montrer que u est soit l'identité, soit la ré exion orthogonale d'hy
131: formes quadratiques; orthogonalité, isotropie Applications
1 2 matrice d'une forme quadratique,rang Dé nition 2 On appelle matrice d'une forme quadratique Qla matrice de la forme bilinéaire associée , ie (’(e i;e j) où B= (e i) est une ase b Le angr de Qest alors le angr de la matrice Exemple 2 La matrice de la forme quadratique denteprécé est I n Proposition 3 Changement de ases:b Si P= M
CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques
Montrer que q est une forme quadratique La forme q est-elle dé nie? Si ec 'estn asp le as,c exhiber un vecteur isotrope non nul 3 (1,2) et q est non
Quaternions, algèbres de Cli ord (TD9)
n ≥ 2 Soit q une forme quadratique non dégénérée sur E, possédant des vecteurs isotropes a) Rappeler la dé nition de la norme spinorielle N : SO(q) → F×/F×2 b) Supposons n = 2 Montrer que le noyau de N est Ω(q) Soient P un plan hyperbolique de E et u un élément de O(q)
Formes bilinéaires symétriques Formes quadratiques Gram-Schmidt
2forme quadratique 2 1def Une forme quadratique sur un espace vectoriel Eest une application q: EF telle qu'il existe une forme bilinéaire symétrique B: E EFtelle que 8u2E;q(u) = B(u;u) La forme Bs'appelle la forme bilinéaire associée à Q, ou encore la forme polaire de q q est dite dé nie si : 8x6= 0 ;q(x) 6= 0
Algèbre bilinéaire - unicefr
a) Une forme bilinéaire non dégénérée n'a pas de vecteurs isotropes b) Une forme bilinéaire anisotrope est non dégénérée c) Sur R, une forme est anisotrope ssi elle est dé nie positive ou négative d) Sur Q, une forme est anisotrope ssi elle est dé nie positive ou négative e) Une forme quadratique qest dé nie positive si q(e
Espaces hyperboliques - Agreg-mathsfr
Dans toute la suite, qdésignera une forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel E de dimension n Dé nition 1 Soit Psous-espace vectoriel de dimension 2 de E On dit que c'est un plan hyperbolique ourp qs'il existe xet ydans Etels que (x;y) soit une aseb de Eet q(x) = q(y) = 0 et f(x;y) = 1 Dé nition 2
Corrigé (succinct) du contrôle continu du 27 novembre 2017
Une forme quadratique est positive si sa signature autv (r;0), dé nie positive si sa signature autv (n;0) La forme bilinéaire symétrique qui lui est associée est non dégénérée si le rang de qest r= n
Algèbre Linéaire et Bilinéaire
4) On note qla forme quadratique sur R4 dont la matrice dans la base canonique est A Que autv q(x) pour x2R4? Quelle est la signature de q? Exercice 16 Soient T2M n(R) une matrice antisymétrique non nulle, et S2M n(R) une matrice symétrique dé nie positive 1) (a) La matrice Test-elle diagonalisable dans M n(R)? et S? (b) Montrer que det
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