COMPLEXES : FORME TRIGONOMETRIQUE
1) Calculer z2 sous forme algébrique puis trigonométrique 2) En déduire le module et un argument de z EX 8 : Ecrire sous forme exponentielle : 2 + 2 i ; 1 - i 3 ; 3–i 2; 1 3i 6; cos 5 - i sin 5 EX 9 : En utilisant la formule de Moivre montrer que : cos(3x) = 4 cos3(x) - 3 cos(x) sin(3x) = - 4 sin3(x) + 3 sin(x) EX 10 :
Term S - Ch8 - Nombres complexes - Forme trigonométrique
c) Ecrire a sous forme trigonométrique L'exercice précédent met en évidence la propriété suivante : Propriété 2 : soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = r ( cos θ + i sin θ ) * Alors − z a pour forme trigonométrique − z = r ( cos ( θ + π) + i sin ( θ + π) )
Forme trigonométrique d’un nombre complexe Applications
Définition 2 13(Forme trigonométrique) z= a+ ibpeut s’écrire sous la forme z= r(cos + isin ); cette écriture s’appelle une forme trigonométrique de z Remarques 2 14 1 Le nombre complexe nul z= 0 n’a pas de forme trigonométrique (puisque pas d’argument)
Fiche 6 : Nombres complexes - Studyrama
Tout nombre complexe de module 1 a pour forme trigonométrique cos isinθ+ θ où θ est un de ses arguments On convient de désigner le nombre complexe unitaire cos isinθ+ θ par la notation e
Nombres Complexes, Forme Algébrique, Opérations Retour aux
• Passage de la Forme Trigonométrique à la Forme Algébrique • Passage de la Forme Algébrique à la Forme Trigonométrique • Les Applications 2 3 Nombre Complexe, Forme Exponentielle : • Présentation : Soit f la fonction définie surR par f( ) = cos( )+isin( ), Ainsi f( ) est un nombre complexe de module 1 et d’argument
Chapitre 4 Nombres complexes - WordPresscom
Finalement, la forme trigonométrique de zest : z= 2 cos ˇ 3 +isin ˇ 3 Méthode pour calculer la forme trigonométrique d'un nombre complexe z= x+iy Déterminer le module r Calculer cos( ) et sin( ) a n d'en déduire la aleurv de Écrire la formule trigonométrique : z= r(cos( )+isin( ))
Exercice 2 3 points - Meilleur en Maths
n(cos(π)+isin(π)) Si Sn=0 alors on ne peut pas écrire Sn sous forme trigonométrique Pour déterminer le signe de Sn, il suffit de déterminer pour tout entier naturel n, arg(z1 n) Sur un cercle trigonométrique, on place les points Mn d’affixe Zn de module 1 et d’argument : arg(z1 n) z1
Les nombres complexes - martellinetlifyapp
Les nombres complexes Exercice 73 Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants : ´3i, 1+i, 3´3i, 1+i 3, 3´ 3i Exercice 74 Calculer (1 + i)8 à l’aide de la formule du binôme de Newton
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COMPLEXES : FORME TRIGONOMETRIQUE
I ) MODULE ET ARGUMENT D'UN COMPLEXE NON NUL Le plan est muni d'un repère orthonormal direct O;u,vDéfinition
Soit z un complexe non nul d'image M (x ; y ).
On appelle - module de z le réel positif r = |z| = OM = x2y2- argument de z tout réel = mes ( u ; OM ) Rq :- ( r ; ) sont les coordonnées polaires de M dans le repère (O; u) . - un complexe a une infinité d'arguments égaux à 2 prés. - |0| = 0 mais 0 n'a pas d'argument.Exemples : 4 ; - 3 ; - 3 i ; 3 i
Propriété :
Pour tout complexe z, z .
z = ∣z∣2Démo
Propriété :
Pour tout complexe z non nul cos() =
x r et sin() = y r et donc z = r ( cos ( ) + i sin ( )) Cette écriture s'appelle la forme trigonométrique de z. exemple : 2 + 2 i ex : 1 - 2Propriété :
Soit z et z' deux complexes non nuls de modules r et r' et d'arguments et ' alors : z = z' ⇔ r = r' et = '|z z'| = |z| |z'| et arg(z.z') ≡ arg(z) + arg(z') [2] ∣1 z'∣ = 1∣z'∣ et arg( 1 z' ) ≡ - arg(z) [2] ∣z z'∣ = ∣z∣ ∣z'∣ etarg( z z' ) ≡ arg(z) - arg(z') [2]Démo :zz' = r ( cos ( ) + i sin ( )) r' ( cos (' ) + i sin ( ')) = ..........
1 z = 1 rcosi×sin = ......... z z' = z . 1 z' ............Propriété :
| z| =∣-z∣ = ∣z∣ et arg ( z ) ≡ - arg(z) [2] arg(- z ) ≡ arg(z) + [2]
Propriété : ( inégalité triangulaire) ∣zz'∣∣z∣∣z'∣
Démo :Soient M ( z) et M' ( z' ) et S tel que OMSM' soit un parallélogramme alorsOS=OMOM' donc zS = zM + zM' et OS OM + OM' d'où l'inégalité.
Propriété :
Si A et B ont pour affixes zA et zB alors |zB - zA | = AB et arg( zB- zA) = ( u ; AB)
Ex : 3 - 4 - 5 - 6 - 7 feuille
II ) NOTATION EXPONENTIELLE
On s'aperçoit que l'argument se comporte comme une puissance donc par convention on pose cos + i sin = eiPropriété :
tout complexe non nul z de module r et d'argument admet une écriture de la forme z = r ei. Cette forme s'appelle la forme exponentielle de z.Forme exp à connaître 1 ; i ; -i ; - 1
Propriété :
ei×ei'=ei' 1 ei=e-i eiei'=ei-' ein=ei∗n(cos + i sin )n = cos n + i sin n (formule de Moivre)
cos() = eie-i2 et sin () =
ei-e-i2i ( formules d'Euler)
Ex 8 - 9 - 10
III ) COMPLEXES ET GEOMETRIE
Propriété :
Soient A, B et M 3 points deux à deux distincts d'affixes zA , zB et zM. | zB- zA | = AB arg( zB- zA) = ( u ; AB) ∣zM-zB zM-zA∣ = BMAM arg( zM-zB
zM-zA ) = ( AM;BM) = ( MA;MB)Démo :Soit S tel que
OS=AB alors ∣zB-zA∣ = OS = AB et arg( zB-zA ) = arg(zS) = ( u;OS) = ( u;AB) ∣zM-zB zM-zA∣ = ∣zM-zB∣ ∣zM-zA∣ = BM AM arg( zM-zBzM-zA) = arg ( zM-zB ) - arg ( zM-zA ) = ( u;BM) - ( u;AM) = AM;BM