[PDF] COMPLEXES : FORME TRIGONOMETRIQUE



Previous PDF Next PDF







COMPLEXES : FORME TRIGONOMETRIQUE

1) Calculer z2 sous forme algébrique puis trigonométrique 2) En déduire le module et un argument de z EX 8 : Ecrire sous forme exponentielle : 2 + 2 i ; 1 - i 3 ; 3–i 2; 1 3i 6; cos 5 - i sin 5 EX 9 : En utilisant la formule de Moivre montrer que : cos(3x) = 4 cos3(x) - 3 cos(x) sin(3x) = - 4 sin3(x) + 3 sin(x) EX 10 :



Term S - Ch8 - Nombres complexes - Forme trigonométrique

c) Ecrire a sous forme trigonométrique L'exercice précédent met en évidence la propriété suivante : Propriété 2 : soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = r ( cos θ + i sin θ ) * Alors − z a pour forme trigonométrique − z = r ( cos ( θ + π) + i sin ( θ + π) )



Forme trigonométrique d’un nombre complexe Applications

Définition 2 13(Forme trigonométrique) z= a+ ibpeut s’écrire sous la forme z= r(cos + isin ); cette écriture s’appelle une forme trigonométrique de z Remarques 2 14 1 Le nombre complexe nul z= 0 n’a pas de forme trigonométrique (puisque pas d’argument)



Fiche 6 : Nombres complexes - Studyrama

Tout nombre complexe de module 1 a pour forme trigonométrique cos isinθ+ θ où θ est un de ses arguments On convient de désigner le nombre complexe unitaire cos isinθ+ θ par la notation e



Nombres Complexes, Forme Algébrique, Opérations Retour aux

• Passage de la Forme Trigonométrique à la Forme Algébrique • Passage de la Forme Algébrique à la Forme Trigonométrique • Les Applications 2 3 Nombre Complexe, Forme Exponentielle : • Présentation : Soit f la fonction définie surR par f( ) = cos( )+isin( ), Ainsi f( ) est un nombre complexe de module 1 et d’argument



Chapitre 4 Nombres complexes - WordPresscom

Finalement, la forme trigonométrique de zest : z= 2 cos ˇ 3 +isin ˇ 3 Méthode pour calculer la forme trigonométrique d'un nombre complexe z= x+iy Déterminer le module r Calculer cos( ) et sin( ) a n d'en déduire la aleurv de Écrire la formule trigonométrique : z= r(cos( )+isin( ))







Exercice 2 3 points - Meilleur en Maths

n(cos(π)+isin(π)) Si Sn=0 alors on ne peut pas écrire Sn sous forme trigonométrique Pour déterminer le signe de Sn, il suffit de déterminer pour tout entier naturel n, arg(z1 n) Sur un cercle trigonométrique, on place les points Mn d’affixe Zn de module 1 et d’argument : arg(z1 n) z1



Les nombres complexes - martellinetlifyapp

Les nombres complexes Exercice 73 Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants : ´3i, 1+i, 3´3i, 1+i 3, 3´ 3i Exercice 74 Calculer (1 + i)8 à l’aide de la formule du binôme de Newton

[PDF] démonstration forme exponentielle nombre complexe

[PDF] nombre complexe forme algébrique

[PDF] comment avoir une bonne note en philo explication de texte

[PDF] comment faire une puissance sur une calculatrice casio graph 35+

[PDF] enlever ecriture scientifique casio graph 35+

[PDF] comment faire une puissance sur une calculatrice casio graph 35+e

[PDF] forme trigonométrique de

[PDF] comment faire une puissance sur une calculatrice casio graph 25+

[PDF] calculatrice ecriture scientifique en ligne

[PDF] confiance au travail définition

[PDF] confiance en soi au travail

[PDF] confiance définition

[PDF] la confiance au travail karsenty

[PDF] coalition

[PDF] management et confiance

COMPLEXES : FORME TRIGONOMETRIQUE

I ) MODULE ET ARGUMENT D'UN COMPLEXE NON NUL Le plan est muni d'un repère orthonormal direct O;u,v

Définition

Soit z un complexe non nul d'image M (x ; y ).

On appelle - module de z le réel positif r = |z| = OM = x2y2- argument de z tout réel  = mes ( u ; OM ) Rq :- ( r ;  ) sont les coordonnées polaires de M dans le repère (O; u) . - un complexe a une infinité d'arguments égaux à 2 prés. - |0| = 0 mais 0 n'a pas d'argument.

Exemples : 4 ; - 3 ; - 3 i ; 3 i

Propriété :

Pour tout complexe z, z .

z = ∣z∣2

Démo

Propriété :

Pour tout complexe z non nul cos() =

x r et sin() = y r et donc z = r ( cos ( ) + i sin ( )) Cette écriture s'appelle la forme trigonométrique de z. exemple : 2 + 2 i ex : 1 - 2

Propriété :

Soit z et z' deux complexes non nuls de modules r et r' et d'arguments  et ' alors : z = z' ⇔ r = r' et  =  '|z z'| = |z| |z'| et arg(z.z') ≡ arg(z) + arg(z') [2] ∣1 z'∣ = 1∣z'∣ et arg( 1 z' ) ≡ - arg(z) [2] ∣z z'∣ = ∣z∣ ∣z'∣ etarg( z z' ) ≡ arg(z) - arg(z') [2]

Démo :zz' = r ( cos ( ) + i sin ( )) r' ( cos (' ) + i sin ( ')) = ..........

1 z = 1 rcosi×sin = ......... z z' = z . 1 z' ............

Propriété :

| z| =

∣-z∣ = ∣z∣ et arg ( z ) ≡ - arg(z) [2] arg(- z ) ≡ arg(z) +  [2]

Propriété : ( inégalité triangulaire) ∣zz'∣∣z∣∣z'∣

Démo :Soient M ( z) et M' ( z' ) et S tel que OMSM' soit un parallélogramme alors

OS=OMOM' donc zS = zM + zM' et OS  OM + OM' d'où l'inégalité.

Propriété :

Si A et B ont pour affixes zA et zB alors |zB - zA | = AB et arg( zB- zA) = ( u ; AB)

Ex : 3 - 4 - 5 - 6 - 7 feuille

II ) NOTATION EXPONENTIELLE

On s'aperçoit que l'argument se comporte comme une puissance donc par convention on pose cos  + i sin  = ei

Propriété :

tout complexe non nul z de module r et d'argument  admet une écriture de la forme z = r ei. Cette forme s'appelle la forme exponentielle de z.

Forme exp à connaître 1 ; i ; -i ; - 1

Propriété :

ei×ei'=ei' 1 ei=e-i ei

ei'=ei-' ein=ei∗n(cos + i sin )n = cos n + i sin n (formule de Moivre)

cos() = eie-i

2 et sin () =

ei-e-i

2i ( formules d'Euler)

Ex 8 - 9 - 10

III ) COMPLEXES ET GEOMETRIE

Propriété :

Soient A, B et M 3 points deux à deux distincts d'affixes zA , zB et zM. | zB- zA | = AB arg( zB- zA) = ( u ; AB) ∣zM-zB zM-zA∣ = BM

AM arg( zM-zB

zM-zA ) = ( AM;BM) = ( MA;MB)

Démo :Soit S tel que

OS=AB alors ∣zB-zA∣ = OS = AB et arg( zB-zA ) = arg(zS) = ( u;OS) = ( u;AB) ∣zM-zB zM-zA∣ = ∣zM-zB∣ ∣zM-zA∣ = BM AM arg( zM-zB

zM-zA) = arg ( zM-zB ) - arg ( zM-zA ) = ( u;BM) - ( u;AM) = AM;BM

Propriété :

Soient A, B et M 3 points deux à deux distincts;

A, B et M sont alignés ⇔ arg(zM-zB

zM-zA) ≡ 0 [] (AM) ⊥ (BM) ⇔ arg(zM-zB zM-zA) ≡

2 []

Ex 11 -12 + 101 p 254 a et d

Dans tous les exercices le plan est muni d'un repère orthonormé direct O;u,v

EX 1 :

Déterminer un argument des complexes suivants : 1

2-3

2i ; -1+i 3 ; 72-72iEX 2 :

Ecrire sous forme trigonométrique les complexes suivants :

2 + 2 i ; 2 i ; -7 ; 2-

6(cos 

8+i sin 

8)

EX 3 :

Soient A , B , C les points d'affixes respectives

45

2i ; 4-5

2i ; 23

2i

Montrer que ABC est rectangle

EX 4 :

Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que a) |z+4-2i| = 2 b) ∣z-2i z1i∣ = 1

EX 5 : Calculer (2 + 2 i )13 ;

3-i i-112

EX 6 : Soient les complexes

z1 = 6-2i

2 z2 = 2 - 2i et Z = z1

z2

1) Donner la forme trigonométrique de ces 3

complexes.

2) Donner la forme algébrique de Z .

3) En déduire

cos

12 et sin

12EX 7 :

Soit z = (-

6 - 2 ) + i (- 2 + 6 )

1) Calculer z2 sous forme algébrique puis

trigonométrique

2) En déduire le module et un argument de z .EX 8 :

Ecrire sous forme exponentielle : 2 + 2 i ; 1 - i 3 ; 3-i2 ; 13i6 ; cos 

5 - i sin 

5

E X 9 :

En utilisant la formule de Moivre montrer que :

cos(3x) = 4 cos3(x) - 3 cos(x) sin(3x) = - 4 sin3(x) + 3 sin(x)

EX 10 :

En utilisant les formules d'Euler montrer que :

cos3x = 3

4cos(x) + 1

4cos(3x)

sin3x = 3

4sin(x) - 1

4sin(3x)

EX 11:

1) a) Soient les points A et B d'affixes respectives 2 + 2 i et 2-2 3i, calculer ( OA , OB ) b) Même question avec

A(2+3i) et B (

3 + i ; 2 i et 2 - 2 i

Calculer

zC-zA zB-zA puis en déduire la nature du triangle ABC

EX 12 :

On donne les points A ( -2 ) B ( i ) M ( z ) et pour z ≠ i

M' ( z' ) tel que z' =

z2 z-iDéterminer sans calculer la partie réelle et la partie imaginaire de z' l'ensemble des points M du plan tel que :

1) M' soit un point du cercle de centre O et de rayon 1.

2) z' soit un réel.

3) z' soit un imaginaire pur.

quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12