COMPLEXES : FORME TRIGONOMETRIQUE
1) Calculer z2 sous forme algébrique puis trigonométrique 2) En déduire le module et un argument de z EX 8 : Ecrire sous forme exponentielle : 2 + 2 i ; 1 - i 3 ; 3–i 2; 1 3i 6; cos 5 - i sin 5 EX 9 : En utilisant la formule de Moivre montrer que : cos(3x) = 4 cos3(x) - 3 cos(x) sin(3x) = - 4 sin3(x) + 3 sin(x) EX 10 :
Term S - Ch8 - Nombres complexes - Forme trigonométrique
c) Ecrire a sous forme trigonométrique L'exercice précédent met en évidence la propriété suivante : Propriété 2 : soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = r ( cos θ + i sin θ ) * Alors − z a pour forme trigonométrique − z = r ( cos ( θ + π) + i sin ( θ + π) )
Forme trigonométrique d’un nombre complexe Applications
Définition 2 13(Forme trigonométrique) z= a+ ibpeut s’écrire sous la forme z= r(cos + isin ); cette écriture s’appelle une forme trigonométrique de z Remarques 2 14 1 Le nombre complexe nul z= 0 n’a pas de forme trigonométrique (puisque pas d’argument)
Fiche 6 : Nombres complexes - Studyrama
Tout nombre complexe de module 1 a pour forme trigonométrique cos isinθ+ θ où θ est un de ses arguments On convient de désigner le nombre complexe unitaire cos isinθ+ θ par la notation e
Nombres Complexes, Forme Algébrique, Opérations Retour aux
• Passage de la Forme Trigonométrique à la Forme Algébrique • Passage de la Forme Algébrique à la Forme Trigonométrique • Les Applications 2 3 Nombre Complexe, Forme Exponentielle : • Présentation : Soit f la fonction définie surR par f( ) = cos( )+isin( ), Ainsi f( ) est un nombre complexe de module 1 et d’argument
Chapitre 4 Nombres complexes - WordPresscom
Finalement, la forme trigonométrique de zest : z= 2 cos ˇ 3 +isin ˇ 3 Méthode pour calculer la forme trigonométrique d'un nombre complexe z= x+iy Déterminer le module r Calculer cos( ) et sin( ) a n d'en déduire la aleurv de Écrire la formule trigonométrique : z= r(cos( )+isin( ))
Exercice 2 3 points - Meilleur en Maths
n(cos(π)+isin(π)) Si Sn=0 alors on ne peut pas écrire Sn sous forme trigonométrique Pour déterminer le signe de Sn, il suffit de déterminer pour tout entier naturel n, arg(z1 n) Sur un cercle trigonométrique, on place les points Mn d’affixe Zn de module 1 et d’argument : arg(z1 n) z1
Les nombres complexes - martellinetlifyapp
Les nombres complexes Exercice 73 Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants : ´3i, 1+i, 3´3i, 1+i 3, 3´ 3i Exercice 74 Calculer (1 + i)8 à l’aide de la formule du binôme de Newton
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TS Chapitre 8 : Nombres complexes - forme trigonométrique et forme exponentielle Exercices - p.1/11
Vous avez aimé les nombres complexes; toutes les nuits, vous rêvez de trigonométrie et vous n"envisagez plus la vie sans les
exponentielles ? Alors ce chapitre est fait pour vous !!!!! Objectif n° 1 : Forme trigonométrique d"un nombre complexeExercice 1
Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé direct (O;®u,
®v) ( repère direct signifie que l"on passe du vecteur u au vecteur v en tournant dans le sens direct ) On considère un nombre complexe z = x + i y ( avec x et y réels ) et M son image dans le plan complexe.On note
C le cercle trigonométrique ( de centre O, de rayon 1 )1. La demi-droite [OM) coupe le cercle
C en A. Placer A sur la figure.
2. On pose r = OM ( rappel : r désigne donc le module de z, et l"on note
r = | |z )On pose également θ = (
u,OM ) (θ se lit "téta" )
a) Déterminer les coordonnées de A en fonction de θ :A = ( ............. ; .................. ).
En déduire l"affixe de A en fonction de θ : zA = ..........................................
b) Déterminer r en fonction de x et de y : r = .......................................... 3.OM = r
OA donc on peut écrire M ( r cos θ ; r sin θ ) Donc z peut s"écrire z = x + i y ( c"est la forme .................................. de z )Mais z peut donc aussi s"écrire z = r cos θ + i r sin θ = r ( cos θ + i sin θ ) ( cette forme s"appelle la forme trigonométrique
de z )Définition 1 : lorsqu"un nombre complexe z est écrit sous la forme r ( cos θ + i sin θ ) , où r est un réel strictement positif et
où θ est un réel quelconque, on dit que ce complexe z est écrit sous forme trigonométrique.
* le réel positif r est le module de z ( r = | | z ) * θ est appelé un argument de z et on note θ = arg (z)Remarques :
1. le complexe z = 2 ( cos p
3 + i sin p
3 ) est écrit sous forme trigonométrique mais le complexe z " = - 3 ( cos p4 + i sin p
4 ) nel"est pas car .......................................................................................
2. Contrairement à la forme algébrique, la forme trigonométrique d"un complexe n"est pas unique : par exemple, pour le
complexe z ci-dessus, on peut aussi écrire z = 2 ( cos 7p 3 + i sin 7p3 ) car p
3 et 7p3 sont deux mesures d"un même angle.
Plus généralement, il existe une infinité d"arguments ( donc de formes trigonométriques ) pour un complexe. Parmi cette
infinité d"argument, il n"y en a qu"un seul situé dans l"intervalle ] - p ; p ]. On l"appelle l"argument principal du
complexe. Toutefois, par abus de langage, on dira souvent l"argument pour désigner l"argument principal.
3. Un argument étant une mesure d"angle orienté
, il convient donc de se placer dans un repère orienté. C"est pourquoi on précise que le repère (O;®u,
®v) est direct.
4. Le nombre complexe 0 a un module égale à 0 mais n"a pas d"argument puisque l"angle (
; ) n"existe pas.TS Chapitre 8 : Nombres complexes - forme trigonométrique et forme exponentielle Exercices - p.2/11
Exercice 2
Voici 4 nombres complexes écrits sous forme trigonométrique. On note M1, M2, M3 et M4 leurs images dans un repère
orthonormé direct (O;®u,
®v) .
z1 = cos p
6 + i sin p
6 z2 = cos (- 2p
3 ) + i sin (- 2p
3 ) z3 = 2 ( cos 3p
4 + i sin 3p
4 ) z4 = 1,5 ( cos 3p
2 + i sin 3p
2 )Placer les points M1, M2, M3 et M4 sur la figure (le cercle tracé est le cercle trigonométrique, donc de rayon 1).
Exercice 3
Voici 4 nombres complexes
z1 = 3 ( cos p
6 + i sin p
6 ) z2 = - 2 ( cos 3p
4 + i sin 3p
4 ) z3 = cos 22p
3 + i sin 22p
3 z4 = 4 ( cos p
3 - i sin p
3 )1. Parmi ces 4 complexes, indiquer ceux qui sont écrits sous forme trigonométrique ( donner le module et l"argument
principal) et ceux qui ne le sont pas ( justifier pour ces derniers ).2. Ecris les 4 nombres complexes sous forme algébrique.
3. Défi 1 : écris les nombres qui ne le sont pas sous forme trigonométrique.
4. Défi 3 : écris les nombres complexes z
5 = 5 2 i et z6 = 3 + 3 i sous forme trigonométriqueExercice 4
Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé direct (O;®u,
®v).
Soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = r ( cos θ + i sin θ ). Soit M le point d"affixe z dans ce repère.
1. Faire apparaître r et θ sur la figure ( voir page 3 ).
2. a) Placer le point M", image de - z
b) Compléter en fonction de r et θ : | |- z = ...... et arg ( - z ) = ...... c) En déduire - z sous forme trigonométrique. - z = ........................................3. a) Placer le point M", image de z
b) Compléter en fonction de r et θ : | |z = ...... et arg ( z ) = ...... c) En déduire z sous forme trigonométrique. z = ........................................TS Chapitre 8 : Nombres complexes - forme trigonométrique et forme exponentielle Exercices - p.3/11
4. Considérons le nombre complexe a = 3 ( cos p
7 + i sin p 7 ). a) Préciser le module et l"argument principal de a b) Ecrire - a sous forme trigonométrique c) Ecrire a sous forme trigonométrique L"exercice précédent met en évidence la propriété suivante :Propriété 2 :
soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = r ( cos θ + i sin θ ). * Alors - z a pour forme trigonométrique - z = r ( cos (θ + p) + i sin (θ + p) ). Donc | | - z = | | z ( résultat connu ) et arg (- z ) = arg (z ) + p * Alors z a pour forme trigonométrique z = r ( cos (-θ) + i sin (-θ) ) Donc | | z = | | z ( résultat connu ) et arg ( z ) = - arg (z ) Exercice 5 : de la forme algébrique à la forme trigonométrique ....1. Il est "facile" de passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique; voici quatre complexes écrits sous forme
trigonométrique : z1 = 8 ( cos p
6 + i sin p 6 ) z2 = 2 ( cos p2 + i sin p
2 ) z3 = 5 ( cos 16p3 + i sin 16p
3 ) z4 = 3 ( cos p + i sin p)
Ecrire z
1 , z2 , z3 et z4 sous forme algébrique.
2. Il est moins "facile" de passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique.
a) Etude d"un exemple : écrivons le complexe z = 2 + 2 i3 sous forme trigonométrique.
étape 1 : on détermine le module de
||z vérifier que ||z = 4 étape 2 : on met ||z en facteur dans la forme algébrique de z z = 4 ( ....... + i ........ ) étape 3 : on cherche un angle θ tel que cos θ = 1 2 et sin θ = 32 On obtient ici θ = .......
étape 4 : conclusion Le complexe z = 2 + 2 i 3 a pour forme trigonométrique z = ............................. b) En suivant la même méthode que ci-dessus, déterminer la forme trigonométrique de z1 = 3 + i z2 = 1 - i 3 z3 = - 3 3 - 3 i z4 = 3 + 4 i
TS Chapitre 8 : Nombres complexes - forme trigonométrique et forme exponentielle Exercices - p.4/11
Remarque : le nombre complexe z4 de la question précédente montre que lorsque les valeurs obtenues dans les
parenthèses ne sont pas des cosinus et sinus remarquables, il n"est pas possible de trouver une mesure exacte
de l"argument du complexe. De façon générale, les valeurs choisies dans les exercices ne sont donc pas
choisies complètement au hasard... c) Dans certains cas, une simple figure suffit; pour chacun des complexes suivants : z5 = 3 z6 = 2 i z7 = - 21. Placer le point image sur la figure ci-
dessous :2. déduisez-en sans calcul le module
de z 53. par simple lecture graphique
déterminer un argument de z 54. écrire alors z5 sous forme
trigonométrique1. Placer le point image sur la figure ci-
dessous :2. déduisez-en sans calcul le module
de z 63. par simple lecture graphique
déterminer un argument de z 64. écrire alors z6 sous forme
trigonométrique1. Placer le point image sur la figure ci-
dessous :2. déduisez-en sans calcul le module
de z 73. par simple lecture graphique
déterminer un argument de z 74. écrire alors z7 sous forme
trigonométrique z8 = - 3 i z9 = 1 + i z10 = - 2 + 2 i1. Placer le point image sur la figure ci-
dessous :2. déduisez-en sans calcul le module
de z 83. par simple lecture graphique
déterminer un argument de z 84. écrire alors z8 sous forme
trigonométrique1. Placer le point image sur la figure ci-
dessous :2. déduisez-en le module de z9
3. par simple lecture graphique
déterminer un argument de z 94. écrire alors z9 sous forme
trigonométrique1. Placer le point image sur la figure ci-
dessous :2. déduisez-en le module de z10
3. par simple lecture graphique
déterminer un argument de z 104. écrire alors z10 sous forme
trigonométriqueTS Chapitre 8 : Nombres complexes - forme trigonométrique et forme exponentielle Exercices - p.5/11
Objectif n° 2 : Forme exponentielle d"un nombre complexeExercice 6
Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé direct (O;®u,
®v).
On considère deux réels θ et θ " .
Soit z le complexe z = cos θ + i sin θ . On nomme M le point d"affixe z. Soit z " le complexe z " = cos θ " + i sin θ " . On nomme M" le point d"affixe z ". Les points M et M" ont été placés sur le cercle trigonométrique ci- contre.1. On considère le complexe Z
1 = z × z "
Déterminer la forme algébrique de Z
1.Vérifier que Z
1 = cos (θ + θ " ) + i sin (θ + θ " )
2. On considère le complexe Z
2 = z z "Déterminer la forme algébrique de Z
2.Vérifier que Z
2 = cos (θ - θ " ) + i sin (θ - θ " )
On vient de démontrer les deux résultats suivants :( cos θ + i sin θ ) × ( cos θ " + i sin θ " ) = cos ( θ + θ " ) + i sin ( θ + θ " ) et
= cos( - ) + sin( - )On constate que θ et θ " s"additionnent lorsqu"on multiplie cos θ + i sin θ et cos θ " + i sin θ "
et se soustraient lorsqu"on divise cos θ + i sin θ et cos θ " + i sin θ "On avait le même genre de situation avec les exponentielles : en effet ex × ey = e x+y et ex
e y = e x-yPour cette raison, les mathématiciens ont eu l"idée d"adopter une notation plus courte : plutôt que d"écrire cos θ + i sin θ ,
ils ont convenu d"écrire( la lettre i dans l"exponentielle a été placée pour faire la distinction entre la fonction
exponentielle qui est une fonction où la variable est réelle et la notation exponentielle des nombres complexes )Définition 3
* Soit θ un réel quelconque. Par convention, la notation désigne le complexe cos θ + i sin θ .
* Soit z un nombre complexe de forme trigonométrique z = r ( cos θ + i sin θ).Avec la notation précédente, z s"écrira donc z = r. Dans ce cas on dit que z est écrit sous forme exponentielle.
Propriété 4 :
Avec la notation précédente, les propriétés mises en évidence dans l"exercice 4 s"écrivent :
(1) : " ( ")i i ie e eq q q q+´ = et (2) : ( ") "i i iee e q q q qExercice 7
z1 = 2!" # z2 = 2!$" # z3 = -2!" # z4 = 2!"1. Parmi ces quatre complexes, indiquer ceux qui ne sont pas écrits sous forme exponentielle.
Justifier chaque réponse.
2. Ecrire z
1 sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique.
3. Ecrire z
3 sous forme algébrique.
4. Considérons le complexe z
5 = 3 (cos&-'(
)* + sin&-'( )*) . Ecrire z5 sous forme exponentielle.5. Défi n°1 : es-tu capable d"écrire le nombre z
6 = 5i sous forme exponentielle ?
6. Défi n°2 : es-tu capable d"écrire le nombre z
7 = 3 - 3i sous forme exponentielle ?
TS Chapitre 8 : Nombres complexes - forme trigonométrique et forme exponentielle Exercices - p.6/11
Exercice 8
Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé direct (O;®u,
®v) ci-contre.
1. Placer dans ce repère les points M
1 à M4, images
respectives des complexes : z1 = 4i z2 = 2 + 2i z3 = 3 - 3i z4 = - 1 + i2. Déterminer le module de chacun des complexes
précédents.3. Par simple lecture graphique, déterminer un argument
de chacun des complexes précédents.4. Ecrire chacun des complexes précédents sous forme
exponentielle.Entraînons-nous maintenant avec la méthode par le calcul pour les formes algébriques plus compliquées à transformer.