[PDF] Nombres complexes

I- L’ensemble des nombres complexes

I-1 Forme alg ebrique d’un nombre complexe D e nitions et propri et es 1 : : l’ ensemble C des nombres complexes contient R et v eri e les propri et es suivantes : 1 Il contient un nombre not e par i tel que i2 = 1 2 Tout nombre complexe s’ ecrit d’une mani ere unique sous la forme z= a+ ib oua;b 2R

TB2 Nombres complexes - dblottiereorg

⋄ Exercice 2 : D´emontrer que pour tout nombre complexe z, on a : z2 ∈ R⇐⇒ z ∈ R ou z est imaginaire pur Th´eor`eme 2 (inversibilit´e et inverse d’un nombre complexe non nul) : Soit z un nombre complexe non nul 1 Il existe un unique nombre complexe z′, appel´e inverse de z, not´e z−1 ou 1 z, tel que : zz′ = z′z = 1 2

Chapitre 3 Nombres complexes

Forme trigonom etrique et exponentielle complexe Forme trigonom etrique et argument d’un nombre complexe Proposition 1 Tout nombre complexe z6= 0 peut s’ ecrire sous la forme z= r(cos( ) + isin( )) = rei , avec r>0 et 2R; 2 De plus, une telle ecriture est unique a 2ˇpr es, c’est a dire, pour r 1 >0, r 2 >0, 1 et 2 deux r eels, nous avons

6 Nombres complexes et polynômes

6 1 2 Forme algébrique d’un nombre complexe Pour ce qui concerne ce cours, un nombrecomplexeest un nombre de la forme x+iy où x et y sontréels eti est un nombre, nonréel, telque i2 =−1 Théorème 6 1 1 — Forme algébrique Tout nombre complexe z ∈ C s’écrit de manière unique sous la forme z = x+iy où x et y sont des réels On

« Des maths & de linfo chez Marcel & Louis » Une

à écrire la forme algé- brique de chaque nombre complexe 3 — 72 4— 5i i(5-i) Voici deux nombres complexes : o Z2 Dans chaque cas, écrire la forme algébrique du nombre complexe Ecrire la forme algébrique de chaque nombre complexe 1+2i 2-i a) 2: = 3—4i b) 5Z+1-2i=o (E) est l'équation iz=4+3i où z est un nombre complexe

Nombres complexes -Exercices

Donner sous la forme exponentielle puis alg´ebrique les complexes : z 1z 2z 3, z 1 z 2z 3, z2 2, z6 3 Exercice20 Simplifier l’expression, ou` θ ∈ IR, eiθ +e−iθ 2 2 + eiθ −e−iθ 2i 2 Etait-ce pr´evisible sans calcul? Exercice21 Ecrire le nombre complexe (√ 3−i)10 sous forme alg´ebrique

Nombres complexes

{ Si z= ˆei est un nombre complexe non nul mis sous forme trigonom etrique, alors ses racines carr ees sont p ˆei =2 et p ˆei(ˇ+ =2) Plus g en eralement, il est ais e de trouver les racines n-i emes d’un nombre complexe (non nul) mis sous forme trigonom etrique3, voir 1 2 3 Exemple Donner les racines carrées de 5 + 12i

Nombres complexes T S - Free

Remarque : Un nombre complexe non nul z a une infinit´e d’arguments : si θ est un de ces arguments, alors tous les autres sont de la forme θ +k2π, k ∈ ZZ On note arg(z) = θ (modulo 2π), ou arg(z) = θ [2π], ou encore, pour simplifier (mais alors par abus

Nombres complexes (partie I) Exercices

Soit l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe vérifie Prouver que est le cercle de centre et de Tracer sur le graphique Soit où et Montrer que la forme algébrique de b On note l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe est telle que soit un nombre réel

Nombres complexes - Ataraxy

(b)Démontrer que pour tout nombre complexe z6= 0, 1 z-1 = 1 , jz-1j = jzj (c)En déduire que l’image de D 1 par hest incluse dans un cercle dont on précisera les éléments caractéristiques On tracera ce cercle sur la figure Exercice 23 Dans le plan complexe centré en O, on désigne par Aet Bles points d’affixes respectives 1et -1

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Chapitre 1

Nombres complexes

1.1 Choisir une representation d'un nombre com-

plexe On dispose de plusieurs facons de representer les nombres complexes, qui don- nent autant de reformulations possibles, et orientent

1donc notre lecture du pro-

bleme. Voici un tableau recapitulatif de ces dierentes ecritures :NomNotation standardunicite

NeutrezouiAlgebriquea+ib(a;b2R)oui

Trigonometriqueei( >0,2R)de, pas deGeometriqueMoui Etudions un peu les avantages et inconvenients compares de ces dierentes ecritures.

1.1.1 La representation neutre

Elle consiste simplement a representer un nombre complexe par une lettre, en generalz. De nombreux resultats du cours peuvent s'ecrire sous forme neutre, par exemple les formules : zz=jzj2;Re(z) =z+ z2 ;jz+z0j6jzj+jz0j; ou les caracterisations suivantes : z2R,z= z);(z2R+,z=jzj);(z2

U,zz= 1)

Les etudiants ont un peu trop tendance a vouloir s'en debarrasser, au prot de la notation algebrique.1. en cela, une reformulation est un faux surplace. 1

2Chapitre 1{Nombres complexesAvantagesInconvenients

Concise et maniableNecessite une bonne pratique, et une solide connaissance des formules du coursPermet les reformulations les plus neutresManque parfois de puissance Exemple????z;z02U? ???? ???zz06=1? ??????? ???z+z01 +zz02R?Commezetz0sont de module 1, on a : z+z01 +zz0=1z +1z 01 + 1zz 0=z+z

01 +zz

0= z+z01 +zz0 donc z+z01 +zz02R.Pour s'entra^ner :exercices 3 et 13. Voir aussi la remarque de 10.

1.1.2 La representation algebrique

La grande favorite des etudiants, pas des professeurs. Elle consiste a ecrire z=a+ib, ouaetbsontreels. Les notions qui lui sont liees sont les parties reelle et imaginaire d'un nombre complexe.!Mise en gardeLorsqu'on ecrit :soitz=a+ibun nombre complexe, rien ne dit quea+ibsoit la forme algebrique dez! Il se peut par exemple quea=i etb= 1+2i. Il vaut mieux doncecriresoitz=a+ibun nombre complexe mis sous (sa) forme algebriqueousoitz=a+ibun nombre complexe ((a;b)2R2). Une notation, m^eme standard, doit ^etre introduite.AvantagesInconvenients

Ramene l'etude des nombres

complexes a une etude de (couples de) reelsFait perdre les proprietes desnombres complexes Unicite de la forme algebriqueLes calculs peuvent ^etre trescompliques Se comporte bien avec la sommeSe comporte moins bien avec leproduit Remarque :elle peut ^etre employee pour la resolution d'equations du second degre (voir 1.2.2).Pour s'entra^ner :exercices 3, 5 et 9.

1.1.3 La representation trigonometrique

Egalement appelee representation exponentielle, c'est l'une des plus utiles. Elle consiste a representer un nombre complexenon nulzsous la formeei, ou=

1.1 Choisir une repr

esentation d'un nombre complexe3 j zj>0, etest l'un des arguments dez. Elle est liee aux notions de module, d'arguments d'un nombre complexe non nul, et d'exponentielle complexe. La notation trigonometrique est souvent le bon compromis entre les proprietes calculatoires des nombres complexes et leur interpretation geometrique.AvantagesInconvenients

Se comporte tres bien avec le

produit (et donc le quotient, les puissances, les racinesn-iemes)Se comporte plut^ot mal avec la sommeUnicite deNon unicite dePratique pour les calculstrigonometriquesN'existe pas pour 0 Remarque :pour passer d'une representation trigonometrique a une representa- tion algebrique, il sut de se rappeler que e i= cos() +isin(): Pour passer d'une representation algebriquez=a+ib2Ca une representation trigonometriquez=ei, il sut de constater que =jzj=pa

2+b2;cos() =apa

2+b2et sin() =bpa

2+b2 On peut retenir que sizn'est pas imaginaire pur, on a : tan( ) =ba =Im(z)Re(z): Remarque :la donnee d'un nombre complexe non nul sous forme trigonometrique revient a la donnee de son module et d'un de ses arguments. La forme trigonome- trique se comporte mieux que la forme algebrique avec le produit car pour tous z;z 02C, j zz

0j=jzjjz0jet arg(zz0)arg(z) + arg(z0) [2];

alors que Re( zz

0) = Re(z)Re(z0)Im(z)Im(z0) et Im(zz0) = Re(z)Im(z0)+Im(z)Re(z0):

Dans le premier cas, modules et arguments font leur vie separement, mais dans le second, parties reelles et imaginaires sont m^elees. Voila pourquoi il est prefe- rable (si possible) d'utiliser cette representation trigonometrique lorsque produits, z=1ip3

5(1i)3

4Chapitre 1{Nombres complexes

En tenant compte de la remarque precedente, la maniere dontzest donne nous conduit a d'abord se concentrer sur les nombres complexesz1= 1ip3 et z

2= 1i2. En factorisant par le module, on doit trouver des reels1et2tels

que : z

1= 2ei1etz2=p2e

i2:

On peut par exemple prendre1=3

et2=4

Ainsi,

z=2ei3 5 p2e i4 3=252 p2 ei(53 34
)= 8p2e i1112 Comme nous l'avons dit, la notation exponentielle se comporte plut^ot mal avec la somme. Cependant, une technique (a conna^tre absolument) permet de transformer avantageusement une somme en un produit : Methode : Lorsqu'on considere une expression du type e iei0, on a souvent avantage a factoriser parei+02 .Exemple??????0???? ?????? e i+ei0=ei+02 ei02 +ei02 = 2cos02 e i+02

En egalant les parties reelles,

cos( ) + cos(0) = 2cos02 cos+02 :!Mise en garde2cos 02 e i+02 n'est pas forcement la forme trigono- metrique deei+ei0, car il n'est pas s^ur que cos 02

soit strictement positif.Pour s'entra^ner :exercices 1, 4, 5 (derniere question), 6, 7, 8, 9, 10, 11,

12.

1.1.4 La representation geometrique

Elle consiste simplement a considerer l'image dezdans le plan euclidien. Elle

est liee aux notions d'axe d'un point du plan, et d'image d'un nombre complexe.AvantagesInconvenients

Permet de mobiliser son

intuition geometriqueLe produit ne s'y interprete passimplement

Pour s'entra^ner :exercices 2, 3, 10.2. que l'on peutpar chancefacilement mettre sous forme trigonometrique.

1.2 R esoudre uneequation algebrique simple5

1.2 Resoudre une equation algebrique simple

1.2.1 Trouver une racine carree sous forme algebrique

Soitz=a+ibun nombre complexe mis sous forme algebrique. On supposeb non nul (le cas oub= 0 est le cas reel, connu depuis belle lurette). On cherche un nombre complexew=x+iy(x;y2R), tel quew2=z(nous savons qu'il en existe exactement deux). Pour ce faire, on utilise la methode suivante :

Methode :

i)

Egaler les parties reelles (dew2etz) :x2y2=a;

ii)

Egaler les modules (dew2etz) :x2+y2=pa

2+b2; iii) En deduirex2ety2, puisxetyau signe pres ; iv)

Egaler les parties imaginaires (dew2etz) :2xy=b,

pour determiner sixetyont m^eme signe ; v) Donner les deux valeurs possibles (opposees) dew.Remarques : { Le theoreme fondamental de l'algebre atteste l'existence de deux racines car- rees distinctes, et la phase de synthese (verier que les deux valeurs trouvees conviennent) est donc ici implicite. { Siz=eiest un nombre complexe non nul mis sous forme trigonometrique, alors ses racines carrees sontpe i= 2etpe i +=2). Plus generalement, il est aise de trouver les racinesn-iemes d'un nombre complexe (non nul) mis sous forme trigonometrique

3, voir 1.2.3.Exemple?????? ??? ??????? ??????? ??5 + 12i?On cherche ces racines carrees sous forme algebriquew=x+iy. On a donc,

en egalant les parties reelles,x2y2= 5 et, en egalant les modules,x2+y2=p5

2+ 122= 13. On obtient alorsx2= 9 ety2= 4, soitx=3 ety=2. En

egalant les parties imaginaires, on obtient 2xy= 12 :xetyont donc m^eme signe.

Par consequent, 3 + 2iet(3 + 2i) sont les deux racines carrees de 5 + 12i.Pour s'entra^ner :exercice 5.

1.2.2 Resoudre une equation du second degre a coecients

complexes La forme algebrique d'un nombre complexe est assez bien adaptee a la reso- lution d'equations algebriques du second degre. On considere une equationaz2+ bz+c= 0 d'inconnue complexez, oua;b;csont des nombres complexes,a6= 0.

Pour resoudre cette equation, voici la procedure generale :3. mais il n'est pas toujours aise de mettre un nombre sous forme trigonometrique, par exemple

3 + 4i, d'argument arccos(3=5) ...

6Chapitre 1{Nombres complexes

Methode : Pour determiner les solutions de l'equation az

2+bz+c= 0;

i) Calculer le discriminantde l'equation : =b24ac; ii) Determiner un complexetel que2= gr^ace a la methode precedente; iii) Donner les solutions b

2aetb2a(qui sont egales si

= 0 ).Remarque :il est parfois preferable de resoudre l'equation (equivalente)z2+ ba z+ca = 0 (voir par exemple la deuxieme question de l'exercice 5).!Mise en gardeN'ecrivez pas p ni 12 , sauf dans le cas ou est un reel positif ou nul.!Mise en gardeIl est maladroit d'utiliser cette methode si l'equation a des solutions evidentes. Par exemple, n'utilisez pas cette methode pour resoudre

l'equationz2+ (3 +i)z= 0 (ouz22z+ 1 = 0).ExempleDéterminer les racines deX2+ (1 + 4i)X5i.Ce polyn^ome n'admet pas de racine evidente, nous utilisons donc la methode

ci-dessus. Le discriminant de ce polyn^ome est = (1+4i)24(5i) = 5+12i. L'exemple precedent nous informe que= 3 + 2iest de carre . Ainsi, les deux racines de ce polyn^ome sont (1 + 4 i) + 3 + 2i2 = 1iet (1 + 4 i)(3 + 2i)2 =23i:Pour s'entra^ner :exercices 5, 9.

1.2.3 Determiner les racinesn-iemes d'un nombre complexe

L'ecriture algebrique n'est pas vraiment adaptee a la recherche des racinesn- iemes d'un nombre complexe non nul

4sin>3 : c'est l'ecriture exponentielle qui

est ici la plus ecace. Rappelons que sin>3 etz=eiest un nombre complexe non nul mis sous forme exponentielle, alors l'ensemble des racinesn-iemes dezest f 1n ei(+2kn

); k2[[1;n]]g;4. l'ecriture algebrique nous a permis de trouver les racines carrees d'un nombre complexe.

Nous pourrions reiterer ce procede pour trouver les racines quatriemes, puis les racines 8-iemes, etc. d'un nombre complexe non nul. Cependant, cette methode serait pour le moins fastidieuse, et ne reglerait m^eme pas le cas des racines cubiques d'un nombre complexe.

1.3 Retrouver des formules de trigonom

etrie7 ou encoref1n ei(+2kn ); k2[[0;n1]]g. Remarque :siy0est une racinen-ieme dez, alors les racinesn-iemes dezsont

les multiples dey0par une racinen-ieme de l'unite.Exemple????n>2?z2C? ??????? ??? ?? ????? ??? ???????n?????? ??z???

??????Sizest nul, le resultat est clair. Sinon, mettonszsous forme trigonometrique z=ei. NotonsSla somme des racinesn-iemes dez. D'apres le rappel : S=n1X k=0 1n ei(+2kn

Commeei+2kn

=ein e2ikn =ein e2in k(pour toutk2[[0;n1]]), on peut ecrire S=1n ein n 1X k=0 e2in k:

Commee2in

6 = 1 (puisquen>2), on a : S=1n ein 1 e2in n1e2in = 0 :Pour s'entra^ner :exercices 5 (derniere question), 9, 11.

1.3 Retrouver des formules de trigonometrie

1.3.1 Retrouver les formules elementaires

Les nombres complexes permettent de retrouver bien des formules trigonome- triques. Ils sont egalement tres pratiques pour calculer des sommes trigonome- triques (voir plus loin). Leur inter^et dans ce domaine est qu'ils traitent simultane- ment des cosinus et sinus, en les transformant par des exponentielles, en partant de l'observation elementaire suivante : pour tout reel,

Re(ei) = cos() et Im(ei) = sin():

Nous avons deja vu un exemple d'obtention de formule trigonometrique en

1.1.3. Voici un autre exemple elementaire :ExempleSoitaetbdeux réels.

Retrouver les formulescos(a+b) = cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)etsin(a+b) = sin( a )cos(b) + sin(b)cos(a).Il sut d'exprimer sous forme algebrique la relation :eiaeib=ei(a+b):

8Chapitre 1{Nombres complexes

1.3.2 Lineariser une expression polynomiale trigonometrique

Quand on etudie une expression polynomiale en cosinus et sinus, il est possible de lalineariser: Methode : Pour?lineariser?une expression polynomiale en cosinus et sinus, partir des relations d'Euler cos( ) =ei+ei2 etsin() =eiei2i cos

4() =ei+ei2

4 116
(ei)4+ 4(ei)3ei+ 6(ei)2(ei)2+ 4ei(ei)3+ (ei)4 116
e4i+ 4e2i+ 6 + 4e2i+e4i 18 cos(4 ) +12 cos(2 ) +38 :Remarque :ce calcul utilise une formule d'Euler, mais aussi la formule de Moivre.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12