antécédent flxt-ir-si-1-r-l-rt-1fkkirII-s-flxt--xi-tfloEq74loi4l
a Déterminer la valeur approchée de l’image de 2 par la fonction f b Déterminer la valeur approchée de l’image de 4 par la fonction g c Déterminer le(s) valeur (s) approchée(s) des antécé-dent(s) du nombre 2 par la fonction f d Déterminer le(s) valeur (s) approchée(s) des antécé-dent(s) du nombre 2,5 par la fonction g
AP SOUTIEN : « Déterminer l’image d’un nombre par une fonction
L'image de 3 par la fonction g est48 En effet, g(3) = 3 x (7 - Les antécé- dents en question sont-l etl b) 075 possède deux antécédents par la fonction f
Exercice 1 : Soit une fonction définie sur un ensemble Det Cf
Solutions : Exercice 1 : Egalité Image Courbe Equation Antécédent f(2) = 3 2 a pour image 3 par f A(2 ; 3) 2C f 2 est une solu- tion de f(x) = 3 2 est un antécé-dent de 3 par f f(1) = 0 1 a pour image
Méthodes
L’image de 1 par la fonction f est 3 Chaque nombre de D a une image unique par la fonction f f˚: D ® ˜? b Pour déterminer les anté-cédents par une fonction f d’un nombre réel b, on résout dans l’ensemble D l’équation f(x) =˚b Exemple˜: D˚=˚˜ f(x) =˚-2(x˚-˚1)2 + 3 Dans ˜, les antécédents de 1 par la fonction f
BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence
BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence On appelle fonction numérique f, un opérateur qui a un nombre x appelé antécédent fait correspondre un nombre f(x) appelé image de x par f Le domaine de définition de la fonction f, est l’ensemble de toute les valeurs x pour les quelles f peut être appliquée, dans ce cas f(x
350mes - ChingAtome
des antécé-dent (s) du nombre 2,5 par la fonction g 4 Calcul d’images et d’antécédents : Exercice 5682 On considère la fonction f ffi de coffit directeur 2 et d’ordonnée à l’origine 1 1 Déterminer l’expression algébrique de la fonction f 2 Déterminer l’image du nombre 3 par la fonction f 3
Chapitre 3 Fonctions de Rdans R
1 Fonction Définition 1 f est une fonction de E dans F si et seulement si, à tout élément x de E est associé au plus un élément de F noté f (x) et appelé image de x par f Le domaine de définition de f, noté Df, est l’ensemble des éléments x de E qui admettent une image f (x) par f On dit que y 2F admet un antécédent (au
Mise à jour
plus une image liquidienne rétro-utérine de faible abon-dance La patiente est alors hospitalisée pour réalisation d’une cœlioscopie Cette dernière retrouve une grossesse extra-utérine droite ampullaire en voie de rupture Une salpingec-tomie droite par cœlioscopie est réalisée L’examen anato-
Indications pour quelques exercices
a)Pour trouver les antécédents de 0 par cette fonction, il est préférable d’utiliser h En effet, on doit résoudre f(x) = 0 c’est à dire h(x) = 0 Soit 2(x 1)(x+ 3) = 0 Mais un produit est nul si et seulement si l’un des facteur est nul Donc x 1 = 0 ou x+3 = 0 (2 = 0 étant impossible) Soit x= 1 ou x= 3
Lombalgie aiguë (2 Version) - ResearchGate
tion, limitation fonctionnelle, irradiations et antécé-dents La corrélation entre l’image en fonction de ce qui lui convient le mieux Il doit être
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BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence
On appelle fonction numériquef,
un opérateur qui a un nombrexappelé antécédent fait correspondre un nombref(x) appelé image dexparf.
Le domaine de définition
de la fonctionf,est l"ensemble de toute les valeursxpour les quellesfpeut être appliquée, dans ce casf(x) existe.
1.Fonctions Linéaires/Affines
(a)Définition: fla fonction définie surRparf(x) =axoùaest un réel donné est la fonction linéaire , de coefficient de linéaritéa. Propriété: Dans le plan muni d"un repère, Toute fonction linéaire est représentée par une droite passant par l"origine. Réciproquement: Toute droite passant par l"origine, représente une fonction linéaire. (b)Définition: fla fonction définie surRparf(x) =ax+boùaetbsont des réels donnés est la fonction affine , de coefficient de linéaritéa, d"ordonnée à l"origineb. Propriété: Dans le plan muni d"un repère, Toute fonction affine est représentée par une droite. Réciproquement: Toute droite, représente une fonction affine.(c)Représentation graphique: Représenter ci-dessous les fonctionshetkdéfinies surRparh(x) =-x+3
etk(x) =1 3x. 123-1 -2 -3 -41 2 3-1-2-3-4
Résoudre graphiquementh(x) = 2,
Vérifier algébriquement
Résoudre graphiquementk(x) =-2
3,Vérifier algébriquement
page : 1/ 6 BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence(d)Lecture graphique: Donner la nature et l"expression des deux fonctions représentées ci-dessous,
12 -1 -2 -31-1-2 Df fest ................ f(x) =...............Quelle est l"image de
-1 parf? ..........Quelle est l"antécé-
dent de-1 parf? ..Quelle est l"équation
de la droite qui repré- sentef? ............Le pointA(-1;-2)
appartient-il à cette droite? Justifier ..... 12 -1 -2 -31-1-2Dg gest ................ g(x) =...............Quelle est l"image de
1 parg? ............
Quelle est l"antécé-
dent de 1 parg? ....Quelle est l"équation
de la droite qui repré- senteg? ............Le pointB(-1;0,5)
appartient-il à cette droite? Justifier .....2.Fonctions Second Degré
(a)Définitions:a,betcsont donnés,xest la variableOn appelle trinôme du second degré
une expression de la formeax2+bx+c.On appelle fonction du second degré
une fonction définie surRde la formef(x) =ax2+bx+c.(b)Propriété: Dans le plan muni d"un repère, Toute fonction second degré estreprésentée par une parabole
Réciproquement: Toute parabole, représente une fonction second degré. (c) À propos du second degréf(x) =ax2+bx+c: •Deuxtypes de paraboles: "les bras vers le haut" poura >0, et "les bras vers le bas" poura <0. •Lesommetd"une parabole est toujours atteint pourx=-b 2a. •L"axe de symétried"une parabole est la droite d"équationx=-b 2a. •Lediscriminantest donné par Δ =b2-4ac, l"équationax2+bx+c= 0 admet : . Aucune solution réelles lorsque Δ<0, dans ce cas la parabole et l"axe des abscisses n"ont pas de point d"intersection. . Une unique solution lorsque Δ = 0, cette solution est x=-b 2a. . Deux solutions lorsque Δ>0, ces solutions sont x1=-b-⎷
2aetx2=-b+⎷
2a 123-1 -2 -3 -41 2 3 4-1-2-3-4 axe de symétrie a >0,Δ>0 a <0,Δ = 0 a >0,Δ<0
×S×
S 1× S 2 page : 2/ 6 BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence (d)Prendre un bon départ:Pour représenter une parabole il faut connaître son type, son sommet, son axe de symétrie, placer
plusieurs points.Déterminer les points d"intersection, s"ils existent, avec l"axe des abscisses peut être intéressant.
Exemple: Soitf, définie surRparf(x) =x2+ 4x+ 3. fest une fonction du second degré, du typef(x) =ax2+bx+coù a= 1>0 donc est représentée graphiquement par une parabole du type "les bras vers le haut". D"autre partb= 4, alors le sommet est atteint pourx=-4 2=-2 et vautf(-2) = (-2)2+ 4×(-2) + 3 =-1.Enfin Δ = 4
2-4×1×3 = 4>0, l"équationx2+ 4x+ 3 = 0 admet
donc deux solutions x1=-4-2
2=-3 etx2=-4 + 22=-1,
la parabole et l"axe des abscisses ont donc deux points d"intersection enx1=-3 et enx2=-1. 12345-1-1-2-3-4 a= 1>0,Δ = 4>0 S x 1× x 2 (e)À vous de faire: Exercices.
3.Fonction Inverse
(a)Définition:fla fonction définie surR?parf(x) =1 xest la fonction inverse.(b)Propriété: Dans le plan muni d"un repère, la fonction inverse est représentée par une hyperbole
(c) À propos de l"hyperboleHd"équationy=1 x: •La fonctionfinverse est une fonction impaire.En effet pour toutx?R?,f(-x) =1
-x=-1x=-f(x). L"hyperboleHadmet donc l"origine (0;0) pour centre de symétrie. •La fonctionfinverse n"est pas définie en 0. De plus lorsquexse rapproche de 0, valeurs positives, le quotientf(x) =1 xse rapproche de +∞, On dit quef(x) tend vers +∞lorsquextend vers 0+, on notelimx?→0+f(x) = +∞. On peut obtenir des valeurs aussi grandes que voulu, dès lors quexest suffisamment proche de 0. Mais aussi, lorsquexse rapproche de 0, valeurs négatives, le quotientf(x) =1 xse rapproche de On dit quef(x) tend vers-∞lorsquextend vers 0-, on notelimx?→0-f(x) =-∞. L"hyperboleHadmet l"axe des ordonnées pour asymptote verticale page : 3/ 6 BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence •Lorsquexse rapproche de +∞, le quotientf(x) =1xse rapproche de 0, On dit quef(x) tend vers 0 lorsquextend vers +∞, on notelimx?→+∞f(x) = 0. On peut obtenir des valeurs aussi petites que voulu, dès lors quexest suffisamment grand. Lorsquexse rapproche de-∞, le quotientf(x) =1 xse rapproche de 0, On dit quef(x) tend vers 0 lorsquextend vers-∞, on notelimx?→-∞f(x) = 0. On peut obtenir des valeurs aussi petites que voulu, dès lors quexest suffisamment petit. L"hyperboleHadmet en +∞et en-∞l"axe des abscisses pour asymptote horizontale 123-1 -2 -31 2-1-2H ×O 123
-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2 (d)À vous de faire: Soitgdéfinie surR-2 parg(x) =1x-2+ 1, représentée par l"hyperboleCg. •Préciser le centre de symétrie, les asymptotes deCg. •Placer ce centre et ces asymptotes. •ReprésenterCg. page : 4/ 6 BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence
4.Fonction Racine Carrée:
(a)Définition: fdéfinie surR+parf(x) =⎷ xest la fonction racine carrée.Pour toutx?R+,⎷
xest le nombre positif dont le carré vautx. (b)Représentation graphique, et position relative de courbes:Dans le repère ci-dessous, représenter
h(x) =xpar la courbedh,k(x) =x2par la courbeP,f(x) =⎷ xpar la courbeCfetg(x) =1xpar la courbeH. 1234-1 -21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1-2 Décrire les positions relatives des courbesdh,PetCfsur [0;+∞[ : page : 5/ 6 BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence
5.Fonctions Sinus et Cosinus:
(a) On rappelle les représentations graphiques des fonctionsf(x) = sin(x) etg(x) = cos(x) définies surR:
1 -1 -2π2π3π22π5π23π-π2-π-3π2
y= sin(x) y= cos(x) (b)Propriétés:1. Les fonctionssinusetcosinussont 2π-périodiques
En effet,
les courbes sont inchangées par translations de vecteurs (2π;0), pour toutx?R, sin(x+ 2π) = sin(x) et cos(x+ 2π) = cos(x). Marquer sur la représentation graphique cette période.2. La fonctioncosinusest paire
En effet,
la courbe qui représenteg(x) = cos(x) admet l"axe des ordonnées pour axes de symétrie, pour toutx?R, cos(-x) = cos(x). Marquer sur la représentation graphique cet axe.3. Les fonctionssinusetcosinussont liées par la relation : pour toutx?R, cos(x+π
2) = sin(x) .
En effet,
on passe de la courbe qui représenteg(x) = cos(x) à celle qui représentef(x) = sin(x) par une translation de vecteur ( 2;0). Marquer sur la représentation graphique cette translation. (c)Fonctions trigonométriques et cercle trigonométrique: sin(x) cos(x)×O× J I× M x degré0◦30◦45◦60◦90◦ radian0π 6 4 3 2 cos(α)1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 sin(α)01 2 ⎷2 2 ⎷3 211 1 1
2⎷2
2⎷
3 212⎷
22⎷
3 2 3π 4π 6 0 2(d)Quelques Formules trigonométriques: ..............................................................
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