[PDF] Calculs matriciels - unicefr



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Le rang - unicefr

Une des concepts fondamentaux dans l’alg`ebre lin´eaire est le rang d’une matrice Il admet de plusieurs d´efinitions ´equivalentes En voici la premi`ere D´efinition Le rang d’une matrice A est le nombre de lignes non nulles dans sa forme ´echelonn´ee en lignes On le note rgA Par exemple la matrice suivante A se r´eduit en



Généralités sur les matrices - HEC Montréal

4 Rang d’une matrice Le rang d’une matrice A de dimension I H J correspond au nombre de lignes non nulles de sa forme échelonnée réduite On dit que # est de « plein rang » si rA Lm Remarque : Le rang d’une matrice donne le nombre maximum de ses lignes



Calculs matriciels - unicefr

Rang d'une matrice Le rang d'une matrice A2M(p;n;K ) a été dé ni comme étant le rang du système homogène qu'elle dé nit On a vu qu'on peut aussi le caractériser comme le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes qu'on peut extraire de A, autrement dit comme étant la dimension du s e v VectK (fL 1(A); ;L p(A)g)



Racines carrées d’une matrice

d) Montrer que pour toute matrice carrée d’ordre 3, il existe une unique matrice carrée d’ordre 3 telle que et exprimer en fonction de et e) En déduire, si , l’équation vérifiée par , puis que commute avec , enfin que est une matrice diagonale et en déduire



imagename=/home/moi/Photos/Maths/matrice

Matrice carrée inversible Opérations sur les lignes 3 Rang d’une matrice Matrices ligne-équivalentes L réduite échelonnée 4 Changement de base 5 Matrice d’un morphisme 6 Rotations (Iut de Nantes - Dpt d’informatique) 16 / 53



Compléments sur les matrices

•Savoir qu’une matrice carrée A est inversible ssi rgA= n •Savoir que pour A2M n;p(K) on a toujours : rgA n et rgA p •Savoir que rgA= rgtA •Savoir que le rang de f 2L(E;F) est égal au rang de toutes les matrices qui représentent f •Savoir que rgA r ssi on peut extraire de A une matrice inversible de taille r



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A=pX i=10 nX j=1a i;ji;j1 A (fL1(A);;Lp(A)g) t(tA) =A? t(A+B) =tA+tB? (fC1(A);;Cn(A)g) ??M(n;?)? ??M(n;?)? (A+tA) +12 (AtA)? ????? ?? ?????? ??? ?????? ???????M= (mi;j)2 M(k;r;?)????? ??? 0 B @s 1??? s k1 C A=0 B @m m k;1t1++mk;rtr1 C A: B @s 1??? s k1 C A=0 B @m m k;1mk;r1 C A0 B @t 1??? t r1 C B @s 1??? s k1 C A=M0 B @t 1??? t r1 C A: A2 M(p;q;?)?B2 M(q;n;?)? ??C2 M(p;n;?)??????? ?????? ???0 B @z 1??? z p1 C A=A0 B @y 1??? y q1 C

A????0

B @y 1??? y q1 C A=B0 B @x 1??? x n1 C

A? ??0

B @z 1??? z p1 C A=C0 B @x 1??? x n1 C A? 0 B @z 1??? z p1 C A=C0 B @x 1??? x n1 C A=A0 B @y 1??? y q1 C A=A0 B @B0 B @x 1??? x n1 C A1 C A ??? ?? ??????? ?? ??????An? B 1??? q1 C

A= (11++qq)

c i;j=Li(A)Cj(B)

8A;B2 M(p;q;?)??8M;N;2 M(q;n;?)? ?? ?A(M+N) =AM+AN??(A+B)M=AM+BM?

?????? ?? ???????AB?Li(AB) =Li(A)B

M(p;q;?)??8A2 M(p;q;?)?? ?NA=A?

???? ????? ??? ?????? ??????? ??????? ?????A1??? ??? ????? ???? ??? ??????? ? ?????? ???? ?????? ? AA

1=A1A=Ip

k=0 kAk= 0????06= 0? ?? ???? ????? ?? ??????? ??? k=1 k ??3A4A3+ 5A27A1+ 2A0= 0 ?????3A4A3+ 5A27A1=2Ip A4+12 A352 A2+72 A1=Ip A3+12 A252 A1+72 A3+12 A252 A+72 Ip (AjI)? (AjI)()(E1AjE1I)() ()(EkE1AjEkE1I) = (IjA1)

A= (EkE1)1=E11E1

8M2 M(p;n;?)??8N2 M(n;p;?)?

????(AM) =????(M)?? ????(NA) =????(N)? tA1=tA1 p)p????? p)p p)p?? p? ??det(Ip) = 1? ???? ??? ????? ??A??? ?????det(A) = 0? ????A= (ai;j)2 M(p;?)? ??????Aci;j2 M(p1;?)?? ??????? ??????? ?? ?????? ?? ?????i?? ?? ???????j?? ?? ???????A? ?? ? ????? ? ??? ???? ???? ?? ieme?????? det(A) =pX j=1(1)i+jai;jdet A ci;j i=1(1)i+jai;jdet A ci;j A ci;j P P P P P ???? ?? ??? ?(v1;;vp)??? ??? ???? ??E()detB(v1;;vp)6= 0 ??(A) =???p X i=1a i;i ??(A+B) =??(A) +??(B)?? ??(A) =??(A)

8M2 M(p;q;?)??8N2 M(q;p;?)?? ? ?MN2 M(p;?)?NM2 M(q;?)? ??

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