1ère S Cours équations et inéquations trigonométriques

2) Trouvez les solutions dans [02; π] de l'équation, d'inconnue a sin3 1 2 a = Représentez sur un cercle trigonométrique les points associés à ces solutions 3) Montrez que pour tout nombre réel a, sin33aa= sin −4sin3 a 4) Déduisez de la question 2) les solutions de l'équation fx( )=0 Donnez-en des valeurs approchées à 0,1 près

3- Résolution d’équations trigonométriques

On appelle équation différentielle, une équation où interviennent une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées successives f (x, y, y', y'') 0 ou , , , 0 2 2 ˇˇ ˆ ˙ ˝˝ ˛ ˚ dx d y dx dy f x y Résolution d’une équation différentielle Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, c’est déterminer

Exercices de résolution déquations trigonométriques

Centre d’aide en mathématiques 20 août 2005 Collège Ahuntsic Exercices de résolution d’équations trigonométriques Une équation trigonométrique possède en général une infinité de solutions On appelle solutions principales les solutions comprises entre 0 et 2π

1ère S Cours équations et inéquations trigonométriques

IV Résolution d’une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple) Résoudre dans [0 ; 4 ] l’équation 1 cos2 2 x (1) 1ère étape : On résout l’équation dans Astuce de départ : 1 cos 3 2 (1) cos2 cos 3 x 2 2 3 x k k ou 2 2 3 x k'

Première S - Equations trigonométriques

Equations trigonométriques I) Equations de la forme cos = cos a a est un nombre réel donné • Si a est différent de 0 + Ê alors : L’ensemble des solutions de l’équation cos = cos a est :

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

trigonométrique les valeurs interdites pour x ainsi que les solutions trouvées Confronte-les Conclus Agis de même avec l’équation tan2x = − √ 3 4 a) Pour déterminer les angles d’amplitude x en radians tels que cos x < √ 3 2, – trace un cercle trigonométrique C; – sur l’axe des abscisses, place le point d’abscisse √ 3 2

Méthodes de résolution déquations I Equations trigonométriques

Méthodes de résolution d'équations I Equations trigonométriques Un angle possède une in nité de mesures en radians La mesure d'un angle est la seule mesure comprise dans l'intervalle Propriété Additionner ˇou ˇa une mesure en radians revient à faire un Propriété 1 Les aleursv remarquables du sinus et du cosinus

1ère S Équations et inéquations trigonométriques avec des

IV Résolution d’une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple) Résoudre dans 0; 4 l’équation 1 cos2 2 x 1 1ère étape : On résout l’équation dans R Astuce de départ : 1 cos 3 2 1 ⇔ cos2 cos 3 x 1 ⇔ 2 2 3 x k k ou 2 2 3 x k' k '

ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Activité 6: résolution graphique d'une équation du type cos(x) = a, où x est la mesure, en radian d'un angle Soit en figure 4 le plan muni du repère orthonormal (O, OA,OB) et le cercle trigonométrique associé fig 4 1 S'aider des activités préliminaires pour résoudre graphiquement les équations suivantes sur

Fiche méthode : Résolution d’équation trigonométrique

Résolution d’équation trigonométrique 1) Base cos( )=−√3 2 (cos )=−cos( ???? 6) ???? (cos )=cos(π+ ???? 6) parfaite égalité entre les (cos )=cos( 7???? 6) { =7???? 6 +2???????? ???????? , =−7???? 6 +2???????? ????∈ℤ On commence par regarder la valeur de droite, on oublie son

1ère S

Chapitre 30

Equations et inéquations trigonométriques

avec des cosinus et des sinus

I. Règles fondamentales

1°) Egalité de deux cosinus

a et b sont deux réels. A B A' B' O b cos cos a b si et seulement si

2a b k k

2 'a b k 'k

2°) Egalité de deux sinus

a et b sont deux réels. A B A' B' O b sin sin a b si et seulement si

2a b k k

2 'a b k 'k

-b -b 2 II. Exemples de résolutions d'équations trigonométriques

1°) Exemple 1

Résoudre dans l'équation 1cos2x (1).

Astuce de départ :

1cos2 3

Réécriture de l'équation

(1) s'écrit cos cos3x (1) cos cos3x (" on équilibre l'équation »)

23x k k

ou (on " enlève » les cos avec la règle 1)

2 '3x k 'k

12 , 2 ' , '3 3S k k k k

2°) Exemple 2

Résoudre dans l'équation

ne pas développer

2sin3 2x

(2).

Astuce de départ :

2sin2 4

Réécriture de l'équation

(2) s'écrit sin sin3 4x (2) sin sin3 4x

23 4x k k

2 '3 4x k 'k

24 3x k k

2 '4 3x k 'k

212x k k

52 '12x k 'k

252 , 2 ' , '12 12S k k k k

3°) Exemple 3

Résoudre dans l'équation cos3 sinx x (3).

Astuce de départ :

sin cos2x x

Réécriture de l'équation

(3) s'écrit cos3 cos2x x (3) cos3 cos2x x

3 22x x k k

3 22x x k' 'k

4 22x k k

2 2 '2x k 'k

22
4 k x k ou 2 '2 2 k x 'k 4

8 2x k k

ou '4x k 'k

3, ' , '8 2 4S k k k k

A B A' B' O

1ère famille (points rouges) 2e famille (points verts)

0k : 8

1k : 5

8 2 8

2k : 9

8 8

3k : 3 13

8 2 8 ' 0k : 4 ' 1k : 3 4 4 0M8 313M8
15M8 29M8
0M'4 13M'4 5 III. Equations trigonométriques particulières

1°) Règles

Par lecture du cercle trigonométrique, on obtient dans chaque cas une seule famille de solutions. cos 1x 2x k k cos 1x 2x k k cos 0x 2x k k sin 1x 22x k k sin 1x 22x k k sin 0x x k k

2°) Justification

Donner 6 cercles trigonométriques

Equation cos 1x

Les solutions ont pour point image A.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres 0, 2, 4, -2, -4

Il s'agit des nombres de la forme 2kavec k.

Equation cos 1x

Les solutions ont pour point image A'.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres , 3, -, -3

Il s'agit des nombres de la forme kavec k.

Equation cos 0x

Les solutions ont pour points images B et B'.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres 2

, 3 2 , 2 , 3 2

Il s'agit des nombres de la forme 2x k avec k.

Equation sin 1x

Les solutions ont pour point image B.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres 2

, 22 , 42 , 22 , 42

Il s'agit des nombres de la forme 22k avec k.

Equation sin 1x

Les solutions ont pour point image B'.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres 2

, 22 , 42 , 22 , 42

Il s'agit des nombres de la forme 22k avec k.

Equation sin 0x

Les solutions ont pour points images A et A'.

O AA' B B' Les solutions sont les nombres 0, , 2, 3, 4, - , - 2, - 3, - 4

Il s'agit des nombres de la forme x k avec k.

IV. Résolution d'une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple) Résoudre dans [0 ; 4] l'équation 1cos22x (1).

1ère étape :

On résout l'équation dans .

Astuce de départ :

1cos3 2

(1) cos2 cos3x

2 23x k k

2 23x k' 'k

6x k k

ou '6x k 'k 9

2e étape :

On cherche les solutions dans [0 ; 4]

1ère famille

2e famille

On cherche k tel que :

0 46k

10 46k

1 23 6 6k

10,166...6

233,833...6

k Donc 0k ou 1k ou 2k ou 3k 1 6

On cherche 'k tel que :

0 ' 46k

10 ' 46k

1 25'6 6k

10,166...6

254,1666...6

'k Donc 1k' ou 2k' ou 3k' ou 4k' 1 6

On donne l'ensemble des solutions dans [0 ; 4].

0; 45 7 11 13 17 19 23; ; ; ; ; ; ;6 6 6 6 6 6 6 6S

V. Inéquations trigonométriques

1°) Remarques préliminaires

Il n'y a pas de règle.

On utilise le cercle trigonométrique.

2°) Exemples

Exemple 1

Résoudre dans l'intervalle [- ; ] l'inéquation 2cos2x. A B A' B' O D'après le cercle trigonométrique : ;4 4S .quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

[PDF] 1ère S Cours équations et inéquations trigonométriques

1ère S

Chapitre 30

Equations et inéquations trigonométriques

I. Règles fondamentales

1°) Egalité de deux cosinus

2a b k k

2 'a b k 'k

2°) Egalité de deux sinus

2a b k k

2 'a b k 'k

1°) Exemple 1

Résoudre dans l'équation 1cos2x (1).

Astuce de départ :

1cos2 3

Réécriture de l'équation

23x k k

2 '3x k 'k

12 , 2 ' , '3 3S k k k k

2°) Exemple 2

Résoudre dans l'équation

2sin3 2x

Astuce de départ :

2sin2 4

Réécriture de l'équation

23 4x k k

2 '3 4x k 'k

24 3x k k

2 '4 3x k 'k

212x k k

52 '12x k 'k

252 , 2 ' , '12 12S k k k k

3°) Exemple 3

Astuce de départ :

Réécriture de l'équation

3 22x x k k

3 22x x k' 'k

4 22x k k

2 2 '2x k 'k

8 2x k k

3, ' , '8 2 4S k k k k

1ère famille (points rouges) 2e famille (points verts)

0k : 8

1k : 5

2k : 9

3k : 3 13

1°) Règles

2°) Justification

Donner 6 cercles trigonométriques

Equation cos 1x

Les solutions ont pour point image A.

Les solutions sont les nombres 0, 2, 4, -2, -4

Il s'agit des nombres de la forme 2kavec k.

Equation cos 1x

Les solutions ont pour point image A'.

Les solutions sont les nombres , 3, -, -3

Il s'agit des nombres de la forme kavec k.

Equation cos 0x

Les solutions ont pour points images B et B'.

Les solutions sont les nombres 2

Il s'agit des nombres de la forme 2x k avec k.

Equation sin 1x

Les solutions ont pour point image B.

Les solutions sont les nombres 2

Il s'agit des nombres de la forme 22k avec k.

Equation sin 1x

Les solutions ont pour point image B'.

Les solutions sont les nombres 2

Il s'agit des nombres de la forme 22k avec k.

Equation sin 0x

Les solutions ont pour points images A et A'.

Il s'agit des nombres de la forme x k avec k.

1ère étape :

On résout l'équation dans .

Astuce de départ :

1cos3 2

2 23x k k

2 23x k' 'k

6x k k

2e étape :