1ère S Cours équations et inéquations trigonométriques

II Exemples de résolutions d’équations trigonométriques 1°) Exemple 1 Résoudre dans l’équation 1 cos 2 x (1) Astuce de départ : 1 cos 2 3 Réécriture de l’équation (1) s’écrit cos cos 3 x (1) cos cos 3 x (« on équilibre l’équation ») 2 3 x k k

Equations trigonométriques - exercices corrigés

Les équations trigonométriques, qui possèdent en général une infinité de solutions (sauf si on restreint l’intervalle de définition), se résolvent presque exclusivement en utilisant les équivalences suivantes : 2, cos cos ou 2, abkk ab abkk π π =+ ∈ =⇔ =−+ ∈]] et 2, sin sin ou 2, abkk ab abkk π ππ =+ ∈ =⇔

3- Résolution d’équations trigonométriques

3- Résolution d’équations trigonométriques 3-1 Équation sinx = a Soit a un réel donné L’équation sin x a possède : aucune solution si a [1;1]; une infinité de solution si a [1;1] x Arcsina désigne l’unique solution comprise dans l’intervalle 2; 2 L’ensemble des solutions sur IR est : x Arcsina 2k, k ou x Arcsin a 2k, k

Exercices de résolution déquations trigonométriques

Centre d’aide en mathématiques 20 août 2005 Collège Ahuntsic Exercices de résolution d’équations trigonométriques Une équation trigonométrique possède en général une infinité de solutions On appelle solutions principales les solutions comprises entre 0 et 2π

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

EXERCICES 2 ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES 9 Domaine Ensemble des racines 1) R\ π 12 +k π 3 k ∈ Z − π 12 +k π 3 k ∈ Z 2) R\ π 4 +k π 2 k ∈ Z ∪ k π 2 k ∈ Z φcar ± π 4 +kπ sont àécarter, elles

Première S - Equations trigonométriques

Equations trigonométriques I) Equations de la forme cos = cos a a est un nombre réel donné • Si a est différent de 0 + Ê alors : L’ensemble des solutions de l’équation cos = cos a est :

I Equations trigonométriques

I Equations trigonométriques Un angle possède une in nité de mesures en radians La mesure principale d'un angle est la seule mesure comprise dans l'intervalle ] ˇ;ˇ] +ˇ ˇ Origine des radians Propriété M Drouot IUT GCCD - Résolution d'équations trigonométriques

1ère S Équations et inéquations trigonométriques avec des

Exemples de résolutions d’équations trigonométriques III Équations trigonométriques particulières IV Résolution d’une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple) V Inéquations trigonométriques VI Utilisation de la calculatrice VII Point méthode pour la résolution d’une équation trigonométrique dans R 2

Chapitre 3 : Trigonométrie

1 3 Résolution d’équations trigonométriques Déﬁnition 2 Soit θ ∈ R, on dit qu’un réel x est congru à α modulo θ si x = α+kθ, où k est un entier relatif quelconque On le note x ≡ α[θ] Exemple : On peut ainsi écrire x ≡ θ[2π] pour indiquer que le réel x correspond sur le cercle

1ère S

Chapitre 30

Equations et inéquations trigonométriques

avec des cosinus et des sinus

I. Règles fondamentales

1°) Egalité de deux cosinus

a et b sont deux réels. A B A' B' O b cos cos a b si et seulement si

2a b k k

2 'a b k 'k

2°) Egalité de deux sinus

a et b sont deux réels. A B A' B' O b sin sin a b si et seulement si

2a b k k

2 'a b k 'k

-b -b 2 II. Exemples de résolutions d'équations trigonométriques

1°) Exemple 1

Résoudre dans l'équation 1cos2x (1).

Astuce de départ :

1cos2 3

Réécriture de l'équation

(1) s'écrit cos cos3x (1) cos cos3x (" on équilibre l'équation »)

23x k k

ou (on " enlève » les cos avec la règle 1)

2 '3x k 'k

12 , 2 ' , '3 3S k k k k

2°) Exemple 2

Résoudre dans l'équation

ne pas développer

2sin3 2x

(2).

Astuce de départ :

2sin2 4

Réécriture de l'équation

(2) s'écrit sin sin3 4x (2) sin sin3 4x

23 4x k k

2 '3 4x k 'k

24 3x k k

2 '4 3x k 'k

212x k k

52 '12x k 'k

252 , 2 ' , '12 12S k k k k

3°) Exemple 3

Résoudre dans l'équation cos3 sinx x (3).

Astuce de départ :

sin cos2x x

Réécriture de l'équation

(3) s'écrit cos3 cos2x x (3) cos3 cos2x x

3 22x x k k

3 22x x k' 'k

4 22x k k

2 2 '2x k 'k

22
4 k x k ou 2 '2 2 k x 'k 4

8 2x k k

ou '4x k 'k

3, ' , '8 2 4S k k k k

A B A' B' O

1ère famille (points rouges) 2e famille (points verts)

0k : 8

1k : 5

8 2 8

2k : 9

8 8

3k : 3 13

8 2 8 ' 0k : 4 ' 1k : 3 4 4 0M8 313M8
15M8 29M8
0M'4 13M'4 5 III. Equations trigonométriques particulières

1°) Règles

Par lecture du cercle trigonométrique, on obtient dans chaque cas une seule famille de solutions. cos 1x 2x k k cos 1x 2x k k cos 0x 2x k k sin 1x 22x k k sin 1x 22x k k sin 0x x k k

2°) Justification

Donner 6 cercles trigonométriques

Equation cos 1x

Les solutions ont pour point image A.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres 0, 2, 4, -2, -4

Il s'agit des nombres de la forme 2kavec k.

Equation cos 1x

Les solutions ont pour point image A'.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres , 3, -, -3

Il s'agit des nombres de la forme kavec k.

Equation cos 0x

Les solutions ont pour points images B et B'.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres 2

, 3 2 , 2 , 3 2

Il s'agit des nombres de la forme 2x k avec k.

Equation sin 1x

Les solutions ont pour point image B.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres 2

, 22 , 42 , 22 , 42

Il s'agit des nombres de la forme 22k avec k.

Equation sin 1x

Les solutions ont pour point image B'.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres 2

, 22 , 42 , 22 , 42

Il s'agit des nombres de la forme 22k avec k.

Equation sin 0x

Les solutions ont pour points images A et A'.

O AA' B B' Les solutions sont les nombres 0, , 2, 3, 4, - , - 2, - 3, - 4

Il s'agit des nombres de la forme x k avec k.

IV. Résolution d'une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple) Résoudre dans [0 ; 4] l'équation 1cos22x (1).

1ère étape :

On résout l'équation dans .

Astuce de départ :

1cos3 2

(1) cos2 cos3x

2 23x k k

2 23x k' 'k

6x k k

ou '6x k 'k 9

2e étape :

On cherche les solutions dans [0 ; 4]

1ère famille

2e famille

On cherche k tel que :

0 46k

10 46k

1 23 6 6k

10,166...6

233,833...6

k Donc 0k ou 1k ou 2k ou 3k 1 6

On cherche 'k tel que :

0 ' 46k

10 ' 46k

1 25'6 6k

10,166...6

254,1666...6

'k Donc 1k' ou 2k' ou 3k' ou 4k' 1 6

On donne l'ensemble des solutions dans [0 ; 4].

0; 45 7 11 13 17 19 23; ; ; ; ; ; ;6 6 6 6 6 6 6 6S

V. Inéquations trigonométriques

1°) Remarques préliminaires

Il n'y a pas de règle.

On utilise le cercle trigonométrique.

2°) Exemples

Exemple 1

Résoudre dans l'intervalle [- ; ] l'inéquation 2cos2x. A B A' B' O D'après le cercle trigonométrique : ;4 4S .

Exemple 2

Résoudre dans l'intervalle ;2 2

l'inéquation 1sin22x.

1ère étape

On pose : 2X x.

2 2x 2x X 2 (2 Donc 1sin2 X X 4 4 2 2 11 A B A' B' O

D'après le cercle trigonométrique :

5 6 6X

2e étape

Or 2X x

Donc 526 6x

12 12x

: 2 (2

5;12 12S

6 5 6 1 2 12

VI. Utilisation de la calculatrice

1°) Pour les cosinus

1cos2x

A B A' B' O

Calculatrice

Mode radians :

2nd cos 0,5 = 1,04719...

3 La calculatrice donne une valeur dans l'intervalle [0 ; ].

2°) Pour les sinus

A B A' B' O La calculatrice donne une valeur dans l'intervalle ;2 2 3 0 1 2 2 2 13

1ère S Exercices sur les équations et inéquations trigonométriques

1 Résoudre dans l'équation 3cos 23 2x .

2 Résoudre dans l'équation 1sin 32x.

3 Résoudre dans l'équation sin 5 sin 0x x .

4 Résoudre dans l'équation 22cos 7cos 3 0x x .

5 Résoudre dans l'équation 3 cos sin 2 0x x .

6 Résoudre dans l'équation 1 3 cos sin 12 2x x .

7 Résoudre dans 0 ; 2 l'inéquation 3cos 2x.

8 Résoudre dans ; l'inéquation 2sin 2x .

9 Résoudre dans ; l'inéquation 21cos 4x.

Réponses

1 , , 4 12S k k k' k'

2 2 5 2, , 18 3 18 3

k k'S k k'

3 Astuce : l'équation est équivalente sin 5 sin x x soit sin 5 sin x x .

, , 3 4 2 kS k k' k'

[PDF] 1ère S Cours équations et inéquations trigonométriques

1ère S

Chapitre 30

Equations et inéquations trigonométriques

I. Règles fondamentales

1°) Egalité de deux cosinus

2a b k k

2 'a b k 'k

2°) Egalité de deux sinus

2a b k k

2 'a b k 'k

1°) Exemple 1

Résoudre dans l'équation 1cos2x (1).

Astuce de départ :

1cos2 3

Réécriture de l'équation

23x k k

2 '3x k 'k

12 , 2 ' , '3 3S k k k k

2°) Exemple 2

Résoudre dans l'équation

2sin3 2x

Astuce de départ :

2sin2 4

Réécriture de l'équation

23 4x k k

2 '3 4x k 'k

24 3x k k

2 '4 3x k 'k

212x k k

52 '12x k 'k

252 , 2 ' , '12 12S k k k k

3°) Exemple 3

Astuce de départ :

Réécriture de l'équation

3 22x x k k

3 22x x k' 'k

4 22x k k

2 2 '2x k 'k

8 2x k k

3, ' , '8 2 4S k k k k

1ère famille (points rouges) 2e famille (points verts)

0k : 8

1k : 5

2k : 9

3k : 3 13

1°) Règles

2°) Justification

Donner 6 cercles trigonométriques

Equation cos 1x

Les solutions ont pour point image A.

Les solutions sont les nombres 0, 2, 4, -2, -4

Il s'agit des nombres de la forme 2kavec k.

Equation cos 1x

Les solutions ont pour point image A'.

Les solutions sont les nombres , 3, -, -3

Il s'agit des nombres de la forme kavec k.

Equation cos 0x

Les solutions ont pour points images B et B'.

Les solutions sont les nombres 2

Il s'agit des nombres de la forme 2x k avec k.

Equation sin 1x

Les solutions ont pour point image B.

Les solutions sont les nombres 2

Il s'agit des nombres de la forme 22k avec k.

Equation sin 1x

Les solutions ont pour point image B'.

Les solutions sont les nombres 2

Il s'agit des nombres de la forme 22k avec k.

Equation sin 0x

Les solutions ont pour points images A et A'.

Il s'agit des nombres de la forme x k avec k.

1ère étape :

On résout l'équation dans .

Astuce de départ :

1cos3 2

2 23x k k

2 23x k' 'k

6x k k

2e étape :