Outils 3 in quations

besoin il faut factoriser l’expression E) Ceci se fait à l’aide d’un tableau de signes 3˚ Enfin il faut utiliser l’information donnée dans ce tableau de signes pour trouver l’ensemble solution de l’inéquation initiale et conclure adéquatement Illustrons cette méthode en résolvant deux exemples

Résolution d’équations et d’inéquations

Résolution d’équations et d’inéquations Résoudre une équation (ou une inéquation) c’est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l’égalité (ou l’inégalité) est vraie I Équations I 1 Équations du premier degré Propriété : Si l’on ajoute ou que l’on soustrait un même nombre à chaque membre

Outils 3 in quations - Free

2ndeISI Outils de calcul chapitre 3 2009-2010 III Résolution graphique d’une inéquation Soient f et g deux fonctions de courbes représentatives C f et C g • Les solutions de l’équation f(x) < k [respectivement f(x) > k] sont les abscisses des points de la courbe C

Chapitre 9 Résolutions algébriques et graphiques des

III Résolution graphique de certaines inéquations III 1 Résolution graphique d'une inéquation de la forme V(W)≤X Soit N une fonction d'ensemble de définition Y et de courbe représentative Z Soit un réel Résoudre l'inéquation N(*)≤ , c'est trouver tous les réels * appartenant à Y dont l’image N(*) est inférieure ou égale à

2 Inéquation à une inconnue - Site de Mathématiques

_ Résoudre une inéquation à partir de l’étude du signe d’une expression produit ou quotient de facteurs du premier degré _ Résoudre algébriquement les inéquations nécessaires à la résolution d’un problème 1) Tableau d’une expression du type carrée: Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul

MAT-3051-2 - MatFGA

rÉsolution d’inÉquation Lorsque l’on résout une inéquation () en isolant la variable, disons , les valeurs possibles que peut prendre dépendront de

Études de signes et inéquations, cours de seconde

• On détermine à partir du tableau les valeurs de x solutions de l’inéquation : S = [−∞;2[∪[5,5;+∞[4 Synthèse sur les inéquations Démarche de résolution : Pour résoudre une inéquation donnée, on utilise des développements, des factori-sations ou des transpositions d’un membre à l’autre pour se ramener à :

fiche méthode inéquations

En fait, on va se rapprocher davantage de la résolution d’équations du second degré Il faut commencer par factoriser puis on fait un tableau de signes Attention : un tableau de signes ne peut se faire que sur une forme factorisée Exemples: ( x – 8 ) ( 3x + 2 ) < 0 : on peut faire un tableau de signes

Fonctions affines Exercices corrigés

3) Résolvons graphiquement l’inéquation Rappel : Résolution graphique d’inéquations Soient et deux fonctions et soient et leurs courbes représentatives x Les solutions de l’inéquation sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessous de la courbe

Cours de mathématiques ECT 1ère année Chapitre 2 Équations et

signe de a x +b −∞ −b a +∞ − 0 + Cas a 0 : Dans ce cas, on peut écrire axb ⇐⇒ x b a et on a donc le tableau de signe ci-dessus • Cas a >0 : Dans ce cas

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RÉSOLUTION D"INÉQUATIONS

Table des matières

I Inéquations du premier degré1

II Tableaux de signes2

II.1 Signe deax+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II.2 Inéquation produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2

II.3 Inéquation quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

IIIRésolution graphique d"une inéquation4

I Inéquations du premier degré

Définition 1

Une inéquation du premier degré

est une expression de la formeax+b >0ouax+b≥0ouax+b <0ou

La résolution d"inéquations du premier degré se fait de la même manière que pour les équations du premier degré,

sauf pour le sens de l"inégalité qui peut changer :

Propriété 1

Lorsque l"on multiplie ou divise les deux membres d"une inégalité par un même nombre négatif, on change le

sens de l"inégalité.

Exemple 1

Résoudre dansRles inéquations2x+ 3>0et3-5x?0:

Ô2x+ 3>0??2x >-3Ô3-5x≥0?? -5x≥ -3

??x >-3 ?? S=? -3

2;+∞?

.?? S=? -∞;35? http://mathematiques.daval.free.fr-1-

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II Tableaux de signes

II.1 Signe deax+b

Suivant le signe du coefficient directeura, on obtient les tableaux de signes suivants : a >0 x-∞ -b a+∞ variations0 signe de ax+b-0 + a <0 x-∞ -b a+∞ variations0 signe de ax+b+ 0-

On utilise un tableau de signeslorsque l"on veut résoudre une inéquations composée d"unproduitou d"unquotient

de facteurs.

II.2 Inéquation produit

dans la première colonne, on met les différents fac- teurs de l"inéqua- tionon place en abscisses les solutions des équations x-∞ -5 2 +∞

2x-4-|-0 +

-x-5+ 0-|- (2x-4)(-x-5)????- 0 + 0????- pour déterminer les co- lonnes, on résout les

équations

2x-4 = 0??x= 2

-x-5 = 0??x=-5

Enfin, on résout l"inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solution négatives ou nulles

S= ]- ∞;-5 ]?[ 2 ;+∞[.

Exemple 2

Résoudre dansRl"inéquation(2x-1)2<(2x-1)(x-4): ??(2x-1)[(2x-1)-(x-4)]<0 ??(2x-1)(x+ 3)<0

Ôconstruction du tableau de signes :

x-∞ -312+∞

2x-1-|-0 +

1x+ 3-0 +|+

(2x-1)(x+ 3)+ 0????-0 + ?2x-1 = 0??x=12 ?x+ 3 = 0??x=-3 ÔConclusion : on cherche les signes "-» dans la dernière ligne d"où :S=? -3 ;1 2? http://mathematiques.daval.free.fr-2-

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II.3 Inéquation quotient

On souhaite par exemple résoudre l"inéquation-2x+ 4x+ 3≥0.

La seule différence avec l"inéquation produit, c"est qu"il faut faire attention à la valeur interdite : la valeur pour

laquelle le dénominateur est nul. Dans le tableau de signes, cela se traduit par une double barre au niveau des valeurs interdites x-∞ -3 2 +∞ -2x+ 4+ | + 0-

1x+ 3-0 + | +

-2x+ 4 x+ 3-||? ???+ 0- ? -2x+ 4 = 0??x= 2 ?x+ 3 = 0??x=-3

Enfin, on résout l"inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solutions positives ou nulles

S= ] 3 ; 2 ].

Exemple 3

Résoudre l"inéquation2x+ 3

ÔOn commence par transformer l"expression de manière à n"avoir QUE des produits ou des quotient d"un côté, et un zéro

de l"autre : 2x+ 3 (2x+ 3)(2x-3)-4x(x-1)

4x2-9-4x2+ 4x

4x-9

Ôconstruction du tableau de signes :

x-∞13294+∞

4x-9-|-|-0 +

1x-1-0 +|+|+

2x-3-|-0 +|+

4x-9 (x-1)(2x-3)-||+||-32+ ?4x-9 = 0??x=94 ?x-1 = 0??x= 1 ?2x-3 = 0??x=3 2 ÔConclusion : on cherche les solutions négatives ou nulles

S= ]- ∞; 1 [??3

2;94? http://mathematiques.daval.free.fr-3-

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III Résolution graphique d"une inéquation

Soientfetgdeux fonctions de courbes représentativesCfetCg.

Les solutions de l"équationf(x)< k[respectivementf(x)> k] sont les abscisses des points de la courbeC

fsitués en dessous [respectivement au dessus] de la droite horizontale d"équationy=k.

Les solutions de l"équationf(x)< g(x) [respectivementf(x)> g(x)] sont les abscisses des points deC

fsitués en dessous [respectivement au dessus] deC g.

Exemple 4

On considère les courbes représentativesCfet deCgde deux fonctionsfetg.

Résoudre graphiquement :

Ôf(x)≥0S=]- ∞;-1 ]?[ 3 ;+∞[.

Ôf(x)<5S=]-2 ; 4 [.

Ôf(x)≥ -4S=R.

Ôf(x)<-5S=∅.

1 2 3 4-1-2-3

12345
-1 -2 -3 -4 -5 -6 Cf Cg y= 5 y= 0 y=-4 y=-5 http://mathematiques.daval.free.fr-4-quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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RÉSOLUTION D"INÉQUATIONS

Table des matières

I Inéquations du premier degré1

II Tableaux de signes2

IIIRésolution graphique d"une inéquation4

I Inéquations du premier degré

Définition 1

Une inéquation du premier degré

Propriété 1

Exemple 1

Ô2x+ 3>0??2x >-3Ô3-5x≥0?? -5x≥ -3

2;+∞?

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II Tableaux de signes

II.1 Signe deax+b

II.2 Inéquation produit

2x-4-|-0 +

équations

2x-4 = 0??x= 2

S= ]- ∞;-5 ]?[ 2 ;+∞[.

Exemple 2

Ôconstruction du tableau de signes :

2x-1-|-0 +

1x+ 3-0 +|+

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II.3 Inéquation quotient

1x+ 3-0 + | +

S= ] 3 ; 2 ].

Exemple 3

Résoudre l"inéquation2x+ 3

4x2-9-4x2+ 4x

Ôconstruction du tableau de signes :

4x-9-|-|-0 +

1x-1-0 +|+|+

2x-3-|-0 +|+

S= ]- ∞; 1 [??3

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III Résolution graphique d"une inéquation

Exemple 4

Résoudre graphiquement :

Ôf(x)≥0S=]- ∞;-1 ]?[ 3 ;+∞[.

Ôf(x)<5S=]-2 ; 4 [.

Ôf(x)≥ -4S=R.

Ôf(x)<-5S=∅.

1 2 3 4-1-2-3