Résolution d’équations non-linéaires

Chap 1 : Résolution d'équations non-linéaires But : Recherche des solutions de l'équation non linéaire f(x) = 0 où f est une fonction donnée Les méthodes numériques pour approcher une solution consistent à localiser grossièrement un zéro de f en procédant le plus souvent par des consi-

R´esolution d’´equations non lin´eaires - univ-rennes1fr

R´esolution d’´equations non lin´eaires On consid`ere une fonction r´eelle f d´eﬁnie sur un intervalle [a,b], avec a < b, et continue sur cet intervalle et on suppose que f admet une unique racine sur I =]a,b[, c’est-`a-dire

Ift 2421 Chapitre 2 Résolution d’équations non linéaires

Résolution d’équations non linéaires Méthode de résolution de l’équation scalaire F(X)=0 d’interpolation linéaire

Résolution d’équations non-linéaires

Résolution d’équations non-linéaires Exercice 1 On considère la fonction f déﬁnie sur R par f(x)=x4 −4x3 −1 1 Localiser chaque racine de l’équation f(x)=0dans un intervalle formé de deux entiers consécutifs 2 Soient les trois méthodes d’approximations successives déﬁnies par les re-lations suivantes : x n+1 = x 4

Chapitre 3 Résolution numérique des équations non linéaires

La méthode de dichotomie converge toujours, mais la convergence est linéaire : l’erreur à chaque pas est divisée par 2 Nous allons introduire une méthode plus rapide 3 2 Méthodes itératives pour la résolution de F(x)=x Nous présentons ici la méthode des approximations successives Elle consiste, à partir d’un

TD/TP - 2 Résolution des équations non linéaires

T, on doit résoudre l’équation non linéaire suivante pour déterminer le volume v : (P +γ(n v)2)(v −nβ) = nRT Résolution des équations non linéaires L’objet de cette partie est l’approximation de racines d’une fonction réelle d’une variable réelle , c’est-à-dire la résolution approchée du problème suivant :

Équations non linéaires - Université du Littoral Côte dOpale

Un procédé général pour trouver les racines d’une équation non linéaire f(x) = 0 consiste en la transformer en un problème équivalent x − φ(x) = 0, où la fonction auxiliaire φ : [a,b] → R doit avoir la propriété suivante : φ(α) = α si et seulement si f(α) = 0 Le point α est dit alors point ﬁxe de la fonction φ

Systèmes non linéaires

En effet, si f est linéaire, f (x + h ) f (x ) = f (h ), et donc l'égalité (2 2) est vérié e avec T x = f et " = 0 Voyons maintenant quelques cas particuliers d'espaces E et F : 1 Isaac Newton (1643 - 1727, né d'une famille de fermiers, es t un philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste et a stronome anglais

Série d’exercices no3/5 Résolution numérique d’équations non

Série d’exercices no3/5 Résolution numérique d’équations non linéaires Exercice 1 Valeur approchée de p 5 On se propose de calculer une valeur approchée de p 5 en appliquant la méthode de Newton-Raphson à l’équation x2 5 = 0, pour x>0 1 Formuler la suite (x n) ninN de Newton-Raphson 2 En prenant x 0 = 2, comme valeur initiale

Chapitre 4 : Méthodes itératives pour la résolution des

4 2 Résolution d’une équation non-linéaire à une inconnue On veut résoudre f(x)˘0, où est une fonction de IRdans non linéaire (sinon c’est évident)

Résolution d"équations non-linéaires

Exercice 1

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x4-4x3-1.

1. Localiser chaque racine de l"équationf(x) = 0dans un intervalle formé

de deux entiers consécutifs.

2. Soient les trois méthodes d"approximations successives définies par les re-

lations suivantes : x n+1=x4n-4x3n+xn-1 x n+1=1(xn-4)13 x n+1=1x 3n+ 4 On montrera quelles suites parmi celles proposées sont intéressantes pour obtenir chacune des racines de l"équation.

3. Ecrire la méthode de Newton relative à la fonctionf. Justifier le choix de

x 0.

Exercice 2

Soient les deux fonctions suivantes :

f(x) =xetg(x) = ln(1 + 2x). On cherche à calculer numériquement l"aire comprise entre ces deux courbes.

On noteh(x) =f(x)-g(x).

1. Etudier la fonctionh. Montrer qu"il existe deux valeurs pour lesquellesh

s"annule : une valeur évidente (laquelle?) et une valeur que l"on noteα. Localiserαdans un intervalleI= [i,i+ 1]oùiest un entier.

2. Pour approcherα, on définit la suite suivante :

x0∈I x n+1=g(xn) Montrer que cette suite converge bien versα. Calculer deux itérés.

3. Ecrire la méthode de Newton qui permet de trouver une approximation

deα. Justifier le choix dux0qui assure la convergence et calculer quatre itérés. Donner une valeur approchée deα. 1

Exercice 3

Soit la fonction définie parf(x) =x-1-e-x.

1. Etudier cette fonctionfet tracer son graphe. En déduire que l"équation

f(x) = 0a une unique solution notées. TrouverIintervalle de la forme [n,n+ 1], n∈Nqui contients.

2. On définit la méthode itérative :

x0∈I x n+1=g(xn) = 1 +e-x

Cette méthode converge-t-elle verss?

3. Déterminer le nombre d"itérations assurant que l"erreuren=xn-svérifie

4. Etudier la convergence de la méthode définie par :x0∈I

x n+1=h(xn) =-ln(x-1)

5. Ecrire la méthode de Newton relative à la fonctionf. Quelles sont les

valeurs dex0qui assurent la convergence de la méthode?

6. Effectuer numériquement deux itérations de la méthode de Newton pour

0= 1. Puis par la méthode définie en2, effectuer les itérations jusqu"à

l"obtention d"un résultat voisin à5.10-4près de celui de Newton. Conclure.

Exercice 4

On étudie la fonction réellef(x) =x4+ 6x2-60x+ 36.

1. Etudierf′la dérivée defet montrer quef′admet une unique solutionγ

telle quef′(γ) = 0. TrouverIγl"intervalle de la forme[n,n+ 1], n∈N qui contientγ.

2. Trouverγpar la méthode de Newton. Ecrire la méthode et justifier soi-

gneusement la convergence.

3. Combien d"itérations de la méthode de Newton sont nécessaires pour avoir

une erreur inférieure à10-8? Calculer alorsγà10-8près.

4. Montrer quef(γ) = 3(-γ4-2γ2+ 12). En déduire le signe def(γ)et

montrer alors quefpossède deux zérosαetβsurR. TrouverIαetIβles intervalles de la forme[n,n+ 1], n∈Nqui contiennentαetβ.

5. On définit la méthode suivante pour trouverαouβ:(x0∈IαouIβ

x n+1=g(xn) =160 (x4n+ 6x2n+ 36) Justifier le choix de la méthode. Converge-t-elle versα? Converge-t-elle versβ? 2

Exercice 5

Méthode d"accélération d"Aitken

Soit(xn)une suite définie par :

x0∈[a;b] x n+1=g(xn) et convergente verslsolution def(x) = 0. On suppose que l"ordre de cette méthode est1soit : e n+1= (A+ϵn)en,oùen=xn-l, A=g′(l),0< A <1etlimn→∞ϵn= 0

1. Montrer queen+2-2en+1+ens"écrit((A-1)2+θn)enaveclimn→∞θn= 0

2. Soitx′n=xn-(xn+1-xn)2x

n+2-2xn+1+xn. Montrer que x ′n-lx

Que vautlimn→∞x

′n-lx n-l?

Exercice 6

Montrer que l"équationf(x) =x3-2 = 0possède une solution uniqueαet qu"on peut obtenir celle-ci en utilisant la méthode de Newton à partir dex0= 1. Donner une minoration du nombre d"itérations à effectuer pour obtenir une précisionε= 10-10

Exercice 7

a) Montrer que cette fonction a une et une seule racineldans[0,π2 b) Expliciter la méthode de Newton. Donner une valeur dex0assurant la convergence versl. c) Soit la méthode suivante x

0∈[a,b]

x n+1= cosxne-xn=g(xn) Montrer que l"on peut choisir un intervalle[a,b]⊂[0,π2 ]telle que la méthode d) Montrer que l"on peut prendre[a,b] = [0,π2 e) Calculer un nombre d"itérations suffisant pour obtenir une précision de 10 -6si[a,b] = [0.45,π2 3

Exercice 8

Le but de cet exercice est de construire une méthode pour trouver les racines d"un polynôme de la forme

P(x) =aN+aN-1x+···+a1xN-1+xN.

On suppose quePaNracines réelles distinctes notéesX= (x1···xN). Pour k= 1···N, on noteΣk(x1,···xN)la somme de tous les produits dekracines différentes. Par exempleΣN=x1x2···xNetΣ1=x1+x2+···xN.

1. Combien y a-t-il de termes dans la sommeΣk? Montrer que∀k= 1···N,

k(x1,···xN) = (-1)kak.

2. Trouver les racines dePest donc équivalent à trouver les zéros de la

fonctionF:RN→RNdéfinie par F k(x1,x2,···xN) = (-1)kΣk(x1,···xN)-ak. Rappeler le principe de la méthode de Newton pour résoudre

F(X) = 0.(1)

3. Montrer que

N X k=1(-1)k∂∂x iΣk(X)xN-k=-Y

4. On note∆la matrice diagonaleN×Ndéfinie par

ii=Y k̸=i(xk-xi) etVla matrice de VandermondeN×N V ij=xN-j i.

Montrer que

tF′(X)tV=-∆.

5. En déduire que

F ′(X)-1=-∆-1V.

6. Montrer que la méthode de Newton appliquée à (1) consiste à choisir des

valeurs initiales distinctes(x(0)

1,···x(0)

N)puis à construire les suitesx(n)

idéfinies par x (n+1) i=x(n) i-P(x(n) i)Q k̸=i(x(n) i-x(n) k).

7. Tester votre méthode numériquement sur divers polynômes, y compris des

polynômes avec des racines complexes. 4quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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