Série d’exercices no3/5 Résolution numérique d’équations non

Chap 1 : Résolution d'équations non-linéaires But : Recherche des solutions de l'équation non linéaire f(x) = 0 où f est une fonction donnée Les méthodes numériques pour approcher une solution consistent à localiser grossièrement un zéro de f en procédant le plus souvent par des consi-

R´esolution d’´equations non lin´eaires - univ-rennes1fr

R´esolution d’´equations non lin´eaires On consid`ere une fonction r´eelle f d´eﬁnie sur un intervalle [a,b], avec a < b, et continue sur cet intervalle et on suppose que f admet une unique racine sur I =]a,b[, c’est-`a-dire

Ift 2421 Chapitre 2 Résolution d’équations non linéaires

Résolution d’équations non linéaires Méthode de résolution de l’équation scalaire F(X)=0 d’interpolation linéaire

Résolution d’équations non-linéaires

Résolution d’équations non-linéaires Exercice 1 On considère la fonction f déﬁnie sur R par f(x)=x4 −4x3 −1 1 Localiser chaque racine de l’équation f(x)=0dans un intervalle formé de deux entiers consécutifs 2 Soient les trois méthodes d’approximations successives déﬁnies par les re-lations suivantes : x n+1 = x 4

Chapitre 3 Résolution numérique des équations non linéaires

La méthode de dichotomie converge toujours, mais la convergence est linéaire : l’erreur à chaque pas est divisée par 2 Nous allons introduire une méthode plus rapide 3 2 Méthodes itératives pour la résolution de F(x)=x Nous présentons ici la méthode des approximations successives Elle consiste, à partir d’un

TD/TP - 2 Résolution des équations non linéaires

T, on doit résoudre l’équation non linéaire suivante pour déterminer le volume v : (P +γ(n v)2)(v −nβ) = nRT Résolution des équations non linéaires L’objet de cette partie est l’approximation de racines d’une fonction réelle d’une variable réelle , c’est-à-dire la résolution approchée du problème suivant :

Équations non linéaires - Université du Littoral Côte dOpale

Un procédé général pour trouver les racines d’une équation non linéaire f(x) = 0 consiste en la transformer en un problème équivalent x − φ(x) = 0, où la fonction auxiliaire φ : [a,b] → R doit avoir la propriété suivante : φ(α) = α si et seulement si f(α) = 0 Le point α est dit alors point ﬁxe de la fonction φ

Systèmes non linéaires

En effet, si f est linéaire, f (x + h ) f (x ) = f (h ), et donc l'égalité (2 2) est vérié e avec T x = f et " = 0 Voyons maintenant quelques cas particuliers d'espaces E et F : 1 Isaac Newton (1643 - 1727, né d'une famille de fermiers, es t un philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste et a stronome anglais

Série d’exercices no3/5 Résolution numérique d’équations non

Série d’exercices no3/5 Résolution numérique d’équations non linéaires Exercice 1 Valeur approchée de p 5 On se propose de calculer une valeur approchée de p 5 en appliquant la méthode de Newton-Raphson à l’équation x2 5 = 0, pour x>0 1 Formuler la suite (x n) ninN de Newton-Raphson 2 En prenant x 0 = 2, comme valeur initiale

Chapitre 4 : Méthodes itératives pour la résolution des

4 2 Résolution d’une équation non-linéaire à une inconnue On veut résoudre f(x)˘0, où est une fonction de IRdans non linéaire (sinon c’est évident)

43, boulevard du 11 novembre 1918Spécialité : Mathématiques

69622 Villeurbanne cedex, FranceAnalyse numérique L2- Printemps 2018

Série d"exercices n

o3/5 Résolution numérique d"équations non linéaires

Exercice 1.Valeur approchée de

p5On se propose de calculer une valeur approchée dep5en appliquant la méthode de Newton-Raphson à l"équation x

25 = 0, pourx >0.

F ormulerla suite (xn)ninNde Newton-Raphson.

2. En prenant x0= 2, comme valeur initiale, calculerx1,x2,x3sous forme fractionnaire. 3.

Donner x4sous forme fractionnaire.

Comment f aut-ilprocéder pour être sûr d"a voirune v aleure xactpour 10 chif fresaprès la

virgule en écriture décimale. Exercice 2.Points fixes attractifs et répulsifs 1. Soient IRun intervalle ouvert etg:I!Iune fonction de classeC1. Soitx2Iun

point fixe deg. Pourx02Idonné on considère la suite définie par récurrence par la relation

x p+1=g(xp), pour toutp2N. Dans toute cette partie, pour touth >0, nous noteronsVhl"intervalle fermé[xh;x+h]. (a)

On suppose que jg0(x)j<1.

Montrer qu"il existeh >0avecVhItel que pour toutx02Vh, on aitxp2Vh, pour toutp2Net qu"en plus la suite(xp)p2Nconverge versxquandptend vers+1.

On dit alors quexest un point attractif deg.

(b)

On suppose maintenant jg0(x)j>1.

Montrer qu"il existeh >0avecVhItel que pour toutx02Vh fxgon ait jg(x0)xj>jx0xj. On s"éloigne du point fixexsi le point de départ n"est pasx. Dans ce cas on dit que le point fixe est répulsif. 2. Soit f:R!Rdonnée parf(x) =x34x+1. On se propose de résoudre numériquement l"équation f(x) = 0 (E). 1 (a)Montrer que l"é quation(E)admet 3 racines réelles notéesa1,a2eta3avec 52
< a1<2,0< a2<12 et32 < a3<2. (b)

On réécrit (E)sous la formex='(x)avec

'(x) =14 (x3+ 1). Montrer que seula2est un point fixe attractif de'. Conclure. (c)

Montrer que pour x >14

l"équation(E)est équivalente àx='+(x), où +(x) =r41x Montrer alors quea3est un point fixe attractif de'+. (d) Montrer que pour x <0l"équation(E)est équivalente àx='(x), où +(x) =r41x Montrer alors quea1est un point fixe attractif de'. Exercice 3.Convergence globale partielleSoitf:R!Rune fonction de classeC2. On suppose qu"il existe2Rracine def( c"est à diref() = 0) telles que les fonctionsf,f0etf00ne s"annulent pas sur l"intervalle];+1[et ont toutes le même signe sur];+1[(elles sont soit toutes les trois strictement positives, soit strictement négatives). On considère la suite(xk)k2Nréelle définie par récurrence par la relation x

0> donné, etxk+1=xkf(xk)f

0(xk)pour toutk2N.

1. Soit p2Ntel que l"élémentxpsoit bien défini avec en plusxp> . Montrer quexp+1est bien défini et qu"il existecp2];xp[tel que x p+1=(xp)2f00(cp)2f0(xp). En déduire que la suite(xk)k2Nest bien définie et que pour toutk2Non axk> . 2. Montrer que la suite (xk)k2Nest décroissante. En déduire que lim k!+1xk=. 3. Supposons en plus que f0()6= 0etf00()6= 0. Quel est l"ordre de convergence de la suite (xk)k2N? 4. Applicat ion: supposons que fsoit un polynôme de degrén, ayantnracines réelles distinctes et soit2Rla plus grande racine def.

Montrer que les hypothèses des ponts précédents sont satisfaites. Que peut-on en déduire?

2 trouver une valeur approchée d"une des racines, nous devons évaluerP(x)etP0(x). Évaluer les valeurs deP(x)pour unxdonné peut quelques fois s"avérer assez long. 1. On considè rele polynôme de de grénsuivant

P(x) =anxn+an1xn1+:::+a1x+a0.

Nous posonsbn=anet pour toutk= 0;:::;n1,bk=ak+bk+1x0. (a) Si nous posons Q(x) =bnxn1+bn1xn2+::::b2x+b1, un polynôme de degrén1, montrer queP(x) = (xx0)Q(x) +b0. (b)

Év aluerP(x0).

2. Exprimer la déri vede Pen fonction deQetQ0. Que peut-on en déduire sur le calcul des termes de la suite de la méthode de Newton-Raphson par cette méthode? 3. Applicat ion: on considère le polynôme P(x) = 2x43x2+ 3x4. 4. Montrer qu"il e xisteune unique racine de ce polynôme située entre 3et3=2. On choisit x

0=2dans la suite de l"exercice.

(a) (b) En déduire x1(premier terme de la suite définie par la méthode de Newton-Raphson). (c) Répéter cet teméthode pour trouv erx2etx3. (d) En déduire une v aleurapproché ede la racine xdePsituée entre3et3=2.

Exercice 5.Méthode de Newton.

1. On cherche à calculer les zéros de f:R!R,x7!x22. (a) Montrer que chac undes zéros de fpeut être approché par la méthode de Newton. (b) Écrire e xplicitementla relation de récurrence vérifiée par les suites des itérés. (c)

L "algorithmee st-ilglobalement défini ?

On s"inté resseau système en (x1;x2)2R2

5x1+ 2sinx1+ 2cosx2= 0;

5x2+ 2sinx2+ 2cosx1= 0:

(a) Récrire la recherche de solutions au système pré cédentcomme la recherche de zéros d"une certaine fonctionf:R2!R2. (b) Montrer que chacun des zéros év entuelsde fpeut être approché par la méthode de

Newton.

(c)

Écrire la relation de récurrence vérifiée par la suite des itérées et justifier que l"algo-

rithme est globalement bien défini. 3 Exercice 6.Examen Mai 2017 - Exercice 2 - 40 minutes - 9 points

On considère l"équation

(E)x(1 +ex) =ex;oùx2R. 1. (2 points) Montrer que cette équation admet une unique solution réelle ldans[0;1]. 2. (3 points) O npose f1la fonction définie pour toutx2Rpar f

1(x) =x(1 +ex)ex.

(a) (3 points) Écrire la méthode de Ne wton-Raphsonpour approcher la solution len se servant de la fonctionf1précédente. Est-ce que la suite construite par cette méthode est toujours définie? Justifier la réponse. (b)Bonus : (+2 points)Justifier le fait que la suite construite à partir de cette méthode converge et donner l"ordre de convergence de l"erreur. (c)Bonus : (+1 point)Donner une interprétation graphique de cette méthode. 3. (4 points) On considère maintenant la fonction f2définie pour toutx2Rpar f

2(x) =ex1 +ex.

On considère également la suite définie par : x

02[0;1], et pour toutn2Nparxn+1=f2(xn):

(a) (1.5 point) Montrer que l"interv alle[0;1]est stable parf2. (b) (1.5 point) Montrer que f2est strictement contractante dans cet intervalle. (c) (1 point) En déduire que la suite con vergev ersla solution de l"équation ( E) dans[0;1]. 4quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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Chap 1 : Résolution déquations non-linéaires

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Résolution d’équations non-linéaires

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Systèmes non linéaires

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Chapitre 4 : Méthodes itératives pour la résolution des

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Série d"exercices n

Exercice 1.Valeur approchée de

25 = 0, pourx >0.

F ormulerla suite (xn)ninNde Newton-Raphson.

Donner x4sous forme fractionnaire.

On suppose que jg0(x)j<1.

On dit alors quexest un point attractif deg.

On suppose maintenant jg0(x)j>1.

On réécrit (E)sous la formex='(x)avec

Montrer que pour x >14

0> donné, etxk+1=xkf(xk)f

0(xk)pour toutk2N.

P(x) =anxn+an1xn1+:::+a1x+a0.

Év aluerP(x0).

0=2dans la suite de l"exercice.

Exercice 5.Méthode de Newton.

L "algorithmee st-ilglobalement défini ?

On s"inté resseau système en (x1;x2)2R2

5x1+ 2sinx1+ 2cosx2= 0;

5x2+ 2sinx2+ 2cosx1= 0:

Newton.

On considère l"équation

1(x) =x(1 +ex)ex.

2(x) =ex1 +ex.

02[0;1], et pour toutn2Nparxn+1=f2(xn):