Exemple 1 : (in)équation simples Méthode : Pour une (in

Calcul d'une dérivée avec ln 28 Étude d'une fonction faisant intervenir Ln 28 Variations de la fonction ln 28 Limites de la fonction Ln 31 Résoudre une inéquation - une équation 35 Tangentes particulières 35 Étude de fonction 37 Croissances comparées 38 Calculs de limites 42 A Continuité et dérivabilité

Exemple 1 : (in)équation simples Méthode : Pour une (in

Regroupons et factorisons : ln x (2 − ln x) = 0 Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : ln x = 0 = ln 1 ou ln x = 2 = ln e2 D'après la propriété : ln A = ln B ⇔ A = B pour tous A et B de ]0 ; +∞[, on obtient : x = 1 ou x = e2 Les nombres 1 et e2 sont strictement positifs (donc compatibles avec les

La fonction logarithme népérien - SUJETEXA

• Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln √ 12 avec ln2 et ln3 On a 50 =2×52 donc ln50 =ln2+2ln5 On a 12 =22 ×3 donc ln √ 12 = 1 2 (2ln2+ln3)=ln2+ 1 2 ln3 • Déterminer l’entier n tel que 2n >10 000 On a donc : ln2n >ln104 soit nln2 >4ln10 On obtient alors : n > 4ln10 ln2 or 4ln10 ln2 ≃ 13 29 donc n >14

QUESTIONS FLASH

L’équation = avec >0 possède une unique solution Cette solution est appelée logarithme népérien de a et notée lnˆ ˙ou ln

TD+CORRECTIONS-FONCTIONS LOGARITHMIQUES

II Fonction logarithme népérienne - Dyrassa

ln a S’appelle la fonction logarithme de base a, on note cette fonction par f log a d’où: f x log x a b Conséquences : aa ln x ln 1 log x et log 1 0 ln a ln a a ln a log a 1 ln a et a ln e 1 log e ln a ln a c Cas particuliers : Cas ae :

La fonction logarithme WWWDyrassa

3-Étudier le sens de variation de la fonction ln(u) 4-Dresser le tableau de variation de la fonction ln(u) Exercice 10: avec l’axe des abscisses

13 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE A

Equation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants soit y"+2y'+y =0(E 0) l' équation sans second membre et r 2 +2r+1=0 l' équation caractéristique qui admet une racine réelle double r 1 =r 2 =−1 y SG(E 0) =(C 1 x +C 2)e −x avec (C 1,C 2)∈R 2 le second membre ϕ(x)=2e −x est de la forme e

351samath Tle S - Obligatoirepdf) - Retour de classes

ln x >0⇐⇒ln x >ln1 ⇐⇒x >1 et ln x

Exemple 1 : (in)équation simples

Résoudre les (in)équations suivantes :

1)ln(x - 3) - 1 K 0

2)e2 3x-- 2 K 0

3)ln(x - 1) - ln (2x) = 0

4)e2x+ 2e-xL 0

SOLUTIONS

1)Contrainte : x > 3

Résolution : pour x > 3, on a :

ln(x - 3) K 1

Or, 1 = ln e, d'où :ln(x - 3) K ln e

D'après la croissance du logarithme (ln A K ln B Û A K B pour tous A et B de ]0 ; +¥[), on obtient :

x - 3 K e x K 3 + e

Comme 3 + e > 3, on a :S = [3 + e ; +¥[

2)On a :e2 3x- K 2

D'après la croissance du logarithme (ln A K ln B Û A K B pour tous A et B de ]0 ; +¥[), on obtient :

ln(e2 3x-) K ln 2

C'est-à-dire : 2x - 3 K ln 2

x K 3 2 2 +ln

Conclusion :S = [3 2

2 +ln; +¥[

3)Contraintes : x - 1 > 0 et 2x > 0. Donc : x > 1.

Résolution : pour x > 1, on a :ln(x - 1) = ln(2x)

D'après la propriété : ln A = ln B Û A = B pour tous A et B de ]0 ; +¥[, on obtient :

x - 1 = 2x x = -1

Or, -1 n'est pas supérieur à 1. DoncS = AE

4)L'exponentielle est strictement positive. Donc, pour tout réel x : e2x+ 2e-x> 0.

L'inéquation proposée n'a pas de solution :S = AE

Exemple 2 : (in)équation factorisables

Résoudre les (in)équations suivantes :

1)ln(x2) = (ln x)2

2)e2x- 2exK 0

Méthode :

Pour une (in)équation comportant des logarithmes :

1) Préciser les contraintes

2) Essayer de se ramener à :

une inégalité du type ln A L ln B (inéquations) ou une égalité du type ln A = ln B (équations)

3) Utiliser la croissance du logarithme :

ln A L ln B Û A L B pour tous A et B de ]0 ; +¥[ (Inéquations)

ou la propriété : ln A = ln B Û A = B pour tous A et B de ]0 ; +¥[ (Équations)

Éviter de donner des arguments du genre : "on supprime les logarithmes"

4) Confronter les solutions aux contraintes.

Pour une (in)équation comportant des exponentielles :

1) Pas de contraintes

2) Utiliser le fait que l'exponentielle est la fonction réciproque du logarithme : lneA= A

Fiche méthode : (in)équations avce exp ou lnPage 1

SOLUTIONS :

1)Contraintes : x ¹ 0 et x > 0. Donc : x > 0.

Résolution : on sait que, pour tout x > 0, on a : ln(x2) = 2 ln x. Notre équation s'écrit donc :2 ln x = (ln x)2

Regroupons et factorisons : ln x (2 - ln x) = 0

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : ln x = 0 = ln 1 ou ln x = 2 = ln e2

D'après la propriété : ln A = ln B Û A = B pour tous A et B de ]0 ; +¥[, on obtient :

x = 1 ou x = e2 Les nombres 1 et e2 sont strictement positifs (donc compatibles avec les contraintes)

D'où :S = {1 ; e2}

2)Comme e2x= ex´ ex, on a la factorisation suivante :

ex(ex- 2) K 0 En divisant par ex(qui est strictement positif) :ex- 2 K 0 exK 2

D'après la croissance du logarithme (ln A K ln B Û A K B pour tous A et B de ]0 ; +¥[), on obtient :

lnex K ln 2 x K ln 2

S = [ln 2 ; +¥[

Exemple 3 : inéquation résolue avec un tableau de signes. Voir exemple 4 de la fiche méthode "étudier le signe

d'une expression" Exercices proposés : après avoir précisé les éventuelles contraintes, résoudre :

1) ln(5x - 3) = 2

2) ln(2x + 1) + ln(x - 3) = ln(x + 5)

3) ln(3 - x) + 1 K 0

4) 2(ln x)2 + 3ln x - 2 = 0

5) ln(x + 3) L 1 + ln(1 - x)

6) ln 2 1

1 x x ae

ø÷L 0

7) 5e4x - 13e2x - 6 = 0.

[Indication : on pourra poser X = e2x]

Exercice de prolongement :

Soient n Î *, x Î ]0 ; +¥[et (E) l'équation :ln x = xn

1. Dans cette question, n = 1. Dresser le tableau de variation de la fonction ¦ définie sur ]0 ; +¥[, par :

¦(x) = x - ln x. En déduire, que dans le cas n = 1, l'équation (E) n'a aucune solution dans ]0 ; +¥[.

2. Dans cette question, n est quelconque. En choisissant la bonne fonction, démontrer, comme ci-dessus, que

l'équation (E) n'a aucune solution dans ]0 ; +¥[, quelque soit n Î *.

Réponses des exercices proposés :

1) {e23

5 +} 2) {4} 3) ]-¥ ; 3 - 1 e] 4) {1

2e;e } 5) ]-3 ; e

e 3

1] 6) [-2 ; -1

2[ 7) {1

2ln 3}

Fiche méthode : (in)équations avce exp ou lnPage 2quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

[PDF] Exemple 1 : (in)équation simples Méthode : Pour une (in

Exemple 1 : (in)équation simples

Résoudre les (in)équations suivantes :

1)ln(x - 3) - 1 K 0

2)e2 3x-- 2 K 0

3)ln(x - 1) - ln (2x) = 0

4)e2x+ 2e-xL 0

SOLUTIONS

1)Contrainte : x > 3

Résolution : pour x > 3, on a :

Or, 1 = ln e, d'où :ln(x - 3) K ln e

Comme 3 + e > 3, on a :S = [3 + e ; +¥[

2)On a :e2 3x- K 2

C'est-à-dire : 2x - 3 K ln 2

Conclusion :S = [3 2

3)Contraintes : x - 1 > 0 et 2x > 0. Donc : x > 1.

Or, -1 n'est pas supérieur à 1. DoncS = AE

4)L'exponentielle est strictement positive. Donc, pour tout réel x : e2x+ 2e-x> 0.

Exemple 2 : (in)équation factorisables

Résoudre les (in)équations suivantes :

1)ln(x2) = (ln x)2

2)e2x- 2exK 0

Méthode :

1) Préciser les contraintes

2) Essayer de se ramener à :

3) Utiliser la croissance du logarithme :

4) Confronter les solutions aux contraintes.

1) Pas de contraintes

2) Utiliser le fait que l'exponentielle est la fonction réciproque du logarithme : lneA= A

SOLUTIONS :

1)Contraintes : x ¹ 0 et x > 0. Donc : x > 0.

Regroupons et factorisons : ln x (2 - ln x) = 0

D'où :S = {1 ; e2}

2)Comme e2x= ex´ ex, on a la factorisation suivante :

S = [ln 2 ; +¥[

1) ln(5x - 3) = 2

2) ln(2x + 1) + ln(x - 3) = ln(x + 5)

3) ln(3 - x) + 1 K 0

4) 2(ln x)2 + 3ln x - 2 = 0

5) ln(x + 3) L 1 + ln(1 - x)

6) ln 2 1

ø÷L 0

7) 5e4x - 13e2x - 6 = 0.

Exercice de prolongement :

1. Dans cette question, n = 1. Dresser le tableau de variation de la fonction ¦ définie sur ]0 ; +¥[, par :

2. Dans cette question, n est quelconque. En choisissant la bonne fonction, démontrer, comme ci-dessus, que

Réponses des exercices proposés :

1) {e23

2e;e } 5) ]-3 ; e

1] 6) [-2 ; -1

2[ 7) {1

2ln 3}