Étudier le sens de variation dune suite - Latekexos
Question 1 Étudier le sens de variation de la suite suivante définie pour tout entier n par : un = n2 n+1 Théorie Corrigé TS (Lycée Paul-Valéry (34)) Étudier le sens de variation d’une suite 14 août 2006 3 / 25
Exemples : suites (sens de variation)
II) Sens de variation : formule de r ecurrence 9 Soit la suite u d e nie par u 0 = 3 et u n+1 = u n +n 5 D eterminer le sens de variation de u u n+1 u n = n 5, donc u est strictement d ecroissante sur l’ensemble f0;1;2;3;4g puis croissante ensuite 10 Soit u 0 = 0 et u n+1 = 1 2 u n pour tout n > 0 D emontrer par r ecurrence que u n < 1
Chapitre 5 : Les suites numériques
Pour étudier le sens de variation d’une suite ( ????)????∈ℕ définie par une relation explicite, on utilise en général l’une des méthodes suivantes : 1 On peut étudier le sens de variation de la fonction : Si la fonction est croissante sur [0;+∞[ (alors la suite ????)????∈ℕ est croissante En effet pour tout
COURS TERMINALE S LES SUITES NUMERIQUES
Exemple : sens de variation d’une suite arithmétique : f(n) = u0 + nr , f est une fonction affine; si r > 0, ( un) est strictement croissante ; si r < 0, ( un) est strictement décroissante ; si r = 0, ( un) est constante E Suites majorées, minorées, bornées Définition : Soit ( un) une suite de nombre
Terminale ES – Chapitre III – Suites numériques
4) Sens de variation d'une suite Lorsqu'une suite est croissante, décroissante ou constante, on dit qu'elle est monotone (Cela signifie que son sens de variation est constant) Exemple de suite non monotone : (un) telle que u0=1, u1=2, u2=4, u3=1 et u4=0 (Cette suite est croissante pour n variant de 0 à 2, puis décroissante pour n
Terminale S - Annales sur les suites - ChingAtome
le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite (Un)? 2 a Démontrer que si x
2 Mode de génération d’une suite numérique
Pour étudier le sens de variation d’une suite (un), on peut : • Étudier le signe de u n+1 −u n; • Si tous les termes de la suite u sont de même signe et non nul, on peut comparer
MATH Tle D OK 2 - Faso e-Education
b) Modes de détermination d'une suite Une suite numérique peut être définie : Soit par une formule explicite qui permet de calculer les termes en fonction de Exemples : - Soit ( )∈ℕ la suite définie par = 2 − 3 - Soit ( )∈ ℕ ∗ la suite définie par = ˘ˇˆ
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COURS TERMINALE S LES SUITES NUMERIQUES
A. Notation - Définition
Définition : une suite numérique (un) est une application de ? dans ? .On note (un) la suite de nombres u0, u1, u2,..., un, ... Le nombre un est le terme d'indice n (ou de rang n). uo est le
premier terme de la suite.Exemples : un = 3n ( formule explicite en fonction de n ) , un = (1 + 5/100)n , un+1 = 3un + 2 et uo donné ( formule
récurrente : un terme de la suite s'écrit en fonction du ou des précédents ), un+2 = un + 1 + un et uo donné ...
B. Les suites arithmétiques
La suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre réel r tel que pour tout naturel n , un+1 = un + r.
Le réel r est appelé la raison
de la suite.Propriétés : Pour tout entier naturel n , un = u0 + nr . Pour tous entiers naturels n et p , un = up + ( n - p ) r .
Somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique : S = n ? (demie somme des termes extrêmes) .
Exemples : u0 + u1 +...+ un = ?
k?0k?n u k = (n+1)u0?un2 ; 1 + 2 + 3 + ... + n = n?n?1?
2 .C. Les suites géométriques
La suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel q tel que pour tout naturel n , un+1 = qun .
Le réel q est appelé la raison
de la suite.Propriétés : Pour tout entier naturel n , un = u0 ? qn . Pour tous entiers naturels n et p , un = up ? q(n - p) .
Somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique : S = premier terme ?1?qn?1
1?q si q ? 1 ,
et S = n ? premier terme si q = 1.Exemple : u0 + u1 +...+ un =?
k?0k?n u k= u0 1?qn?1 1?q.D. Sens de variation d'une suite
Définition : Soit (un) une suite de nombre réels. La suite (un) est croissante si, pour tout entier naturel n, un+1 ? un .
La suite (un) est strictement croissante si, pour tout entier naturel n, un+1 > un . La suite (un) est décroissante si, pour tout entier naturel n, un+1 ? un . La suite (un) est strictement décroissante si, pour tout entier naturel n, un+1 < un .Technique : a) on peut chercher à comparer un+1 - un à 0, ou si tous les termes de la suite sont strictement positifs,
comparer un?1 un à 1. Si pour tout entier naturel n, un+1 - un ? 0, alors un+1 ? un et la suite (un) est croissante.Si pour tout entier naturel n, un+1 - un ? 0, alors un+1 ? un et la suite (un) est décroissante.
b) Si un = f(n) , alors les variations de f sur [0 ; +? [ donne les variations de (un).Exemple : sens de variation d'une suite arithmétique : f(n) = u0 + nr , f est une fonction affine;
si r > 0, (un) est strictement croissante ; si r < 0, (un) est strictement décroissante ; si r = 0, (un) est constante.
E. Suites majorées, minorées, bornées
Définition : Soit (un) une suite de nombre réels. La suite (un) est majorée s'il existe un nombre réel M tel que,
pour tout entier naturel n, un ? M.La suite (un) est minorée s'il existe un nombre réel m tel que, pour tout entier naturel n, un ? m.
La suite (un) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.Technique : pour montrer qu'une suite est majorée ( ou minorée ), et si un = f(n) , alors on cherche à majorer ( ou à
minorer ) f(x) sur [0 ; +? [ .Exemple: un = n
n?1. Cette suite est majorée par 1 et minorée par 0. Elle est donc bornée par 0 et 1.F. Limite d'une suite
1. Définition : Une suite (un) est une suite convergente vers le nombre réel l si tout intervalle ouvert contenant l
contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Le nombre réel l est la limite de la suite (un), on écrit
lim n???un= l . Une suite est divergente si elle n'est pas convergente ( sa limite est infinie ou n'existe pas ).2. Technique : si un = f(n) , alors la limite de la fonction f en +?? est la limite de la suite (un).
3. Théorèmes ( de comparaison ) : Si, à partir d'un certain rang, un ? vn et si lim
n???un= +? , alors lim n???vn= +? .Si, à partir d'un certain rang,
?un?l?? vn et si lim n???vn= 0, alors lim n???un= l . Si, à partir d'un certain rang, un ? vn et si les deux suites convergent, alors lim n???un??lim n???vn.Théorème des gendarmes:
Si, à partir d'un certain rang, un? vn? wn et si lim n???un=lim n???wn= l , alors lim n???vn= l .Démonstration du théorème des gendarmes: La suite (un) converge vers l, donc tout intervalle ouvert contenant l
contient tous les termes de la suite (un) à partir d'un certain rang n1 . De même, la suite (wn) converge vers l, donc
tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite (wn) à partir d'un certain rang n2 . En prenant
n0 = max(n1, n2), tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite (vn) à partir du rang n0
puisque un ? vn ? wn . Donc la suite (vn) converge vers l.4. Exemples:
? Soit la suite (un) définie par un = n n?1. On a un = f(n) avec f(x) = x x?1. Comme lim x???f?x? = 1, alors lim n???un = 1 et cette suite converge vers 1.? Soit la suite (un) définie par un = 2n . Pour tout entier naturel n, un > 0 et un + 1 > un , donc la suite est
strictement croissante, minorée par 1 et non majorée. lim n???un = +?, donc la suite est divergente. ? Soit la suite (un) définie par un =2n???1?n
n?1. On considère alors les suites (vn) et (wn) définies par v n = 2n?1 n?1 et wn = 2n?1 n?1. Alors, pour tout entier naturel n, vn ? un ? wn . De plus, lim n???un= lim n???2n?1n?1= 2 et lim n???wn= lim n???2n?1n?1 = 2, donc par le théorème des gendarmes, lim n???un= 2.5. Suites monotones convergentes:
Théorème
: Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.Remarque: si la suite (un) est croissante et majorée par un réel M, alors la limite de (un) est inférieure ou égale à
M; cette limite n'es pas nécessairement M.
Exemple: La suite (un) définie par un + 1 =
?un?1 et u0 = 0 est croissante et majorée par 2; elle converge donc mais sa limite n'est pas 2 mais le nombre d'or 1??52. (A démontrer !)
Propriétés: Si (un) converge vers l, et si (un) est croissante, alors pour tout n de ? , un ? l.
Si (un) converge vers l, et si (un) est décroissante, alors pour tout n de ? , un ? l.G. Représentation graphique d'une suite
Si la suite (un) a son terme général défini en fonction de n, on représente la suite dans un repère du plan, par un ensemble de points de coordonnées (n; un). Cette représentation graphique permet de visualiser les variations de la suite et éventuellement la convergence.Exemple: un = n
n?1. Les sept premiers termes de la suite sont représentés ci-contre. On peut conjecturer que la suite est strictement croissante et qu'elle converge vers 1. Si la suite (un) est définie par récurrence, de la forme u n+1 = g(un), on représente la suite dans un repère du plan, en utilisant la représentation graphique de la fonction g et la droite d'équation y = x : On place u0 sur l'axe des abscisses, puis u1 comme image de u0 par la fonction g, puis on ramène u1 sur l'axe des abscisses en utilisant la droite d'équation y = x , puis u2 comme image de u1 par la fonction g, puis on ramène u2 sur l'axe des abscisses en utilisant la droite d'équation y = x , etc...Exemple: un+1 = - 0,8un + 4 et u0 = 1.
Les sept premiers termes de la suite sont représentés ci-contre. On peut conjecturer que la suite n'est ni croissante, ni décroissante et qu'elle converge vers l, où l est solution de l'équation - 0,8x + 4 = x, soit l = 20/9.H. Suites adjacentes
Définition: On dit que deux suites (un) et (vn) définies sur ??sont adjacentes si et seulement si les trois conditions
suivantes sont réalisées: ?(un) est croissante et (vn) est décroissante; ?Pour tout entier naturel n, un ? vn ; lim n????un?vn?= 0.Exemple: un = 1 - 1
n?1 et vn = 1 + 1 n?1 sont des suites adjacentes.Théorème: Si les deux suites (un) et (vn) sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
Démonstration: la suite (un) est croissante, donc pour tout entier naturel n, u0 ? un ? vn ; de même la suite (vn) est
décroissante, donc pour tout entier naturel n, un ? vn ? v0 . Donc la suite (un) est croissante et majorée par v0 ,
donc elle converge vers un réel l. La suite (vn) est décroissante et minorée par u0 , donc elle converge vers un réel
l'. La suite ( un ? vn ) converge donc vers l - l' . Or lim n????un?vn?= 0, donc l - l' = 0, et l = l'. De plus, pour tout entier naturel n, un ? l ? vn . Les deux suites de l'exemple précédent converge vers 1.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1