Chapitre 11 : utilisation graphique de Application a l’ etude

Exercice 4: Etudier la courbe suivante ,on etudiera soigneuse- ment son point singulier : 8

Loi exponentielle de param etre : Exercices

La courbe ci-dessous repr esente la densit e fd’une loi exponentielle de param etre >0 D eterminer la probabilit e P(X > 2) La dur ee de vie T en ann ee, d’un appareil avant la premi ere panne suit une loi exponentielle de param etre = 0;3

Lyc´ee Thiers - MP Fonctions vectorielles - Arcs parametr´ es

Exercice 9 : Etudier la courbe d´ eﬁnie par´ x(t) = t th(t) et y(t) = 1 cht On note A le point d’intersection de l’axe (Ox) avec la tangente au point M de param`etre t de la courbe ci-dessus Calculer la distance AM Exercice 10 : Soit un arc param´etr ´e r ´egulier t 7f(t) tel qu’en tout point de parametre` t la tangente soit D

Ann ee 2008-2009 LST1

Exercice 1 Calculer Z 1 0 x x3 + 3x2 + 7x+ 5 dx Exercice 2 On consid ere la courbe param etr ee Cdonn ee par : (x(t) = sin3 t y(t) = cos(3t) pout t2R 1 Montrer que l’intervalle d’ etude peut ^etre r eduit a [0;ˇ 2] et pr eciser comment on peut obtenir toute la courbe a partir de la partie C 1 correspondant a l’intervalle [0;ˇ 2] 2

Chapitre 11 : utilisation graphique de Application a l’ etude

qui est tangent a la courbe, dirig e dans le sens des tcroissants Un exemple (sans branche in nie, ni point singulier) : la lemniscate de Bernoulli Exercice : tracer a la main la courbe d e nie par le param etrage x(t)= t 1+t4, y(t)= t3 1+t4 6

Exercices - THIBAULT LEFEUVRE

Exercice 5 R esoudre les in equations suivantes : tan2 x 3; tan2 x 2 tan2 x 1 1 2: Exercice 6 D eterminer, en fonction des param etres r eels aet , les racines du polyn^ome P(t) = ( + 1)t2 2at+ 1: Etudier le signe de P(t) en fonction de t Exercice 7 Montrer que pour tout ( ; ) 2R2 il existe des r eels aet btels que cost+ sint= acos(t+ b):

Correction de Devoir surveill´e No

Correction de l’exercice II 1 Etudier les branches inﬁnies et les points singuliers de la courbe x(t) = t2+t4,y(t) = t3+t5 Solution : La courbe admet des branches inﬁnies en +∞ et −∞

Devoir de math´ematiques - BTS - WebSelf

3 On note A le point de la courbe lorsque s = 0, et B le point de la courbe lorsque s = 1 D´eterminer les coordonn´ees des points A et B Pr´eciser la direction de la tangente `a la courbe (C) aux points A et B 4 Tracer alors, en utilisant tous les r´esultats pr´ec´edents, la courbe (C) Devoir de math´ematiques - BTS 3/3

TransfertRadiatif BilanÉnergétique ofRadiation 4

particle Figure4 11 shows the range of size param-eters for various kinds of particles in the atmos-phere and radiation in various wavelength ranges For the scattering of radiation in the visible part of the spectrum,xranges from much less than 1 for air molecules to 1 for haze and smoke particles to 1 for raindrops

Chapitre 10 : Utilisation de pylab pour l’ etude des courbes

qui est tangent a la courbe, dirig e dans le sens des tcroissants Un exemple (sans branche in nie, ni point singulier) : la lemniscate de Bernoulli Exercice : tracer la courbe d e nie par le param etrage x(t)= t 1+t4, y(t)= t3 1+t4 1 Cependant, pour vraiment bien travailler en simulation, a certains moments (pour les recherches de z eros de

[PDF] points singuliers courbes paramétrées

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Chapitre 11 : utilisation graphique depylab

Application a l'etude des courbes parametrees.Table des matieres

1 Premiers traces2

1.1 Rappel : comment marcheplot? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Pour le trace de fonctions : comment fabriquer le tableau des abscisses . . . . . . . . 2

1.3 Eacement, gestion de plusieurs fen^etres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Commandes pour les axes, la couleur, le style . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1 Quelques commandes pour les axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.2 Quelques commandes pour les couleurs et les styles . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.3 Remarque generale sur les arguments deplot, et de beaucoup de fonctions

Python: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Deux traces sur la m^eme gure avec une legende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Cas particuliers des suites, un plot a un argument! 5

3 Apprentissage des courbes parametrees 6

3.1 L'exemple d'un mouvement circulaire uniforme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Le m^eme trace en repere orthonorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Methode pour comprendre le trace d'une courbe parametree : . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4 Proprietes de symetries des courbes parametrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4.1 Eet de la periodicite (commune) det↦x(t)ett↦y(t). . . . . . . . . . . . 7

3.4.2 Cas d'un decalage par periodicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.5 Eet de la parite/imparite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.6 Exemple des courbes de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Complements sur les courbes parametrees qui partent a l'inni 8

4.1 Les dangers de l'ecrasement des petits details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Comment comprendre les asymptotes a une courbe parametree? . . . . . . . . . . . . 8

5 Complement sur les points singuliers des courbes parametrees : 9

5.1 Pourquoi, en un point non singulier, la tangente est-elle dirigee parv(t0)? . . . . . . 9

6 Excursion au pays des developpements limites : maths 9

7 Retour a l'etude des points singuliers 9

7.1 Que dire de la tangente en un point singulier? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7.2 Comment comprendre l'allure locale d'une fonction au voisinage d'un point singulier 9

Introduction

Les modulesnumpyetmatplotlibqui nous allons utiliser sont regroupes dans un module appele pylab. Ces modules visent a developper des outils de calculs numeriques et d'achage graphique enPython, analogues a ceux fournis par les logiciels de references que sontMatlabet son avatar libreScilab. Dans ce qui suit j'utiliserai doncimport pylab as pl. Le but du chapitre etant plut^ot les traces que l'utilisation intensive des tableauxnumpy, on rappellera simplement au fur et a mesure les notions necessaires sur ces tableaux. 1

1 Premiers traces

1.1 Rappel : comment marcheplot?

On a deja vu en T.P. queplots'utilise avec la syntaxe : pl.plot(x,y) ouxetysont ou bien deslistes(outuple) python, ou bien destableauxnumpyde m^eme taille et qu'a partir de ces donnees,plottrace la ligne brisee qui joint les pointMIde coordonnees x[i],y[i]dans l'ordre desicroissants. Ainsi : x=[0,1,2] y=[1,2,1] pl.plot(x,y)1.2 Pour le trace de fonctions : comment fabriquer le tableau des abs- cisses Admettons qu'on veuille tracer le graphe de la fonctionx↦x2sur[0;1]. On va pour cela decouper le segment[0;1]en disons en 11 points espaces regulierement autrement dit avec un pas p=0:1Plusieurs methodes sont possibles : ?On peut bien s^ur creer a la main une listepython. Comment? ?La commandelinspacedenumpy(incluse danspylab) qui cree unarray:

L'acronymelinspaceest pourlinear space.

x=pl.linspace(0,1,11) 2 D'une maniere generale,linspace(a,b,n)subdivise le segment[a;b]ennpoints regulierement espaces, donc avec un pas(b-a)?(n-1). ?La commandearangedenumpy(incluse danspylab) qui cree unarray: Il s'agit encore d'un acronyme pourarray range. Elle s'utilise comme lerangedes listes sauf qu'elle cree unarrayet permet despasqui sont des ottants. Ainsipl.arange(a,b,p)cree le tableau desa+kpjusqu'au plus grandktel quea+kpReste ensuite a denir le vecteury: Les fonctions denumpy(oupylab) operent directement sur les tableaux Ainsi a partir dutableaux(pas d'une liste), on peut creer la listeydont les entreesy[i]sont lesx[i]**2simplement via : y=x**2

Puis enn faireplot(x,y).

1.3 Eacement, gestion de plusieurs fen^etres :

Pour eacer le graphique precedent :

pl.clf() # clf pour clear figure

Pour acher dans une autre fen^etre :

pl.figure(1) # on cree une figure qu'on appelle 1 pl.plot(x,x) pl.figure("Ma jolie parabole") # on cree une figure qu'on appelle ... pl.plot(x,y)

1.4 Commandes pour les axes, la couleur, le style

Reprenons a tire d'exercice un autre exemple deja vu : celui du sin sur[0;2].

Exercice :Comment faire ce trace?

1.4.1 Quelques commandes pour les axes

Par defaut, le cadrage ne collera pas forcement a ce qu'on voudrait. On peut declarer pl.xlim(0,2*pl.pi) On peut donner faire acher des etiquettes sur les axes : pl.xlabel(" temps t") pl.ylabel(" tension u(t)") 3

1.4.2 Quelques commandes pour les couleurs et les styles

Les huit couleurs de base :avec leur premiere lettre.Ainsiplot(x,y,"r--"). Pour des couleurs plus compliquee, on va denircolor= " "dansplot, notamment pour : Les couleurs en RGB :m^eme syntaxe qu'en HTML : avec trois nombres en hexadecimal : exemplepl.plot(x,y,color='#eeee00')donnera la courbe en ...

1.4.3 Remarque generale sur les arguments deplot, et de beaucoup de fonctions

Python:

Lorsque vous tapezplotvous voyez :Qu'est-ce que cela signie? ?Le premier*argssignie que lenombre d'argumentsdeplotn'est pas toujours le m^eme. Ainsi, on a utiliseplot(x,y)avec deux arguments, etplot(x,y,'r-')avec trois arguments. On verra m^eme plus tard qu'on peut m^eme ne donnerqu'unargument! Comment fabriquer soi-m^eme des fonctions avec des*arg? Avec un*devant votre nom d'ar- gument. Dans ce cas, tous les arguments donnes entre virgule seront stocke dans un tuple, comme explique ici : def mafonction(*mesarguments): return mesarguments ?Le secondkwargssigniekey word arguments: ce sont des arguments denis par unmot-clef. Commecolordans notre exemple. La aussi, on va voir queplotpeut en admettre beaucoup.

1.5 Deux traces sur la m^eme gure avec une legende

x=pl.linspace(0,2*pl.pi,100) y1=pl.sin(x) y2=pl.cos(x) pl.clf() pl.plot(x,y1,"r",label="Le sinus") pl.plot(x,y2,"b-",label="Le cosinus") pl.legend()

Avec le resultat :

2 Cas particuliers des suites, un plot a un argument!

Les suitesn↦unsont bien s^ur des fonctions particulieres, dont la variablenest un entier. On peut bien s^ur tracer les par exemple les 1000 premieres valeurs de la suite(sin(n))en faisant : Mais on peut faire la m^eme chose en faisant simplementpl.plot(y): s'il n'y a qu'un argument,plotprendra par defaut comme tableau des abscisses le tableaux des entiers successifs, a partir de 0, de m^eme longueur quey. Ceci peut para^tre une simple curiosite, mais cela peut vous jouer des tours parfois... si vous appliquer votreplota certaines valeurs de retour d'une fonction... Remarque :comment peut-on illustrer ladensitede{sin(n); n?N}dans[-1;1], en dessinant tous ces points sin(n)sur le segment[-1;1]? Voici ci-dessous le dessin pour seulement les 100 premieres valeurs den: la densite n'est pas evidente, elle le devient pour 1000 :5

Un autre exemple : une suite geometrique

Si on veut tracer les cinquante premieres valeurs de(un)=(qn)pourq=-0;9, on peut bien s^ur : ?(M1)denir la liste (ou le tableau)ua l'aide d'une boucle. ?(M2)utiliser leparadigmedenumpyqui veut que les fonctions usuelles s'appliquent a des tableaux. Ainsi sixetysont deux tableaux, on peut fabriquerx**yqui est le tableau dont les entrees sont lesx[i]**(y[i]).

Ici pour notre suite on peut ansi denir :

N=50 q=pl.ones(N) # tableau de N fois 1 q=-0.9*q # multiplication du tableau par un scalaire : donne un tableau constant de -0,9 valeurs=pl.arange(0,50,dtype=int) u=q**valeurs pl.plot(u)

3 Apprentissage des courbes parametrees

Denition :Tracer unecourbe parametree planeest tracer l'ensemble des pointsM(t)= (x(t);y(t))out↦x(t)ett↦y(t))sont des fonctions quelconques. L'essentiel : la variabletne se voit pas sur la gure. On peut penser que c'est le temps.

3.1 L'exemple d'un mouvement circulaire uniforme :

Supposons que le mouvement d'un mobileM(t)en fonction du tempstest deni par⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=cos(3t)

y=sin(3t): mouvement circulaire uniforme.

Pour acher la trajectoire avecplot:

t=pl.linspace(0,2*pl.pi,100) x=pl.cos(3*t) y=pl.sin(3*t) plot(x,y) Probleme : on voit un ovale au lieu d'un cercle, il nous faut encore ameliorer la gestion des axes

3.2 Le m^eme trace en repere orthonorme

Il sut de rajouter

pl.axis('equal')

3.3 Methode pour comprendre le trace d'une courbe parametree :

!Un enjeu pour les courbes parametrees : savoir ≪suivre≫sur la trajectoire l'evolution du point mobile dans le temps.

Pour cela :

?On suit le double tableau de variation det↦x(t)ett↦y(t). ?On s'aide aussi du vecteur vitesse, qui est le vecteur?→v(t)=(x′(t);y′(t)), et qui est tangent a la courbe, dirige dans le sens destcroissants. Un exemple (sans branche innie, ni point singulier) : la lemniscate de Bernoulli Exercice : tracer a la main la courbe denie par le parametragex(t)=t1+t4,y(t)=t31+t4. 6

3.4 Proprietes de symetries des courbes parametrees

3.4.1 Eet de la periodicite (commune) det↦x(t)ett↦y(t)

Six( )ety( )sontTperiodiques et si on trace la trajectoire correspondant auxt?[0;T]alors on a trace toute la trajectoire!

Exemple des mouvement elliptiques :

y(t)=bsin(t):

3.4.2 Cas d'un decalage par periodicite

Si on a unTtel que pour toutt?R,x(t+T)=x(t)+avecxe, ety(t+T)=y(t)+avec xe, alors a partir du trace de la trajectoire pourt?[0;T], on obtiendra toute la courbe par translations successives de vecteur(;).

Exemple de la cyclode :

y(t)=1-cos(t): Question :Que dire du vecteur vitesse du point sur la cyclode au tempst=2kaveck?Z?

Comment conna^tre alors la

≪tangente≫a la courbe en ces points?

3.5 Eet de la parite/imparite

Dans ce qui suit, on noteraM(t)=(x(t);y(t))le point courant au tempst. a) Sixetysont paires et si on trace la trajectoire pourt≥0 alors pour avoir le reste de la trajectoire, il sut de? b) Sixetysont impaires et si on trace la trajectoire pourt≥0 alors pour avoir le reste de la trajectoire, il sut de? c) Sixest impaire etyest paire et si on trace la trajectoire pourt≥0 alors pour avoir le reste de la trajectoire, il sut de? d) Siyest impaire etxest paire et si on trace la trajectoire pourt≥0 alors pour avoir le reste de la trajectoire, il sut de?

3.6 Exemple des courbes de Lissajous

On designe ainsi une famille de courbes parametrees contenant les courbes de la forme y(t)=bsin(qt+'); oupetqsont desentierseta;b;'des reels. Question :d'une maniere generale quelle est, en fonction des entierspetq, la valeur deT telle qu'on ait parcouru une et une seule fois la trajectoire sit?[0;T]. Exercice :Tracer ces courbes pour(p;q)?{(1;2);(3;2);(3;4);(5;4)},a=b=1 et'=0 sans

repeter quatre fois les instructions (boucle). Suivre l'evolution des points sur le tableau de variation

double et expliquer les proprietes de symetries de chaque courbe. 7

4 Complements sur les courbes parametrees qui partent a

l'inni

4.1 Les dangers de l'ecrasement des petits details

Supposons qu'on veuille tracer la courbe denie parx(t)=t2-1,y(t)=t3-t. Un premier trace enPythonavec le code usuel : import pylab as pl pl.clf() t=pl.linspace(-10,10,100) x=t**2-1 y=t**3-t pl.plot(x,y)Second trace avect=pl.linspace(-1,1,100)Question :a quoi ressemble vraiment la courbe?

4.2 Comment comprendre les asymptotes a une courbe parametree?

a) Cas facile : asymptotes horizontales ou verticales?Soitt0?R: Six(t)?→t→t0a?R, et?y(t)??→t→t0+∞: asymptote verticale. Siy(t)?→t→t0b?R, et?x(t)??→t→t0+∞: asymptote horizontale. b) Cas moins facile si?x(t)?et?y(t)?tendent vers l'inni ent0.

(i) Def.y=ax+best asymptote a la courbe quandt→t0si et seulement siy(t)-ax(t)-b?→t→t00.

(ii) Une C.N. est alors quey(t)?x(t)tende versa. On dit queaest ladirection asymptotique 8 (iii) Consequence siy(t)?x(t)tend vers 0 ou∞, dans l'hyp. du b), on n'a pas de droite asymp- tote. (iv) Exemple du paragraphe precedent

(v) Exemple dierent :x(t)=t1+t3,y(t)=t21+t3.Pour quelle valeur du parametre tend-on vers l'asymptote bien visible?

5 Complement sur les points singuliers des courbes parametrees :

Denition :Un pointM(t0)=(x(t0);y(t0))d'une courbe parametre est ditnon singuliersi?→v(t0)=(x′(t0);y′(t0))≠(0;0). Sinon il est dit singulier .

5.1 Pourquoi, en un point non singulier, la tangente est-elle dirigee par

v(t0)? La bonne denition de la tangente :la limite de la famille de droite(M(t0)M(t))i.e. la droite passant parM0et de vecteur dir. la limite des vecteursunitaires Comment denit-on correctement cette notion de limite?

Pourquoi est-elle dirigee par

⃗v(t0)s'il est non nul?

6 Excursion au pays des developpements limites : maths

7 Retour a l'etude des points singuliers

7.1 Que dire de la tangente en un point singulier?

On montre qu'elle est dirigee parle premier vecteur derive non nuldp(M0M)(t0)dt p.

7.2 Comment comprendre l'allure locale d'une fonction au voisinage

d'un point singulier 9quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] Chapitre 11 : utilisation graphique de Application a l’ etude

Chapitre 11 : utilisation graphique depylab

1 Premiers traces2

1.1 Rappel : comment marcheplot? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Pour le trace de fonctions : comment fabriquer le tableau des abscisses . . . . . . . . 2

1.3 Eacement, gestion de plusieurs fen^etres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Commandes pour les axes, la couleur, le style . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1 Quelques commandes pour les axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.2 Quelques commandes pour les couleurs et les styles . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.3 Remarque generale sur les arguments deplot, et de beaucoup de fonctions

1.5 Deux traces sur la m^eme gure avec une legende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Cas particuliers des suites, un plot a un argument! 5

3 Apprentissage des courbes parametrees 6

3.1 L'exemple d'un mouvement circulaire uniforme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Le m^eme trace en repere orthonorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Methode pour comprendre le trace d'une courbe parametree : . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4 Proprietes de symetries des courbes parametrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4.1 Eet de la periodicite (commune) det↦x(t)ett↦y(t). . . . . . . . . . . . 7

3.4.2 Cas d'un decalage par periodicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.5 Eet de la parite/imparite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.6 Exemple des courbes de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Complements sur les courbes parametrees qui partent a l'inni 8

4.1 Les dangers de l'ecrasement des petits details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Comment comprendre les asymptotes a une courbe parametree? . . . . . . . . . . . . 8

5 Complement sur les points singuliers des courbes parametrees : 9

5.1 Pourquoi, en un point non singulier, la tangente est-elle dirigee parv(t0)? . . . . . . 9

6 Excursion au pays des developpements limites : maths 9

7 Retour a l'etude des points singuliers 9

7.1 Que dire de la tangente en un point singulier? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7.2 Comment comprendre l'allure locale d'une fonction au voisinage d'un point singulier 9

Introduction

1 Premiers traces

1.1 Rappel : comment marcheplot?

L'acronymelinspaceest pourlinear space.

Puis enn faireplot(x,y).

1.3 Eacement, gestion de plusieurs fen^etres :

Pour eacer le graphique precedent :

Pour acher dans une autre fen^etre :

1.4 Commandes pour les axes, la couleur, le style

Exercice :Comment faire ce trace?

1.4.1 Quelques commandes pour les axes

1.4.2 Quelques commandes pour les couleurs et les styles

1.4.3 Remarque generale sur les arguments deplot, et de beaucoup de fonctions

Python:

1.5 Deux traces sur la m^eme gure avec une legende

Avec le resultat :

2 Cas particuliers des suites, un plot a un argument!

Un autre exemple : une suite geometrique

Ici pour notre suite on peut ansi denir :

3 Apprentissage des courbes parametrees

3.1 L'exemple d'un mouvement circulaire uniforme :

Pour acher la trajectoire avecplot:

3.2 Le m^eme trace en repere orthonorme

Il sut de rajouter

3.3 Methode pour comprendre le trace d'une courbe parametree :

Pour cela :

3.4 Proprietes de symetries des courbes parametrees

3.4.1 Eet de la periodicite (commune) det↦x(t)ett↦y(t)

Exemple des mouvement elliptiques :

3.4.2 Cas d'un decalage par periodicite

Exemple de la cyclode :

Comment conna^tre alors la

3.5 Eet de la parite/imparite

3.6 Exemple des courbes de Lissajous

4 Complements sur les courbes parametrees qui partent a

4.1 Les dangers de l'ecrasement des petits details

4.2 Comment comprendre les asymptotes a une courbe parametree?

5 Complement sur les points singuliers des courbes parametrees :

5.1 Pourquoi, en un point non singulier, la tangente est-elle dirigee par

Pourquoi est-elle dirigee par

6 Excursion au pays des developpements limites : maths

7 Retour a l'etude des points singuliers

7.1 Que dire de la tangente en un point singulier?

7.2 Comment comprendre l'allure locale d'une fonction au voisinage