[PDF] Exo7 - Cours de mathématiques

1 Quest-ce que le déterminant dune matrice?

Corollaire 1 9 Le déterminant d'une matrice P2M n(R) inversible est non nul et on a det(P 1) = det(P) 1 (où le premier inverse est eluic d'une matrice tandis que le seondc est eluic d'un scalaire) Preuve Notons Ql'inverse de P est inversible, si bien que PQ= I n En prenant le détermi-nant de chaque côté, on en déduit que det(PQ) = det(I

L1 - PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES)

YjY L1 - PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES) YjY 1 Déterminant, définition, propriètés Le déterminant d’une matrice carrée à deux lignes et colonnes A = a11 a12 a21 a22 est par définition le nombre réel (ou complexe) det(A) = a11 a12 a21 a22 = a11a22 −a12a21 Pour une matrice 3×3 ce sera : det(A) = 11 1+1 21 31 a a12 a13 a

Déterminants - MATHEMATIQUES

1 Déterminant d’une famille de n vecteurs dans une base 1 1 Formes p-linéaires Définition 1 Soient E un K-espace vectoriel et p un entier naturel non nul

Déterminants

3 Déterminant d'une matrice carrée a) Dé nition Dé nition 3 1 (Ordres 2 et 3) Soit A 2M n(K) avec n = 2 ou n = 3 On appelle déterminant de A, noté det (A), le déterminant dans la base canonique de Kn des deux ou trois vecteurs colonnes de la matrice A Puis, on dé nit le déterminant d'une matrice d'ordre n quelconque, par un procédé

Exo7 - Cours de mathématiques

On note A0la matrice obtenue par une des opérations élémentaires sur les colonnes, qui sont : 1 Ci Ci avec 6=0: A0est obtenue en multipliant une colonne de Apar un scalaire non nul Alors detA0= detA 2 Ci Ci + Cj avec 2K (et j 6= i) : A0est obtenue en ajoutant à une colonne de A un multiple d’une autre colonne de A Alors detA0= detA 3

LES DÉTERMINANTS DE MATRICES - HEC Montréal

Il faut toutefois noter une distinction Le cofacteur associé à l'élément = Ü Ý d'une matrice 44 est le déterminant d'une matrice 33, puisqu'il est obtenu en éliminant une rangée (la ie) et une colonne (la je) de # Exemple Calculer le déterminant de la matrice # L n 1210 0311 1 0 3 1 3120 r

Matrices, determinants

A une matrice colonne de M p 1 (K ) Le produit de A par B , note AB est la matrice 1 1 dont le coe cient est a1 b1 + a2 b2 + + ap bp: On note que la matrice ligne et la matrice colonne ont meme^ nombre d'el ements S2 Mathematiques Gen erales 1 (11MM21) Matrices, determinants 10 / 38 Produit d'une matrice par une matrice colonne 0 B B B B B

Chapitre 6 Déterminant d’une matrice carrée

Chapitre 6 Déterminant d’une matrice carrée §1 Cas d’une matrice 2×2 Définition det a b c d 2èmeécriture= a b c d définition= ad −bc Exemples 2 1

Déterminants - univ-rennes1fr

Une autre façon de représenter ˙est d'écrire sur une même ligne, les unes à la suite des autres, les images successives par ˙ Lorsqu'on revient sur nos pieds, en un sens qui doit être évident sur l'exemple ci-dessous, on ferme la parenthèse, puis on ouvre une nouvelle parenthèse en commençant par le premier chi re non encore évoqué

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Déterminants

pède engendré par cesnvecteurs. On peut aussi définir le déterminant d"une matriceA. Le déterminant permet de

savoir si une matrice est inversible ou pas, et de façon plus générale, joue un rôle important dans le calcul matriciel et

la résolution de systèmes linéaires.

Dans tout ce qui suit, nous considérons des matrices à coefficients dans un corps commutatifK, les principaux

exemples étantK=RouK=C. Nous commençons par donner l"expression du déterminant d"une matrice en petites

dimensions.

1. Déterminant en dimension2et3

1.1. Matrice22

En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : deta b c d =adbc.

C"est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l"autre

diagonale (en orange).ab cd0 @1 A+

1.2. Matrice33

SoitA2M3(K)une matrice 33 :

A=0 @a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a331

A

Voici la formule pour le déterminant :

DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET32Il existe un moyen facile de retenir cette formule, c"est larègle de Sarrus: on recopie les deux premières colonnes à

droite de la matrice (colonnes grisées), puis on additionne les produits de trois termes en les regroupant selon la

direction de la diagonale descendante (à gauche), et on soustrait ensuite les produits de trois termes regroupés selon

la direction de la diagonale montante (à droite).a 11a 12a 13a 11a 12a 21a
22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B

BBBBB@1

C

CCCCCAa

11a 12a 13a 11a 12a 21a
22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B

BBBBB@1

C

CCCCCAExemple 1.

Calculons le déterminant de la matriceA=0

@2 1 0 11 3

3 2 11

A

Par la règle de Sarrus :

detA=2(1)1+133+012

3(1)0232111=6.21021

11311321320

B

BBBBB@1

C

CCCCCA

Attention : cette méthode ne s"applique pas pour les matrices de taille supérieure à3. Nous verrons d"autres méthodes

qui s"appliquent aux matrices carrées de toute taille et donc aussi aux matrices 33.

1.3. Interprétation géométrique du déterminant

On va voir qu"en dimension 2, les déterminants correspondent à des aires et en dimension 3 à des volumes.

Donnons nous deux vecteursv1=(ac)etv2=bddu planR2. Ces deux vecteursv1,v2déterminentun parallélogramme.v

1v 2xy O~ i~ jProposition 1. L"aire du parallélogramme est donnée par la valeur absolue du déterminant :

A=det(v1,v2)=deta b

c d .De manière similaire, trois vecteurs de l"espaceR3: v 1=0 @a 11 a 21
a 311
A v2=0 @a 12 a 22
a 321
A v3=0 @a 13 a 23
a 331
A définissent un parallélépipède. DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET33v 1v 2v

3À partir de ces trois vecteurs on définit, en juxtaposant les colonnes, une matrice et un déterminant :

det(v1,v2,v3) =det0 @a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a331

A .Proposition 2. Le volume du parallélépipède est donné par la valeur absolue du déterminant :

V=det(v1,v2,v3).On prendra comme unité d"aire dansR2l"aire du carré unité dont les côtés sont les vecteurs de la base canonique10,01, et comme unité de volume dansR3, le volume du cube unité.

Démonstration.

Traitons le cas de la dimension2. Le résultat est vrai siv1=(a0)etv2=0d. En effet, dans ce cas on

a affaire à un rectangle de côtésjajetjdj, donc d"airejadj, alors que le déterminant de la matricea0

0d vautad.v 1v 2ad O~ i~ j

Si les vecteursv1etv2sont colinéaires alors le parallélogramme est aplati, donc d"aire nulle; on calcule facilement

que lorsque deux vecteurs sont colinéaires, leur déterminant est nul.

Dans la suite on suppose que les vecteurs ne sont pas colinéaires. Notonsv1=(ac)etv2=bd. Sia6=0, alors

v0

2=v2ba

v1est un vecteur vertical :v0

2=€0

dba cŠ

L"opération de remplacerv2parv0

2ne change pas l"aire du parallélogramme (c"est comme si on avait coupé le triangle

vert et on l"avait collé à la place le triangle bleu).v 1v 2v 0 2O~ i~ jCette opération ne change pas non plus le déterminant car on a toujours : det(v1,v0

2) =deta0

b dba c =adbc=det(v1,v2).

On pose alorsv0

1=(a0): c"est un vecteur horizontal. Encore une fois l"opération de remplacerv1parv0

1ne change ni

l"aire des parallélogrammes ni le déterminant car det(v0 1,v0

2) =deta0

0dba c =adbc=det(v1,v2). DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT4v 1v 0 2v 0 1O~ i~

jOn s"est donc ramené au premier cas d"un rectangle aux côtés parallèles aux axes, pour lequel le résultat est déjà

acquis. Le cas tridimensionnel se traite de façon analogue.Mini-exercices. 1.

P ourA=1 2

5 3 etB=7 8 9 5 calculer les déterminants deA,B,AB,A+B,A1,A,AT. 2.

Mêmes questions pour A=a b

c d etB=a00 c 0d0 3.

Mêmes questions pour A=0

@2 0 1 21 2

3 1 01

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