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commandabilité et l’observabilité des variables d’états du vecteur x Commandabilité : on a x1 non commandable et x2 commandable Observabilité : on a x1 et x2 observable Remarque : Cependant on ne peut rien conclure sur x1 et x2 4 Déterminer la sortie y(t) pour une entrée en échelon unitaire
RECUEIL D’EXERCICES D’AUTOMATIQUE - e-monsite
EXERCICE 1 Analyse d’un syst`eme du premier ordre On ´etudie le comportement d’une voiture roulant sur le plat en ligne droite On commande cette voiture par le pourcentage d’enfoncement de la p´edale d’acc´el´erateur et on observe sa vitesse Initialement, la p´edale est enfonc´ee de 40 et on roule a 100km/h
TD - ENSTA-Bretagne 1ère année Automatique,2012-2013
et les angles δv et δg de la voile et du gouvernail et des coordonnées cinématiques vet ωreprésentant respectivement la vitesse du centre de rotation Get la vitesse angulaire du bateau Trouver les équations d’état pour notre système x˙=f(x,u),où x=(x,y,θ,δv,δg,v,ω) T et u=(u 1,u2) T Exercice 7 Moteuràcourantcontinu
Représentations d’état linéaires des systèmes mono-entrée
2 Gottfried Wilhelm Leibnitz, philosophe, mathématicien, juriste et diplomate allemand (1646-1716) 3 Jacques (1654-1705) et Jean (1667-1748), mathématiciens et physiciens suisses Les trois fils de Jean sont également de célèbres scientifiques ix
Y s( ) Déterminer
Ga s =, et donner le degré n et le degré relatif d 2 Trouver l’emplacement des pôles et des zéros avec l’aide de la fonction Matlab pzmap, et tracer le diagramme de Bode pour m1 =m2 =c =1 Exercice 4 1 Trouver les matrices A, B, C, et D correspondant au système discret ci-dessus, et introduire le
AO 102 Systèmes Dynamiques - ENSTA Paris
Analyse et Stabilité (AO102) », donne maintenant une plus large place au calcul différentiel, au détriment de l’introduction à la commande des sys- tèmes Sessixséancess’articulentdelafaçonsuivante(lespartiesdulivre
SYLLABUS - Badji Mokhtar Annaba University
Introduction, critère de commandabilité de KALMAN, commandabilité de la sortie, critère d’observabilité, dualité entre la commandabilité et l’observabilité, étude de quelques formes canoniques Chap 4 : Représentations des Systèmes Multivariables par Matrice de Transfert (3 semaines)
Repr´esentation et analyse des syst`emes lin´eaires 1 Compl
Repr´esentation et analyse des syst`emes lin´eaires Petite classe No 2 1 Compl´ements sur les formes modales diagonales et de Jordan 1 1 D´efinitions Etant donn´ee une repr´esentation d’´etat d’un syst`eme dynamique LTI continu, x˙(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t)
Systèmes non linéaires - Accueil - INSTITUT DE
En effet, si f est linéaire, f (x + h ) f (x ) = f (h ), et donc l'égalité (2 2) est vérié e avec T x = f et " = 0 Voyons maintenant quelques cas particuliers d'espaces E et F : 1 Isaac Newton (1643 - 1727, né d'une famille de fermiers, es t un philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste et a stronome anglais
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ISAE-N6K/Premi`ere ann´ee
Repr´esentation et analysedes syst`emes lin´eairesPetite classe No 2
1 Compl´ements sur les formes modales diagonales et de Jordan
1.1 D´efinitions
Etant donn´ee une repr´esentation d"´etat d"un syst`eme dynamique LTI continu, x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t)Nous rappelons que les formes modales sont obtenues `a partir de la connaissance des propri´et´es spec-
trales, (valeurs propres et vecteurs propres) de la matrice dynamiqueA?Rn×n D´ef. 1.1 (valeurs propres d'une matrice carr´ee)SoitA?R
n×n .Lesvaleurs propresdeAsont les racines du polynome caract´eristiqueφ(λ)= -det(λI-A). On associe `a chaque valeur propreλ i un vecteur proprexi tel que : Ax i i x i De plus, le polynome caract´eristique s"´ecrit : n +c n-1 n-1 +···+c 1λ+c
0Propri´et´e1
- Les valeurs propres d"une matrice triangulaire sup´erieure ou inf´erieure sont ´egales `ases´el´ements
diagonaux. - Les valeurs propres de (cI+A) sontc+λ1 ,···c+λ n o`uλ 1 n sont les valeurs propres de A. - Les valeurs propres deA k sontλ k1 kn - Les valeurs propres deAsont ´egales aux valeurs propres deA? - CommeA?R n×n , les coefficientsc i sont n´ecessairement r´eelsetdecefaitsiλ i ?Cest une valeur propre deAalors i l"est ´egalement. - trace(A)= n i=1λ i =(-1) n+1 c n-1 -det(A)= n i=1 i =c 0 D´ef. 1.2 (multiplicit´ealg´ebrique et g´eom´etrique) Si le polynome caract´eristique deAse factorise comme :φ(λ)=(-1)
n (λ-λ1 m 1 2 m 2 p mp alors cela signifie qu"une valeur propreλ i deApeut etre multiple d"ordrem i .m i est appel´eela multiplicit´ealg´ebriquede la valeur propreλi . De ce fait, on a n´ecessairement : p i=1 m i =nOn d´efinit ´egalementla multiplicit´eg´eom´etriqueoud´eg´en´erescencede la valeur propreλ
i comme : q i =n-rang(A-λ i 1) 11.2 Calcul de la forme de Jordan d"une matrice
La d´etermination de la forme modale deAet de la repr´esentation d"´etat associ´ee repose essen-
tiellement sur le calcul des vecteurs propres associ´es deAqui permettent de construire la matrice de
passagePappel´ee dans ce casmatrice modale. Le calcul de l"ensemble complet de vecteurs propresde la matriceAd´epend alors de la multiplicit´edesdiff´erentes valeurs propres deA. En particulier, dans
le cas o`u il existe des valeurs propres multiples, diff´erents cas doivent etre consid´er´es en fonction des
valeurs respectives de la multiplicit´ealg´ebrique et de la multiplicit´eg´eom´etrique de la valeur propre
consid´er´ee. On pourra se reporter au polycopi´e au chapitre II.8 du premier tome. Nous d´etaillons ici
le cas le plus d´elicat qui consiste `a calculer les chaines de vecteurs propres g´en´eralis´es associ´es `a une
valeur propre multiple dont les multiplicit´es v´erifient 1dans la forme de Jordan associ´ee qui ne peut etre lev´ee que par le calcul syst´ematique des chaines de vecteurs propres g´en´eralis´es associ´ees `a chaque vecteur propre.D´ef. 1.3 (Chaine de Jordan)
On appelle k-i`eme vecteur propre g´en´eralis´edela chaine de Jordan, associ´e`aλvaleur propre de la
matriceA, un vecteurev´erifiant : (A-λ1 n k e=0 (A-λ1 n k-1 e?=0D´ef. 1.4 (Indexe deλ
iEtant donn´ee une valeur propreλ
i de multiplicit´ealg´ebriquem i et g´eom´etriqueq i avec 1L"indexe indique la longueur de la chaine de Jordan la plus longue, soit la taille du bloc de Jordan le plus grand. De plus, si rang(λ i1-A)=α
i alors il y a (n-α i )=q i chaines de Jordan associ´ees `aλ iPour chaque chaine de Jordan de longueurk
j ,j=1,···α j , il existe un vecteur propre g´en´eralis´eede rang ´egal `ak j et v´erifiant donc : (A-λ i 1) k j e=0 (A-λ i 1) l e?=0lAlgorithme 1.1 (Triangularisation) 1- Calculer les valeurs propres de la matriceAen d´eterminant les racines du polynome ca-
ract´eristique. det(λ1-A)=0Soientλ
1 2 l , les valeurs propres de multiplicit´es alg´ebriques respectives m 1 ,m 2 ,···,m l alors pour chaque valeur propreλ i2- Calculer le nombre de chaines de Jordan et leur dimension.
- Calculer l"indexek i deλ i . Cela donne la dimension de la chaine de Jordan la plus grande. - Calculer le nombre de chaines de Jordan donn´e par la multiplicit´eg´eom´etriqueq i =n-α i n-rang(A-λ iquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9