RDM 1ère année ENTPE Résistance des matériaux

Corrigé exercice 1: Dimensionnement des poutres à la flexion et à l’effort tranchant a) Calculer la charge de calcul qd en considérant la neige comme action prépondérante Chaque poutre porteuse supporte les charges agissant à une distance de 3 mètres (1/2 entraxe) de part et d’autre de l’axe du sommier

Travaux dirigés de résistance des matériaux

EXERCICE 1 Soit la poutre encastrée en A et supportant un effort inclinéF 1 Calculer la réaction de l’encastrement A ( RA et MA) 2 Déterminer le torseur des efforts cohésion 3 Tracer les diagrammes des efforts de cohésion 4 A quelle sollicitation est soumise la poutre EXERCICE 2 Pour chacun des exemples suivants, on demande de :

EXERCICES AVEC SOLUTIONS (STATIQUE)

Exercice 03 : On maintient une poutre en équilibre statique à l’aide d’une charge P suspendue à un câble inextensible de masse négligeable, passant par une poulie comme indiqué sur la figure La poutre a une longueur de 8m et une masse de 50 Kg et fait un angle de 45° avec l’horizontale et 30° avec le câble

RESOLUTION POUTRES HYPERSTATIQUES P p kN/m pL kN L/2

M Cupani Page 1 sur 21

RDM 1ère année ENTPE Résistance des matériaux – partie 1

RDM 1ère année ENTPE Résistance des matériaux – partie 1 Corrections des exercices Boris TEDOLDI Ingénieur structure 2 chemin des maisonnettes BP19

Kamel MEHDI & Sihem ZAGHDOUDI - cours, examens

dimension transversale de la poutre En général, ce rayon doit être supérieur à 5 fois la hauteur de la section • Dans le cas où la poutre est de section variable, la variation de la section doit être lente et progressive II 3 Paramétrage de la poutre Soit R Oxyz0000(,,, ) GGG un repère lié à la poutre Ce repère est choisi tel que

MA261 Introduction au calcul scientiﬁque

Exercice 5 : le Laplacien 1d (ﬁl pesant, poutre en ﬂexion) Discr´etisation du probl`eme du ﬁl pesant : trouver u tel que −u00 = f sur ]0,1[, u(0) = u(1) = 0 1 Ecrire une fonction qui construise la matrice tridiagonale A1 d’ordre N obtenue par la discr´etisation par diﬀ´erences ﬁnies du probl`eme du ﬁl pesant ou de la poutre en

Chapitre 7 Les sections soumises à l’effort tranchant Section

On propose de vérifier à l’effort tranchant une poutre Té, selon la démarche suivante : 1 Choix du concept constructif 2 Calcul des sollicitations 3 Définition de la section déterminante 4 Vérification des bielles de béton 5 Dimensionnement des étriers 6 Calcul de l’armature minimale 7

[PDF] exercice portique hyperstatique

[PDF] exercices corrigés rdm charges réparties

[PDF] exercice corrigé portique hyperstatique

[PDF] exercice corrigé poutre hyperstatique

[PDF] calcul de structure cours

[PDF] exercice corrigé portique isostatique

[PDF] methode des forces exercices corrigés pdf

[PDF] portique hyperstatique corrigé

[PDF] théorème des trois moments exercices corrigés

[PDF] structure hyperstatique méthode des forces

[PDF] définition d'une surface

[PDF] quelle différence entre aire et surface

[PDF] surface aire cercle

[PDF] aire et surface d'un rectangle

[PDF] surfaces géométriques

RDM 1ère année ENTPE

Résistance des matériaux Ȃ partie 1

Corrections des exercices

Boris TEDOLDI

Ingénieur structure

2 chemin des maisonnettes BP19

39150 SAINT LAURENT EN GDX

http://www.csb.bet

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 2/93

1. Rappels de MMC utiles en RDM ....................................................... 4

1.1 Réponse exercice [ 1 ] ...................................................................................... 4

1.2 Réponse exercice [ 2 ] ...................................................................................... 6

1.3 Réponse exercice [ 3 ] ...................................................................................... 7

1.4 Réponse exercice [ 4 ] ...................................................................................... 8

1.5 Réponse exercice [ 5 ] ...................................................................................... 9

1.6 Réponse exercice [ 6 ] ...................................................................................... 9

1.7 Réponse exercice [ 7 ] .................................................................................... 10

1.8 Réponse exercice [ 8 ] .................................................................................... 11

3. Définitions ........................................................................................ 12

3.1 Réponse exercice [ 9 ] .................................................................................... 12

4. Hypothèses du cours de R.D.M. ..................................................... 13

4.1 Réponse exercice [ 10 ] .................................................................................. 13

4.2 Réponse exercice [ 11 ] .................................................................................. 15

5. ...................................................... 16

5.1 Réponse exercice [ 12 ] .................................................................................. 16

5.2 Réponse exercice [ 13 ] .................................................................................. 18

5.3 Réponse exercice [ 14 ] .................................................................................. 19

5.4 Réponse exercice [ 15 ] .................................................................................. 20

6. Calculs des diagrammes de sollicitations ..................................... 22

6.1 Réponse exercice [ 16 ] .................................................................................. 22

6.2 Réponse exercice [ 17 ] .................................................................................. 23

6.3 Réponse exercice [ 18 ] .................................................................................. 25

6.4 Réponse exercice [ 19 ] .................................................................................. 26

6.5 Réponse exercice [ 20 ] .................................................................................. 26

6.6 Réponse exercice [ 21 ] .................................................................................. 27

6.7 Réponse exercice [ 22 ] .................................................................................. 29

6.8 Réponse exercice [ 23 ] .................................................................................. 31

6.9 Réponse exercice [ 24 ] .................................................................................. 34

6.10 Réponse exercice [ 25 ] .......................................................................... 37

6.11 Réponse exercice [ 26 ] .......................................................................... 41

6.12 Réponse exercice [ 27 ] .......................................................................... 44

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 3/93

6.13 Réponse exercice [ 28 ] .......................................................................... 47

6.14 Réponse exercice [ 29 ] .......................................................................... 48

6.15 Réponse exercice [ 30 ] .......................................................................... 48

6.16 Réponse exercice [ 31 ] .......................................................................... 50

7. Tracé direct des diagrammes de sollicitations ............................. 51

7.1 Réponse exercice [ 32 ] .................................................................................. 51

7.2 Réponse exercice [ 33 ] .................................................................................. 54

7.3 Réponse exercice [ 34 ] .................................................................................. 57

7.4 Réponse exercice [ 35 ] .................................................................................. 59

7.5 Réponse exercice [ 36 ] .................................................................................. 61

7.6 Réponse exercice [ 37 ] .................................................................................. 65

8. - iso/hyperstaticité ..................................... 72

8.1 Réponse exercice [ 38 ] .................................................................................. 72

9. Caractéristiques des sections droites ........................................... 74

9.1 Réponse exercice [ 39 ] .................................................................................. 74

9.2 Réponse exercice [ 40 ] .................................................................................. 77

9.3 Réponse exercice [ 41 ] .................................................................................. 82

9.4 Réponse exercice [ 42 ] .................................................................................. 88

9.5 Réponse exercice [ 43 ] .................................................................................. 88

9.6 Réponse exercice [ 44 ] .................................................................................. 91

9.7 Réponse exercice [ 45 ] .................................................................................. 92

9.8 Réponse exercice [ 46 ] .................................................................................. 92

9.9 Réponse exercice [ 47 ] .................................................................................. 92

9.10 Réponse exercice [ 48 ] .......................................................................... 92

9.11 Réponse exercice [ 49 ] .......................................................................... 93

9.12 Réponse exercice [ 50 ] .......................................................................... 93

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 4/93

1. Rappels de MMC utiles en RDM

1.1 Réponse exercice [ 1 ]

Après analyse :

1a) En fonction du poids de la masse P et de la section du barreau S, la contrainte dans le barreau est : ߪ

Or ܵ

Et ܲൌ-- ൈͳ-ൌ--- ܰ

Ainsi loi de comportement : ߝ ൑ͳΨ՜ ߪൌͷߝ

Donc ߝ

b) Par définition ߝ 2)

Ce qui correspond à la force

de 39,3 kg . 3a) ortement : ͳΨ൑ߝ ൑ͷΨ՜ ߪൎ-ǡ-͸-ͷߝ Donc b) c)

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 5/93 bleue et verte sont homothétiques : Donc

Après déchargement de la masse de 40 kg, le barreau conserve un allongement définitif de

3,2cm, ainsi sa longueur devient égale à 203,2 cm.

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 6/93

1.2 Réponse exercice [ 2 ]

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 7/93

1.3 Réponse exercice [ 3 ]

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 8/93

1.4 Réponse exercice [ 4 ]

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 9/93

1.5 Réponse exercice [ 5 ]

1.6 Réponse exercice [ 6 ]

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 10/93

1.7 Réponse exercice [ 7 ]

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 11/93

1.8 Réponse exercice [ 8 ]

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 12/93

3. Définitions

3.1 Réponse exercice [ 9 ]

1) La ligne (CF) est la fibre moyenne

2) La ligne (BE) est la fibre supérieure (attention au sens du vecteur ݕԦ)

3) La ligne (AD) est la fibre inférieure

5) s de la ligne (AD).

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 13/93

4. Hypothèses du cours de R.D.M.

4.1 Réponse exercice [ 10 ]

En supposant la loi de comportement réaliste du matériau suivante : En supposant que la force F1 induit la déformation İ1, la contrainte ı1 vaut :

La loi de Hooke donne :

Avec E le module de Young du

Matériau

En supposant que la force F2 induit la déformation İ2, la contrainte ı2 vaut :

La loi de Hooke donne :

Avec E le module de Young du

Matériau

Ainsi, 1 et de F2 produit une déformation égale à İ1 + İ2, et la contrainte est :

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 14/93

La loi de Hooke donne :

Avec E le module de Young du

Matériau

1 et F2 produit une contrainte égale à ı1 + ı2.

Nota principe de superposition.

Remarque :

linéaire (loi de Hooke) car la structure justifie transformations infinitésimales (en particulier les petites déformations dans notre exemple). transformations infinitésimales pas respectée, on aurait : e la R.D.M..

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 15/93

4.2 Réponse exercice [ 11 ]

Homogène Isotrope Linéaire b) Elastiqueb)

Béton OUI a)

OUI OUI OUI

Béton armé NONc) NONe) OUI OUI

Acier OUI OUI OUI OUI

Bois massif NONd) NONf) OUI OUI

Verre OUI OUI OUI OUI

a) En toute rigueur, la réponse est non car la présence de granulats par exemple dans sa composition rend ce matériau non homogène. Cependant, seul le comportement macroscopique est regardé donc le béton a un comportement relativement homogène. b) En tenan est non pour tous les matériaux c) d) . Pour un bois de bonne qualité, comme pour le béton, la réponse macroscopique peut être vu comme homogène. e) s dans toutes les directions.

f) La direction des veines du bois est responsable de différence de résistance entre

direction

Remarque : ces réponses sont générales. Certains bois par exemple peuvent présenter des

caractéristiques différentes.

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 16/93 5.

5.1 Réponse exercice [ 12 ]

a) - la poutre peut glisser horizontalement, - la poutre peut pivoter au niveau des appuis - mais ne peut se déplacer verticalement.

Ainsi les données de par :

b) Chargements

Poids propre de la poutre gpoutre :

La poutre a un volume égal à : ͵ൈగൈ଴ǡଵହ( sens de la sécurité. Ainsi pour le calcul ȡ = 1200 kg/m3 est pris en compte. Généralement, les charges réparties sont données par mètre linéaire, ainsi :

Poids propre des chaines et du banc Gbanc :

Le poids propre des chaines et du banc est modélisé par 2 forces ponctuelles situées à 30 cm

des appuis. Le poids propre étant égal à 25 kg, les deux forces ponctuelles ont pour valeur 12,5

kg chacune.

Poids de la neige sur le banc Qneige,banc :

ȡneige

= 150 kg/m3 est pris en compte. La hauteur de chute de neige est égale à 0,2 m

Le poids propre de la neige sur le banc est alors égal à : -ǡ-ൈͳǡ-ൈͳͷ-ൌ͵͸ ݇݃

Le poids propre étant égal à 36 kg, les deux forces ponctuelles ont pour valeur 18 kg chacune

situées au niveau des attaches des chaines.

Poids de la neige sur la poutre qneige,poutre :

La neige sur la poutre peut être visualisée par la coupe transversale suivante :

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 17/93 Ainsi, bien que la poutre soit ronde, le poids de la neige reste équivalent au poids de la neige tombée sur une planche plane de largeur de 15 cm. La hauteur de chute de neige est égale à 0,2 m La masse volumique de la neige est prise égale à ȡneige = 150 kg/m3. Ainsi, la force répartie équivalente est égale à : c) Résultat de la modélisation On multipliera par 10 tous les résultats précédents pour avoir des résultats en N.

Remarque 1 :

Concernant les unités, en physique :

- Les forces sont en N - Le poids est une force on peut très bien parler de poids (ou de forces) en kg !

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 18/93

Remarque 2 :

Concernant les notations :

- G ou g désignent les charges permanentes (poids propre par exemple) (neige par exemple).

De plus, les forces ponctuelles sont écrites en majuscules (ex : G ou Q), et les forces réparties

sont écrites en minuscules (ex : g ou q)

5.2 Réponse exercice [ 13 ]

Etape 1

Etape 2 : Ecrire les réactions au niveau des liaisons Etape 3 : Remplacer les forces réparties par des forces ponctuelles équivalentes

Etape 4 : :

- Somme des forces horizontales nulle : ܴ஺௫൅ݍܮ - Somme des forces verticales nulle : ܴ஺௬൅݌ܮ൅ܨ - Moment du système global nul : ܯ௭൅ ݍܮ Etape 5 : Valorisation des composantes nulles connues aux liaisons

Etape 6 : résolution du système

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 19/93

2୅୷ൌെ"െ

Etape 7 : Rédaction de la solution, au point A : ൞

2୅୷ൌെ"െ

5.3 Réponse exercice [ 14 ]

Etape 1

Etape 2 : Ecrire les réactions au niveau des liaisons Etape 3 : Remplacer les forces réparties par des forces ponctuelles équivalentes

Pas de forces réparties " ici ».

Etape 4 : :

- Somme des forces horizontales nulle : RBx = 0 - Somme des forces verticales nulle : RAy + RBy + F = 0 Etape 5 : Valorisation des composantes nulles connues aux liaisons Par exemple, nous savons que le moment en A est nul donc :

Mz/A = െ ܨ

Rq : valoriser que le moment est nul en B aurait été tout à fait valable également.

Etape 6 : résolution du système

2୅୷ൌെ

Etape 7 : Rédaction de la solution

Au point A : ቐ

2୅୷ൌି୊

et au point B : ቐ

2୆୷ൌି୊

AB F x yRBy RBx RAy

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 20/93

5.4 Réponse exercice [ 15 ]

Etape 1

Etape 2 : Ecrire les réactions au niveau des liaisons Etape 3 : Remplacer les forces réparties par des forces ponctuelles équivalentes Remarque : la réaction R en A est dans le plan (x,y)

Etape 4 : :

- Somme des forces selon x nulle : ܴ஺௫൅ܴ - Somme des forces selon y nulle : ܴ஺௬൅ܴ஻௬െ-݌ܮെܨ - Somme des forces selon z nulle : ܴ஻௭െܳ Etape 5 : Valorisation des composantes nulles connues aux liaisons

Le moment en B est nul donc :

Donc อ

puis : ቐ െ-1൅-ܴ

Etape 6 : résolution du système

െ-1൅-ܴ A B Q F 2pL x y z RBx RBy RBz RAx RAyR

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 21/93

2୅୷ൌ൅"

: F = Q Les équations (4), (5) et (6) indiquent que : ቐ

Etape 7 : Rédaction de la solution

On a : Q = -F pour obtenir une solution du système trouvé, ainsi

Au point A : ቐ

2୅୸ൌ- ୅୸ൌ-

Au point B : ቐ

ATTENTION

Au point A, la liaison est une liaison simple, la réaction doit nécessairement être perpendiculaire

au sol. Or pour satisfaire ce critère, nous devons nécessairement avoir RAx = RAy. Dans cet exemple, déplacement.

[PDF] RDM 1ère année ENTPE Résistance des matériaux – partie 1

RDM 1ère année ENTPE

Résistance des matériaux Ȃ partie 1

Corrections des exercices

Boris TEDOLDI

Ingénieur structure

2 chemin des maisonnettes BP19

39150 SAINT LAURENT EN GDX

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

1. Rappels de MMC utiles en RDM ....................................................... 4

1.1 Réponse exercice [ 1 ] ...................................................................................... 4

1.2 Réponse exercice [ 2 ] ...................................................................................... 6

1.3 Réponse exercice [ 3 ] ...................................................................................... 7

1.4 Réponse exercice [ 4 ] ...................................................................................... 8

1.5 Réponse exercice [ 5 ] ...................................................................................... 9

1.6 Réponse exercice [ 6 ] ...................................................................................... 9

1.7 Réponse exercice [ 7 ] .................................................................................... 10

1.8 Réponse exercice [ 8 ] .................................................................................... 11

3. Définitions ........................................................................................ 12

3.1 Réponse exercice [ 9 ] .................................................................................... 12

4. Hypothèses du cours de R.D.M. ..................................................... 13

4.1 Réponse exercice [ 10 ] .................................................................................. 13

4.2 Réponse exercice [ 11 ] .................................................................................. 15

5. ...................................................... 16

5.1 Réponse exercice [ 12 ] .................................................................................. 16

5.2 Réponse exercice [ 13 ] .................................................................................. 18

5.3 Réponse exercice [ 14 ] .................................................................................. 19

5.4 Réponse exercice [ 15 ] .................................................................................. 20

6. Calculs des diagrammes de sollicitations ..................................... 22

6.1 Réponse exercice [ 16 ] .................................................................................. 22

6.2 Réponse exercice [ 17 ] .................................................................................. 23

6.3 Réponse exercice [ 18 ] .................................................................................. 25

6.4 Réponse exercice [ 19 ] .................................................................................. 26

6.5 Réponse exercice [ 20 ] .................................................................................. 26

6.6 Réponse exercice [ 21 ] .................................................................................. 27

6.7 Réponse exercice [ 22 ] .................................................................................. 29

6.8 Réponse exercice [ 23 ] .................................................................................. 31

6.9 Réponse exercice [ 24 ] .................................................................................. 34

6.10 Réponse exercice [ 25 ] .......................................................................... 37

6.11 Réponse exercice [ 26 ] .......................................................................... 41

6.12 Réponse exercice [ 27 ] .......................................................................... 44

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

6.13 Réponse exercice [ 28 ] .......................................................................... 47

6.14 Réponse exercice [ 29 ] .......................................................................... 48

6.15 Réponse exercice [ 30 ] .......................................................................... 48

6.16 Réponse exercice [ 31 ] .......................................................................... 50

7. Tracé direct des diagrammes de sollicitations ............................. 51

7.1 Réponse exercice [ 32 ] .................................................................................. 51

7.2 Réponse exercice [ 33 ] .................................................................................. 54

7.3 Réponse exercice [ 34 ] .................................................................................. 57

7.4 Réponse exercice [ 35 ] .................................................................................. 59

7.5 Réponse exercice [ 36 ] .................................................................................. 61

7.6 Réponse exercice [ 37 ] .................................................................................. 65

8. - iso/hyperstaticité ..................................... 72

8.1 Réponse exercice [ 38 ] .................................................................................. 72

9. Caractéristiques des sections droites ........................................... 74

9.1 Réponse exercice [ 39 ] .................................................................................. 74

9.2 Réponse exercice [ 40 ] .................................................................................. 77

9.3 Réponse exercice [ 41 ] .................................................................................. 82

9.4 Réponse exercice [ 42 ] .................................................................................. 88

9.5 Réponse exercice [ 43 ] .................................................................................. 88

9.6 Réponse exercice [ 44 ] .................................................................................. 91

9.7 Réponse exercice [ 45 ] .................................................................................. 92

9.8 Réponse exercice [ 46 ] .................................................................................. 92

9.9 Réponse exercice [ 47 ] .................................................................................. 92

9.10 Réponse exercice [ 48 ] .......................................................................... 92

9.11 Réponse exercice [ 49 ] .......................................................................... 93

9.12 Réponse exercice [ 50 ] .......................................................................... 93

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

1. Rappels de MMC utiles en RDM

1.1 Réponse exercice [ 1 ]

Après analyse :

Or ܵ

Et ܲൌ-- ൈͳ-ൌ--- ܰ

Donc ߝ

Ce qui correspond à la force

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

3,2cm, ainsi sa longueur devient égale à 203,2 cm.

Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page

1.2 Réponse exercice [ 2 ]