Calcul des structures hyperstatiques Cours et exercices corrigés
3 10 3 Exercice N° 3 3 49 3 10 4 Exercice N°3 4 52 CHAPITRE 4 : Méthodes des déplacements 4 1 Introduction 57 4 2 Nombre d’inconnus d’hyperstatique 57 4 3 Intérêt de la méthode des déplacements 57 4 4 Principe de la méthode des déplacements 58 4 5 Classification des structures 60 4 6 Principe du nœud fixe 61 4 7
Exercice 13 : Étude dun portique hyperstatique
Exercice 13 : Étude d'un portique hyperstatique Objectifs : Calcul d'un portique plan hyperstatique (utilisation du TH de Ménabréa) F ℓ ℓ ℓ On négligera l'énergie de déformation à l'effort normal 1 Montrer que cette structure est hyperstatique de degré 3 2 Utiliser la symétrie pour simplifier le problème 3
RESOLUTION POUTRES HYPERSTATIQUES P p kN/m pL kN L/2
le système est hyperstatique d’ordre 1 Equation de déformation : Calcul du moment fléchissant quand 2 0 L d xd M fz AY x MA Utilisation de l’expression de la déformée E I GZ y'' AY x MA 1 2 ² ' MAx C x E I GZ y AY 1 2 3 2 ² 6 C x C x MA x E I GZ y AY ² y'(0) 0 C 1 0 (Conditions aux limites) y(0) 0 C 2 0 Donc 2 ² 6
Solutions TP3 - Systèmes hyperstatiques
Exercice 3 La seule pièce qui présente un mouvement est le cylindre sur lequel on ap-plique la force F ( gure 4) n = 6c = 61 = 6 (15) La rotation du cylindre représente la mobilité du système m = 1 (16) Les liaisons : 1 cylindre 4 (équivalent à un pivot glissant; A dans la gure 4) 2 contact plan 3 ( B dans la gure 4) l = 4+3 = 7 (17)
Calcul statique des portiques par la RDM
liaison, ce portique est hyperstatique extérieur de degré 1, comme nous libérons une mobilité intérieur, ce portique est isostatique Le calcul, à la main, de cette structure est simple C Rotule A B Structure isostatique (3 inconnues : 2 en A et 1 en B), pour ce type de structure il
Chapitre 1 INTRODUCTION - cours, examens
Chapitre 1 INTRODUCTION Ce cours expose les méthodes générales de calcul des sollicitations et des dé-placements des structures hyperstatiques
Examen Final de Résistance des Matériaux 2 (L3)
EXERCICE 2 : (9 PTS) Soit le portique soumis à deux forces d’intensité P tel que montré par la figure 2 Figure 2 (4 5 pts) Tracer les diagrammes des efforts internes1/ , ????et (1 5 pts) 2/ Donner le mode de sollicitation pour chacune des travées du portique
CHAPITRE 3 LES MÉTHODES ÉNERGITIQUES - etsmtlca
Structures Hyperstatique (Théorème de Castigliano) Déterminer le déplacement horizontal au point B DCL et équilibre M1 MA 0 x a M2 MA Px 2 0 x b b A La A A A A M Px dx EI M dx EI dx M M EI M M U 000 2 1 1 MA Pb2 4(a b) b A L A M Px xdx EI dx P M EI M P U 0 0 2 1 2 2
STATIQUE DEGRE DHYPERSTATISME - EXEMPLES DE CALCUL
l'écart q - p peut être le même pour un mécanisme hyperstatique et une structure isostatique, seul l'examen de la cinématique de la structure pourra garantir qu'il n'existe pas de mobilité - Le calcul du degré d'hyperstatisme d'un système n'est qu'une première analyse Quel que soit le résultat, la nature réelle du problème apparaîtra
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M. Cupani Page 1 sur 21 RDM
Déformation
RESOLUTION POUTRES HYPERSTATIQUES
L p kN/m L/2 pL kN P L/2Sommaire
1. RAPPELS RdM FONDAMENTAUX ....................................................................................................................... 2
2. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle):.............................................................. 3
3. Flèches associées (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle) ....................................................................... 5
4. Méthode formule des 3 moments(Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle). ............................................. 7
5. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) ...................................................... 8
6. Flèches associées (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) ............................................................. 10
7. Méthode formule des 3 moments (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) .................................. 12
8. Poutres hyperstatiques (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme) ............................... 13
9. Méthode formule des 3 moments. (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme)............. 15
10. Console avec charge triangulaire: ............................................................................................................... 16
11. Calcul des déformées charge triangulaire ................................................................................................... 17
12. Méthode des intégrales de Mohr (Charge Triangulaire): ............................................................................ 18
M. Cupani Page 2 sur 21 RDMDéformation
1. RAPPELS RdM FONDAMENTAUX
La "déformée" représente l'allure de la ligne moyenne après déformation. Les "flèches" représentent les déplacements maximums pris par la déformée. Relation entre la rotation et le rayon de courbure : dx. La variation de la rotation de la section en x à la section en x + dx vaut dȦ.On démontre que:
la rotation dȦpeut être assimilée à sa tangente car elle est infiniment faible.Relation entre la flèche et le moment :
En combinant les différentes relations on obtient:En résumé:
En intégra apparaissent.
Afin de déterminer leurs valeurs, il est nécessaire de connaître la flèche ou la rotation en certains points
particuliers. Nous savons que les appuis bloquent des mouvements :Conditions aux limites
Appui simple Articulation Encastrement
flèche nulle y = f = 0 flèche nulle y = f = 0Ȧrotation nulle
flèche nulle y = f = 0 )(1)(')(''xEI xMxxf GZ z UZ²)( )()(dxxEI xMxf GZ zdxxEI xMxfx GZ z )( xEI xM GZ zȦ Equation de la déformée f(x)
M. Cupani Page 3 sur 21 RDMDéformation
2. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle):
Les seules équations de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis.
Il faut faire intervenir en plus les équations de déformations .Exemple 1:
Une poutre AB de longueur L = 4m
IPE 120 (IGZ = 317,8 cm4 ; E = 2.105 MPa)
Encastrée à ses deux extrémités
supporte en C une chargeNF.5000
Déterminer les actions en A et B
Equations de statique :
2 FByAy (Symétrie)02/u LBYMBFLMAAMz
avec MBMA (symétrie)Equation de déformation :
Calcul du moment fléchissant quand
20LxdMAxAYMfz .
Utilisation de
MAxAYyIEGZ .''..
1.2².'..CxMAxAYyIEGZ
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