Y j Y AGRÉGATIONINTERNEDEMATHÉMATIQUES Y j Y
2 SecondePartie (3)On se propose de montrer que toute matrice 2 2 de trace nulle est semblable à une matricedonttouslesélémentsdiagonauxsontnuls
Matrices - Page des EC1 de Ginette
109 Matrice symétrique de trace nulle 1 Soit M ∈Mn(K) On suppose que tM = M +tr(M)In Montrer que M est symétrique et de trace nulle 2 La réciproque est-elle vraie? 3 Ici n = 3 Montrer que les matrices de l’ensemble n M ∈M3(K) tM = M +tr(M)I3 o s’écrivent comme combinaison linéaire de 5 matrices à dé-terminer 110 Le 1 1−x
Exercices de Khôlles de Mathématiques, troisième trimestre
Exercice 21 4 Soit A une matrice de M n(K) de trace nulle 1 Montrer que A est semblable à une matrice de diagonale nulle 2 Montrer qu'il existe deux matrices X et Y de M n(K) de trace nulle qui véri ent A = XY −YX Solution 22 Semaine 22 - Calculs de primitives, calculs de rangs, matrices Khôlleur: Mme Miquel Exercice 22 1 (Oral Ulm
CHAPITRE I : MATRICES 1 Trace
cours du mercredi 25/1 CHAPITRE I : MATRICES 1 Trace La trace d’une matrice carrée Aest la somme de ses coefficients diago-naux: trA= Xn i=1 A i;i: Proposition1 1 Soient A2M
Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle Correction H [005662] Exercice 13 **** Soient A un élément de M n(C) et M l’élément de M 2n(C) défini par blocs par M = A 4A A A Calculer detM Déterminer les éléments propres de M puis montrer que M est diagonalisable si et seulement si A est
DM 18 : matrices magiques - joffrempsi1
aussi magique et sym etrique et la trace de A′ est nulle Alors par b), A′ est de la forme A′= M 2 ou M 2 est la matrice du b) Donc A= M 2 +t~3E La r ecip est triviale : toute matrice de la forme M 2 + E est magique et sym etrique par stabilit e de ces prop par C L On conclut que MG ∩S 3(R) =RM 2 ⊕RE
Algèbre générale - wwwnormalesuporg
Corrigé 10 a)On procède par récurrence sur la taille de la matrice Pour une matrice de taille 1, il n'y a rien à dire Soit Ade trace nulle et de taille n Supposons que pour tout vecteur x, la famille (x;Ax) soit liée; alors Aest une homothétie, donc est nulle Sinon, il existe un vecteur x tel que la famille (x;Ax) soit libre
Espaces euclidiens – corrigé
a) Montrer que l’ensemble Hdes matrices de trace nulle est un sous-espace vectoriel de M n(R), et en donner la dimension b) Soit J la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1 Calculer d(J;H) a) La trace est une application linéaire donc H= Ker(tr) est un sous-espace vectoriel de M n(R) Son image est
Réduction de matrices et endomorphismes
1 5 Matrice de rang 1 : Soit Aune matrice de M n(R) a) Montrer que rg (A) = 1 si et seulement si il existe deux matrices colonnes U et V non nulles telles que A= U tV b) Soit Aune matrice de rang 1 Montrer que Aest diagonalisable si et seulement si rT (A) 6= 0 c) Si Aest une matrice de rang 1, calculer Ak pour tout entier k∈ N
MPSI 2 : DL 07 - Free
MPSI 2 : DL 07 pour le 26 mars 2003 Dans le probl`eme, Ed´esigne un R-ev de dimension n≥ 2 On notera Dn(R) l’ensemble des matrices diagonales de Mn(R) Eij d´esigne la matrice de la base canonique de Mn(R) avec un coefficient 1 `a l’intersection de la
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M?→MB-BM
?????ψ(Ak+1) =Ak+1B-BAk+1? ??Ak.B=B.Ak +kAk ????ψ(Ak+1) =A.(B.Ak+kAk)-BAk+1=kAk+1+ (AB-BA???? =A)Ak= (k+ 1)Ak+1 •??(A) =??(A.B-B.A) =??(A.B)-??(B.A)= 0???k?N, ψ(Ak) =kAk? ???? ???? ??? ???????k??N???? ??????? ??????? ??ψ?ψ?????? ????? ??? ???????
??A=( (2 4-2 -1-2 13 6-3)
??B=( (2-4-2 3-6-3 -4 8 4) ??A=( (2 4-2 -1-2 13 6-3)
dim(EA(0)) = 3-??(A) = 20??? ???? ?????? ?????? ??????? ? ?? ??
?? ?? ????λ1,λ2,λ3??? ??????? ??????? ??A? ?λ1=λ2= 0?? ?????λ1+λ2+λ3=??(A) =-3
????λ3=-3 (2-4-2 3-6-3 -4 8 4) dim(EB(0)) = 3-??(B) = 20??? ???? ?????? ?????? ??????? ? ?? ??
?? ?? ????λ1,λ2,λ3??? ??????? ??????? ??A? ?λ1=λ2= 0?? ?????λ1+λ2+λ3=??(B) = 0
????λ3= 0 ???A= (ai,j) = (aj-i) ? ?A=( (((((1a a2... an-1 1a1a ... an-2
1a 21a1... an-3
1a n-11a n-21a n-3...1) ??Cj??????? ??je??????? ??A? ?????Cj=aCj-1 (((((1 1a 1a 2??? 1a n-1) )))))?? ?? ???????W=( (((((a n-1 a n-2 a 1) (((((1a a2... an-1 1a1a ... an-2
1a 21a1... an-3
1a n-11a n-21a n-3...1) (((((x 1 x 2??? x n-1 x n) )))))= 0 ???? ?x ???? ? ??? ?????? ?????? ??????? ?? ?????n-1? ????? ? ???? ???????n-1?? ???????n??? ???? ??? ?? ????? ??? ??????? ??????? ??? ????? ? ?? ????? ??A? ?? ?????? ??? ?????? ?????? ??????
n-1fois+λ=??(A) =n (((((n0 0...00 0 0...0
0 0 0...0
0 0 0...0)
?P?GLn(R), A=P.Δ.P-1 ???? ????k?N, Ak=P.Δk.P-1 k=( (((((n k0 0...00 0 0...0
0 0 0...0
0 0 0...0)
)))))=nk-1Δ????Ak=P.(nk-1Δ).P-1=nk-1P.Δ.P-1=nk-1A?k?N?, Ak=nk-1A??? ??????? ?? ???? ? ? ????A??? ??????? ??Mn(R)?A=U.tV?
?? ????A??? ??????? ?? ???? ?? ((x 1 x 2 x n) ?j? {1,2,...,n},?yj?C, Cj=yjCi0 A=( (((y1x1y2x1... ynx1
y1x2y2x2... ynx2
y1xny2xn... ynxn)
((x 1 x 2 x n) ))×?y1y2... yn?=U×tV ????U=Ci0=( ((x 1 x 2 x n) ))??V=( ((y 1 y 2 y n) ??U??V?? ???? ?????? ??? ?????A?? ??????? ????U=( ((x 1 x 2 x n) ))??V=( ((y 1 y 2 y n)U??A??? ?? ???? ?? ???? ???? ? ??
?i0, xi0?= 0,?j0, yj0?= 0??ai0,j0=xi0yj0?= 0????A????? ??? ?????? ???? ??? ???? ?? ???? ?? n-??(A) =n-1? ???? ? ??? ?????? ?????? ??????? ?? ?????n-1? ?? ????? ??? ??????? ??????? ??? ????? ? ??(A)? X=( ((x 1 x 2 x n) ))?Y=( ((y 1 y 2 y n) ))?A=( (((y1x1y2x1... ynx1
y1x2y2x2... ynx2
y1xny2xn... ynxn)
)))=U×tV ?????? ???? ????? ??????k? Ak= (U×tV).(U×tV).×...×(U×tV) =U×(tV.U)×(tV.U)×...×(tU)×tV=U×(tV.U)k-1tV
A k= (tV.U)k-1.(U×tV) = (tV.U)k-1.A= (det(A))k-1.A (((((0··· ···0a10 0···0an-1
a1a2a3···an)
(((((x 1 x 2??? x n-1 x n) )))))?? ??????? ??CnA.X=λX???
?????a1xn=λx1
a2xn=λx2???
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?????x n( (((a 1 a 2??? a n-1) (((x 1 x 2??? x n-1) a1x1+a2x2+...+anxn=λxn
?????A.X=λX??? (((x 1 x 2??? x n-1) )))=xnλ (((a 1 a 2??? a n-1) a 21xnλ +a22x nλ +...+a2n-1x nλ +anxn=λxn (((x 1 x 2??? x n-1) )))=xnλ (((a 1 a 2??? a n-1) x n(λ2-anλ-a21-a22-...-a2n-1) = 0 ??xn= 0? ?????X= 0 (((x 1 x 2??? x n-1) )))=xnλ (((a 1 a 2??? a n-1) )))(1)