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Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 1 Applications linéaires, matrices, déterminants
Exercice 1.
1. Montrer que ݑ est linéaire.
Allez à : Correction exercice 1
Exercice 2.
1. Montrer que ݂ est une application linéaire.
Allez à : Correction exercice 2
Exercice 3.
1. Montrer que ݂ est une application linéaire.
3. Donner une base de ܫ
Allez à : Correction exercice 3
Exercice 4.
1. Montrer que ݄ est une application linéaire.
2. Montrer que ݄ est ni injective ni surjective.
3. Donner une base de son noyau et une base de son image.
Allez à : Correction exercice 4
Exercice 5.
Soit ݂ ݂ǣԹଷ՜Թଷ définie par :
Allez à : Correction exercice 5
Exercice 6.
1. Montrer que ݂ est une application linéaire.
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 2
3. Donner une base de ܫ
Allez à : Correction exercice 6
Exercice 7.
convient.
On pourra utiliser une autre méthode.
3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant ܫ
Allez à : Correction exercice 7
Exercice 8.
Soit ݑǣԹସ՜Թଷ une application linéaire définie par
3. Déterminer une base de ܫ
Allez à : Correction exercice 8
Exercice 9.
2. Donner une base (La plus simple possible) de ܫ
4. Montrer que ܧ
Allez à : Correction exercice 9
Exercice 10.
On admettra que ݑ est une application linéaire.
1. Déterminer une base du noyau de ݑ.
2. ݑ.
3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant ܫ
Allez à : Correction exercice 10
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 3
Exercice 11.
2. En déduire que ݂ est inversible (c'est-à-dire bijective) et déterminer ݂ିଵ.
Allez à : Correction exercice 11
Exercice 12.
1. Montrer que ݂ est une application linéaire.
2. ݂.
Allez à : Correction exercice 12
Exercice 13.
1. Montrer que ݂ est une application linéaire.
3. Déterminer une base de ܫ
Allez à : Correction exercice 13
Exercice 14.
Soit ݑǣԹଷ՜Թଷ :
1. Montrer que ݑ est linéaire.
Allez à : Correction exercice 14
Exercice 15.
Soit ݑ un endomorphisme de Թଷ défini par :
Montrer que ܧ et ܨ
3. Déterminer une base de ܧ et une base de ܨ
4. Y a-t-il ܨ۩ܧ
Allez à : Correction exercice 15
Exercice 16.
Soit ݂ǣԹଷ՜Թଷ :
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 4
1. Montrer que ܧିଵ et ܧ
3. Que peut-on en déduire sur les dimensions de ܧିଵ et de ܧ
4. Déterminer ܧିଵܧת
5. A-t-on ܧିଵܧْ
Allez à : Correction exercice 16
Exercice 17.
Soient
Soit ݑ Թଷ définie par :
3. Montrer que :
Allez à : Correction exercice 17
Exercice 18.
1. Montrer que est une application linéaire.
tout ݑא
égaux.
Allez à : Correction exercice 18
Exercice 19.
2. Pour tout ݔܧא
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 5
Allez à : Correction exercice 19
Exercice 20.
Allez à : Correction exercice 20
Exercice 21.
Allez à : Correction exercice 21
Exercice 22.
1. Montrer que ݑ est une application linéaire.
Allez à : Correction exercice 22
Exercice 23.
Soit ݑ une application linéaire de ܧ dans ܧ, ܧ Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes (b) ܫ
Allez à : Correction exercice 23
Exercice 24.
Question de cours
Soit ݑ une application linéaire de ܧ vers ܧ
Allez à : Correction exercice 24
Exercice 25.
Soit ݑǣܧ՜ܧ une application linéaire et ߣ
Montrer que est un sous-espace vectoriel de ܧ
Allez à : Correction exercice 25
Exercice 26.
Soient ܧ et ܨ
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 6
Soit ݑǣܧ՜ܨ
2. Montrer que si ݊ alors ݑ
Allez à : Correction exercice 26
Exercice 27.
Soit ݂ǣܧ՜ܨ
Montrer que :
Allez à : Correction exercice 27
Exercice 28.
Soient ݂ et ݃ deux endomorphisme de Թ. Montrer que
Allez à : Correction exercice 28
Exercice 29.
Soit ݑ un endomorphisme de ܧ
Allez à : Correction exercice 29
Exercice 30.
Soit ݑ un endomorphisme de ܧ
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes
Allez à : Correction exercice 30
Exercice 31.
1. ൌ͵, ݍൌ-
b) Déterminer la matrice de ݑ de la base ݁ dans la base ݂. c) ݑ.
2. ൌ͵ et ݍൌ͵, dans cette question ݁ൌ݂
b) Déterminer la matrice de ݑ de la base ݁ dans la base ݁. c) ݑ.
Allez à : Correction exercice 31
Exercice 32.
1. ൌ-, ݍൌ͵
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 7 c) ݑ. c) ݑ.
Allez à : Correction exercice 32
Exercice 33.
(On admet que ݑ est une application linéaire). b) Déterminer la matrice de ݑ de la base ݁ dans la base ݁. c) ݑ. (On admet que ݑ est une application linéaire). b) Déterminer la matrice de ݑ de la base ݁ dans la base ݁. c) ݑ.
Allez à : Correction exercice 33
Exercice 34.
Soit ݂ǣԹସ՜Թଷ Թସ et Թଷ est
1. Déterminer une base du noyau de ݂.
2. ݂. Quel est le rang de ܣ
Allez à : Correction exercice 34
Exercice 35.
Déterminer le rang de la matrice
Allez à : Correction exercice 35
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 8
Exercice 36.
Soit la matrice ܣ de définie par : ܣ
1. Montrer que ܣ est inversible et calculer son inverse ܣ
2. En déduire ܣ
Allez à : Correction exercice 36
Exercice 37.
Soit ܣ la matrice de définie par : ܣ
1. Calculer ܣ
3. En déduire ܣ
4. Retrouver ܣ
Allez à : Correction exercice 37
Exercice 38.
Soit ܣ
Allez à : Correction exercice 38
Exercice 39.
Soit ܣ
Allez à : Correction exercice 39
Exercice 40.
A tout nombre réel ݐ on associe la matrice : ܯ
1. Calculer le produit des matrices ܯ
Allez à : Correction exercice 40
Exercice 41.
Soit ݑǣԹଷ՜Թଷ Թଷ dont la matrice dans la base canonique est Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 9
5. Calculer ܲ
7. Donner la relation entre ܣǡܲ et ܦ
Allez à : Correction exercice 41
Exercice 42.
3. a) Déterminer le noyau et l'image de ݂. b) En déduire que ݂ est inversible.
4. Montrer que ܣൌܪܴ
Où ܪ est la matrice d'une homothétie dont on donnera le rapport et ܴ on donnera l'angle.
Allez à : Correction exercice 42
Exercice 43.
Soit ݑ Թଷ dont la matrice dans la base canonique est : 4. a) Calculer ܲିଵܲܣ en fonction de ܴ b) Calculer ܴ c) En déduire les valeurs de ܣ
Allez à : Correction exercice 43
Exercice 44.
Soit ݑ une application linéaire de Թଷ dans Թଷ définie par :
1. Déterminer la matrice de ݑ dans la base canonique.
Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 10 ܧ est ͳ et donner un vecteur non nul ܽ de ܧ
5. Montrer que ܨْܧ
Allez à : Correction exercice 44
Exercice 45.
1. Déterminer la matrice ܣ
Allez à : Correction exercice 45
Exercice 46.
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