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Chapitre 8 Chaˆınes de Markov

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2 CHAÎNE DE MARKOV Propriété 1 : La matrice de transition d’une chaîne de Markov homogène est une matrice stochastique À une matrice d’une chaîne de Markov homogène, on peut associer un graphe probabiliste dont les sommets sont les états de l’espace E et les arcs reliant l’état i à l’état j sont affectés des

Chaînes de Markov - Université Paris-Saclay

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On appelle matrice de transition de la chaîne de Markov X n homogène la matrice T M N définie par ij, 1,i j N Tp Pour une telle matrice, tous les coefficients sont positifs : ce sont des probabilités De plus ,1 0 11 1 NN ij Xi jj p P X j Une matrice de transition a donc tous ses coefficients positifs et la somme des coefficients de

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Chapitre8

8.1Lamatricedetransition

auxprobl`emespos´es.

Voicilad´e“nition:

secondmembrede(8.1)ned´ependpasden. 203

204CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV

LamatriceP={pij}i,jE,o`u

p ij=P(Xn+1=j|Xn=i) dun´etatversunautre´etat,ona p ij0,et kEp ik=1 estappel´eematricestochastique.

C=ABestlamatrice{cij}i,jE,o`ucij=

kEaikbkj.Lanotationx={xi}iE kExkaki. kEaikzk. =P(Xn+1=j1,...,Xn+k=jk|Xn=i)(8.2)

P(AB|Xn=i)=P(A|Xn=i)P(B|Xn=i).

du:

VoircependantlExercice8.5.1.

deladirectiondutemps.

8.1.LAMATRICEDETRANSITION205

Ladistributiondunecmh

n(i)=P(Xn=i).

Lar`egledescausestotalesdonnen+1(j)=

iEn(i)pij,cest-`a-dire,sousformema-

Tn=T0Pn.(8.3)

autreque p ij(n)=P(Xn+m=j|Xm=i). i

1,...,inŠ1Ep

ii1pi1i2···pinŠ1j,

P(X0=i0,X1=i1,...,Xk=ik)

etdonc,danslecasdunecmh, probabilit´edelacmh.Donc: noteraPµ(A)=

206CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV

R´ecurrencesmarkoviennes

blancŽ.Pluspr´ecis´ement,

L´equationder´ecurrence

X n+1=f(Xn,Zn+1)(8.5) d´e“nitalorsunecmh. i

Explicitement:

p ij=P(f(i,Z1)=j).(8.6)

P(Zn=+1)=p,

X n+1=Xn+Zn+1

8.1.LAMATRICEDETRANSITION207

301
0 0 011 1 012 a

10011110

30111111010

33
b 3011
212
1 21
21
21
21
212
2 c

Unautomatestochastique

a initial0)

0100123100123123010.

seulementdanscettecirconstance.

208CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV

commedansleTh´eor`eme8.1.3. X n+1=jsijŠ1 k=0p

Xnk k=0p Xnk, plusieursreprises. consid´erablementlaport´ee. =P(Zn+1=k|Xn=i), p ij=P(f(i,Z1)=j|X0=i).

D´emonstration.Exercice8.5.3.

8.1.LAMATRICEDETRANSITION209

N,soiti+1(ellefut

N. X n+1=Xn+Zn+1, o`uZn{Š1,+1}etP(Zn+1=Š1|Xn=i)=i

N.Lestermesnonnulsdelamatrice

detransitionsontdonc p i,i+1=NŠi

N,pi,iŠ1=iN.

Analyse`aunpas

ensembled´etatsAferm´e( jApij=1pourtoutiA)etlestempsmoyensavant X

Agagneestu(a)=P(XT=c|X0=a).

12345678910T=11c=a+b

0 aAgagne

LaruinedujoueurB

210CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV

u(i)=P(XT=c|X0=i) X

1icŠ1,

u(i)=pu(i+1)+qu(iŠ1), pr p,sip=q,etuneracine double,r1=1,sip=q=1 i

2.Tenantcomptedes

u(i)=1Š(q p)i

1Š(qp)c,

etpourp=q=1 2, u(i)=i c.

Danslecasp=q=1

v(i)=cŠi estdememepourp=q. der´ecurrence m(i)=1+pm(i+1)+qm(iŠ1) conditionsauxfronti`eressont m(0)=0,m(c)=0.

8.1.LAMATRICEDETRANSITION211

m(iŠ1)).Notant y i=m(i)Šm(iŠ1), ona,pour1icŠ1,

Š1=pyi+1Šqyi

et m(i)=y1+y2+···+yi.

2.Pourcela,onlar´e´ecrit

Š1=1

2y2Š12y1,

Š1=1

2y3Š12y2,

Š1=1

2yiŠ12yiŠ1,

etdonc,ensommant,

Š(iŠ1)=1

2yiŠ12y1,

cest-`a-dire,pour1ic, y i=y1Š2(iŠ1). onobtient m(i)=i(cŠi).

212CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV

JEUB

40Š1515Š40

40Š030Š1515Š300Š40

30Š015Š150Š30

15Š00Š15

0Š0ppp

pp p p pp ppp p q q q q q q qq q qqq qqp qpJEUAAV.A´EGALIT´EAV.B a

1123451qqq

ppp b

Tennis:unjeusanslar`egledutie-break

8.1.LAMATRICEDETRANSITION213

deuxi`eme´etaped´ebuteeni, b

1=1,b5=0

et b

2=q+pb3,

b

3=qb2+pb4,

b

4=qb3.

pourp=q, (b1,b2,b3,b4,b5)=

1,q1Špq

1Š2pq,q21Š2pq,q31Š2pq,0

i=1p(i)bi,o`up(i)estlaprobabilit´e p(1)=q4(1+4p).

Lelecteurpourraterminerlescalculs.

Distributionstationnaire

globale

T=TP(8.7)

(i)= jE(j)pji. aplus.Eneet,danscecas, =(i0)pi0i1...pikŠ1ik

214CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV

lacmheststationnaire. transitionest

P=1Š

1Š (1)=(1)(1Š)+(2), (2)=(1)+(2)(1Š). (1)= +,(2)=+. (i)=(iŠ1)

1ŠiŠ1

N +(i+1)i+1N etpourles´etatsextremes, (0)=(1)1

N,(N)=(NŠ1)1N.

pourobtenir (i)=(0)N iquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36