Chapitre 8 Chaˆınes de Markov
Chapitre 8 Chaˆınes de Markov 8 1 La matrice de transition Une suite de variables al·eatoires {Xn}n 0 ‘a valeurs dans l’espace d·enombrable E est appel·e processus stochastique (‘a temps discret) (‘a valeurs dans E)
Graphes et chaînes de Markov
2 CHAÎNE DE MARKOV Propriété 1 : La matrice de transition d’une chaîne de Markov homogène est une matrice stochastique À une matrice d’une chaîne de Markov homogène, on peut associer un graphe probabiliste dont les sommets sont les états de l’espace E et les arcs reliant l’état i à l’état j sont affectés des
Chaînes de Markov - Université Paris-Saclay
Théorème 2 3 (Propriété de Markov) Soit (Xn)n2N une chaîne de Markov de matrice de transition P,etT un temps d’arrêt pour sa filtration canonique Pour toute fonction mesurable bornée f sur l’espace des trajectoires, E⇡0 [T
Transition matrices Matrix-based mobility measures Other
Quantile transition matrices Markov matrices Estimation Quintile transition matrices The canonical example de nes s t so it measures fths of an income distribution, so M 1 in s t = M 1s t 1 is a quintile transition matrix (all the same theory applies to any quantile transition matrix, but 5 categories seems to be the optimal number for our
Markov Chains and Markov Chain Monte Carlo
Markov Model of English Text (*) •Download a large piece of English text, say “War and Peace” from Project Gutenberg •We will model the text as a sequence of characters •Write a programme to compute the ML estimate for the transition probability matrix •You can use the file markov_text R or markov_text m to help convert
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On appelle matrice de transition de la chaîne de Markov X n homogène la matrice T M N définie par ij, 1,i j N Tp Pour une telle matrice, tous les coefficients sont positifs : ce sont des probabilités De plus ,1 0 11 1 NN ij Xi jj p P X j Une matrice de transition a donc tous ses coefficients positifs et la somme des coefficients de
TP9/10 : Chaînes de Markov
ECE2-B 2018-2019 I 3 Étude de la matrice de transition I Déterminer la matrice de transition du problème précédent Écrire l’appel permettant de la stocker dans une variable A
DM 22 : introduction aux cha^ nes de Markov
dans ce probl eme, la probabilit e de transition d’un etat X n a l’ etat X n+1 est ind ependante du temps n, on dit que la cha^ ne de Markov est homog ene Dans ce cas, , la loi des variables X n est enti erement d etermin ee par la donn ee de la loi X 0 et d’une matrice stochastique Ade M p(R) Si on pose maintenant n =(P(X n =1);P(X n
Estimating Probability of Default Using Rating Migrations in
In particular, rating migrations will be estimated using a Markov chain framework, where migra-tion (transition) matrices are used to extrapolate the cumulative transition probabilities forward in time This approach has been around since the beginning of the 21st centu,ry but has evolved during the years
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Chapitre2
ChaînesdeMarkov
Résumé.Unechaînede Markovestunpro cessusaléatoire(X n n!N dont lestransitio nssontdonnéesparune matricestochastiqueP(X n ,X n+1 Cesproc essusvérifientlapropriétéde Markov,c'est-à-direqu'ob servésàpartird'untemps(d'arrêt)T,(X
T+n n!N nedépend quedeX T etest denouv eauunechaînedeMarkov. Lesétatsd 'unechaînedeMarkov peuventêtreclassése ndeuxcatégo ries:lesétatstr ansitoires,quine sontvisitésqu'unnombre finidefois p.s.,etles étatsr écurrents,quiune foisatteints sontvisités p.s.uneinfinitédefois, ainsiquetouslesautres étatsdanslamême classederéc urrenc e.Pourunecha înedeMarkov irréductiblerécu rrente,lamesureempiriqueetlaloima rgina ledupro - cessusconv ergentsoitversl'uniquemesuredeprobabilitéP-invariante (récurrencepositive),soit verslevecteur nul(récurrencenulle).Cette théories'appliqueen particulierauxmarchesaléatoiresetau xmodèles defilesd'attente. Danscequis uit,onfixeune spac ed'étatsXfiniou dénombrable,muni delatribude l'ensembledesparties P(X).SiXestfini,on noteraNsonnombre d'éléments.1.Ma tricesstochastiqueset propriétédeMarkov
1.1.Cha înesdeMarkov.UnematricestochastiquesurXestunefonction P:
(x,y)!X"#P(x,y)![0,1]telleque,p ourto utx!X, y!XP(x,y)=1.
Autrementdit,tout x!Xdéfinitunemesure de probabilité P(x,·)surX,appelée probabilitédetransitionàpartirdex. Définition2.1(Chaîne deMarkov).Unechaîne deMar kovsur Xdematric ede transitionPestune suitedevariablesaléatoir es(X n n!N définiessurun espace (!,B,P) età valeursdans X,tellequepourtoutn,ettouspointsx 0 ,...,x n+1 P[X n+1 =x n+1 |X 0 =x 0 ,...,X n =x n ]=P(x n ,x n+1Ainsi,lalo iconditio nnelleP
X n+1 |(X 0 ,...,Xn) estlaprobabilité detransitio nP(X n ,·).Il estutiled ereprésenter lesmesuresdeprobabilité "surXpardesvecteursen ligne ("(x 1 ),"(x 2 ),...,"(x k ),...).Alors,si" 0 estlaloi deX 0 ,quipeutêtrearbitraire,ona P[(X 0 ,X 1 ,...,X n )=(x 0 ,x 1 ,...,x n )]="(x 0 )P(x 0 ,x 1 )···P(x n"1 ,x n 782. CHAÎNE SDEMARKOV
parconditionneme ntsuccessif,desortequ'enparticulierlaloi" n deX n estdonnée par leproduit matriciel" n 0 P n .D'unpo intdevuedual,sifestunefonction bornéesurX,vuecommeunvecteurcolonne,alors
E[f(X n+1 )|X 0 =x 0 ,...,X n =x n ]=(Pf)(x n E[f(X n n f=" 0 P n f. Notonsquelesproduitsmatriciels considérésso ntlicites mêmelorsquel'espace d'états estinfinidénom brable,puisqu'ona desbonnesbornessur lessommesde coe cientssur chaquelignedelam atricedetransi tion. Exemple.Onrepr ésenteusuellementunechaînedeMa rkovd'espaced'étatsXpar ungra pheorientéétiquetéG=(V,E)dontlessommetssont leséléments deX,etdont lesarê tesétiquetéessontlescouples (x,y)avecP(x,y)>0,lavaleurdelaprobabilité detransitio nétantl'étiquettedel'arêtex#y.Con sidéronsparexemplelachaînede Markovd'espaced' états[[1,N]],etdematricedetransition P= 1 3 11111 .11 111
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3 1 3 9 Leg rapheassociéestdessinéci-dessus, etlachaîneconsidéréeestl amarc hea léatoire surlecercle Z/NZoù,àchaq ueét ape,onaprobabilité1/3derestera umêmeendro it,et probabilité1/3desauter àgaucheo uàdro ite.Lesloismarginalesdecettec haînepeuvent êtrecalculéesco mmesuit.P ourtoutvecteurv!(C) Z/NZ ,notons