Marches aléatoires
marche aléatoire) et dans le programme de la spécialité mathématiques de Terminale ES : Les graphes probabilistes permettent d'étudier des phénomènes d'évolution simples, et de faire le lien avec les suites
Terminale S spécialité - Lycée Saint-Charles
Marches aléatoires Terminale S spécialité - Lycée Saint-Charles Patrice Jacquet - www mathxy - 2015-2016 1 Présentation
Marches aléatoires
marche aléatoire) et dans le programme de la spécialité mathématiques de Terminale ES : Les graphes probabilistes permettent d'étudier des phénomènes d'évolution simples, et de faire le lien avec les suites
SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES
2) Marche aléatoire On considère la variable aléatoire X n prenant les valeurs A, B ou C à l'étape n A, B ou C s'appelle les états de X n Par exemple, X 3 = B signifie que l'attaquant B possède le ballon après la 3e passe La suite de variables aléatoires X (n) est appelée marche aléatoire sur l'ensemble des issues {A,B,C}
DOSSIER PS 11 Thème : Marches aléatoires
Déterminer la matrice de transition M de cette marche aléatoire, les états étant pris dans l’ordre alphabétique b) Soit (a n b n c n) l’état pro ailiste de ette mar he aléatoire à l’instant n On note : X n = (a n b n) Déterminer la matrice Q telle que X n+1 = X n Q c) Montrer que, pour n entier supérieur ou égal à 1 : Qn
MARCHE ALÉATOIRE D’UN IVROGNE
PARTIE B : Avec une variable aléatoire 1) On note X la variable aléatoire qui, à toute marche aléatoire de 20 pas, associe le nombre de pas effectués à droite Justifier que cette variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 1/2 2) a) Quelle est la probabilité que cette variable aléatoire prenne la valeur 10 ?
terminale projet prog 2011 maths S spe 171586
Marche aléatoire simple sur un graphe à deux ou trois sommets Marche aléatoire sur un tétraèdre ou sur un graphe à Nsommets avec saut direct possible d’un sommet à un autre : à chaque instant, le mobile peut suivre les arêtes du graphe probabiliste ou aller directement sur n’importe quel sommet avec une probabilité constante p
RECURRENCE DE MARCHES AL´ EATOIRES´ - Free
raisonnable la probabilit´e qu’une marche al´eatoire soit dans l’´ev´enement E Cette mesure de probabilit´e est telle que, si l’´ev´enement E ne consid`ere ce qui se passe que jusqu’`a l’instant n, alors on peut effectuer du d´enombrement, comme dans la premi`ere partie
Chaînes de Markov - Université Paris-Saclay
Le graphe associé est dessiné ci-dessus, et la chaîne considérée est la marche aléatoire sur le cercle Z/NZ où, à chaque étape, on a probabilité 1/3 de rester au même endroit, et probabilité 1/3 de sauter à gauche ou à droite Les lois marginales de cette chaîne peuvent être calculées comme suit Pour tout vecteur v 2 (C)Z/NZ
Ressources pour la classe terminale générale et technologique
Ressources pour la classe terminale générale et technologique Mathématiques Série S Enseignement de spécialité Ces documents peuvent être utilisés et modifiés librement dans le cadre des activités d'enseignement scolaire, hors exploitation commerciale Toute reproduction totale ou partielle à d’autres fins est soumise à une
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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES I. Suites de matrices colonnes 1) Exemples : a) La suite
U n définie pour tout entier naturel n par U n n 2 3n+1 est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques u n et v n définies pour tout entier naturel n par u n =n 2 et v n =3n+1 . b) Soit deux suites numériques couplées u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u 0 =2 v 0 =4 et u n+1 =2u n -3v n +1 v n+1 =-u n +5v n -4On pose pour tout entier naturel n :
U n u n v nOn pose encore :
A= 2-3 -15 et B= 1 -4 . On a alors U 0 2 4 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n +B . En effet : AU n +B= 2-3 -15 u n v n 1 -4 2u n -3v n +1 -u n +5v n -4 u n+1 v n+1 =U n+1 c) Soit une suite numérique u n définie par une relation de récurrence d'ordre 2 : u 0 =2 u 1 =-1 et u n+2 =2u n+1 +3u n . On pose pour tout entier naturel n : U n u n u n+1On pose encore :
A= 01 32YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2On a alors U 0 2 -1 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n . En effet, AU n 01 32
u n u n+1 u n+1 3u n +2u n+1 u n+1 u n+2 =U n+1
2) Terme général d'une suite de matrices Propriété : Soit une suite de matrices colonnes
U n de taille p telle que pour tout entier naturel n, on a U n+1 =AU n où A est une matrice carrée de taille p. Alors, pour tout entier naturel n, on a : U n =A n U 0. Démonstration : On démontre cette propriété par récurrence. • Initialisation :
U 0 =A 0 U 0 car A 0 =I p• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :
U k =A k U 0 - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k + 1 : U k+1 =A k+1 U 0 U k+1 =AU k =AA k U 0 =AA k U 0 =A k+1 U 0• Conclusion : La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit :
U n =A n U 0. Méthode : Calculer des termes d'une suite à l'aide de matrices Vidéo https://youtu.be/62U34Kl4o1I Soit deux suites numériques couplées
u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u 0 =1 v 0 =-1 et u n+1 =3u n -v n v n+1 =-2u n +2v nCalculer
u 6 et v 6 . On pose pour tout entier naturel n : U n u n v nOn pose encore :
A= 3-1 -22 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3On a alors U 0 1 -1 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n . On alors U n =A n U 0 et donc en particulier U 6 =A 6 U 0 . Soit en s'aidant de la calculatrice : U 6 3-1 -22 6 1 -12731-1365
-27301366 1 -1 4096-4096
On en déduit que
u 6 =4096 et v 6 =-4096. II. Convergence de suites de matrices colonnes Définitions : On dit qu'une suite de matrices colonnes
U n de taille p est convergente si les p suites dont les termes sont les p coefficients de U nsont convergentes. La limite de cette suite est la matrice colonne dont les coefficients sont les p limites obtenues. Dans tous les autres cas, on dit que la suite est divergente. Exemples : Vidéo https://youtu.be/dbP7R-9Q2_s a) La suite
U n définie pour tout entier naturel n par U n n 2 3n+1 est divergente car lim n→+∞ n 2 et lim n→+∞