[PDF] EPITA 2 2017 - CONCOURS CPGE EPITA / IPSA / ESME



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Nilpotent et diagonalisable, je t’aime, moi non plus

On choisit la lettre N (resp D) pour d´esigner une matrice nilpotente (resp diagonalisable) et les minuscules idoines pour les endomorphismes canoniquement associ´es On rappelle que si n est un endomorphisme nilpotent de C p et si F est un sous-espace stable par n,





1 Dé nitions et propriétés de base - homepageswarwickacuk

montrer, et expN Iest nilpotente car une somme de matrices nilpotentes qui commutent, donc expD(expN 1) est bien nilpotente encore une fois car les deux facteurs commutent On a donc bien la décomposition de Dunford de expA, par unicité (d) Si T est une matrice triangulaire supérieure, ses itérées le sont également, et on voit di-



R´eduction des endomorphismes - unicefr

nilpotentes) Soit A une matrice nilpotente de M n(k) Il existe une matrice inversible P de GL n(k) telle que P−1AP = J N 1 0 ··· 0 0 J N 2 0 0··· J N s est une matrice diagonale par blocs, ou` les matrices J N ‘, 1 ≤‘ s sont des blocs de Jordan de taille N ‘ et de valeur propre 0 Les entiers N 1 ≥ ≥N s sont unique



I Préliminaires : endomorphismes nilpotents, trace d’un endomor-

propriété(T)rappeléeenpréliminaire Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure est nilpotente si et seulement si tous ses termes



Exo7 - Cours de mathématiques

• La matrice (de taille n p) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0 Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels 1 3 Addition de matrices Définition 3 (Somme de deux matrices) Soient A et B deux matrices ayant la même



ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE TSI - AlloSchool

On dit que la matrice carrée N est nilpotente si et seulement si 3 nEN* tel que N" = O (O est la matrice nulle et N" est le produit de N par elle-même n fois, par convention N' = N et No = I la matrice unité) Soit A une matrice de dimension quelconque, de terme général aij On pose IlAl1 = suplaij 1



Nombre dendomorphismes nilpotents sur un corps ni

La propriété importante que nous utiliserons est qu'un endomorphisme f est cyclique si et seulement si son commutant(1) se réduit à l'ensemble des polynômes en f On utilise ici un cas particulier puisqu'une matrice nilpotente d'indice n a pour polynôme minimal Xn Sur cet exemple, on peut démontrer directement la propriété sur le



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Ainsi, toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire avec des zéros sur sa diagonale 5°) Etude de la réciproque du résultat précédent a) Soit inversement une matrice triangulaire supérieure avec des zéros sur la diagonale : T = 0 t 12 t 1 n 0 0 ª ª t n-1 n 0 0 0 Son polynôme caractéristique est



Y j Y AGRÉGATIONINTERNEDEMATHÉMATIQUES Y j Y

(b)La propriété à démontrer est triviale pour n= 1 et démontrée dans la première partie pour n= 2 On procède par récurrence sur n 2, on suppose la propriété vraieaurangn 1 SoitA2M n(R) detracenulle Avec(5-a)AestsemblableàunematriceB= ((b ij)) oùb nn 0 ;

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3°) Construction d'une base adaptée à un endomorphisme nilpotent : cas où n=3a) Si f est nilpotent d'indice p=3 et si f2He1L¹0, il résulte de la question 2 que la familleIf2He1L,fHe1L,e1M est libre, et donc forme une base de R3.Dans cette base, la matrice de f est la suivante, triangulaire avec des zéros sur la diagonale :M=010001000.b) Si f est nilpotent d'indice 2, on a f2=fÎf=0, donc ImHfLÕKerHfL. Il en résulte que dimHImHfLL§dimHKerHfLL, et comme f est non nul (sinon il serait nilpotentd'indice 1), on a plus précisément 1§dimHImHfLL§dimHKerHfLL. Comme le théorème du rang donne dimHImHfLL+dimHKerHfLL=3, l'unique possibilité estd'avoir dimHImHfLL=1 et dimHKerHfLL=2.Comme f2He1L=0, on voit que fHe1L eKerHfL et comme c'est un vecteur non nul de KerHfLon peut compléter fHe1L en base de KerHfL à l'aide d'un second vecteur e3.Montrons maintenant que la famille HfHe1L,e1,e3L est libre.Partons d'une combinaison linéaire nulle : afHe1L+be1+ge3=0.Comme f2=0, on a bfHe1L=0 en composant par f, et comme fHe1L¹0, on a b=0.Il reste donc afHe1L+ge3=0 et comme il s'agit d'une base de KerHfL, donc d'une famillelibre, on obtient a=g=0.Ainsi, la famille HfHe1L,e1,e3L est libre, et donc forme une base de R3.Dans cette base, la matrice de f est la suivante, triangulaire avec des zéros sur la diagonale :M=010000000.4°) Construction d'une base adaptée à un endomorphisme nilpotent : cas généralOn considère dans cette question un endomorphisme nilpotent f d'indice p de Rn. a) Lorsque xeKerIfk-1M, on a fk-1HxL=0, donc fkHxL=0, donc xeKerIfkM.Pour 1§k§p, on a donc l'inclusion KerIfk-1MÕKerIfkM.De plus, le vecteur fp-kHe1L appartient à KerIfkM car fkIfp-kHe1LM=fpHe1L=0.Mais il n'appartient pas à KerIfk-1M car fk-1Ifp-kHe1LM=fp-1He1L¹0.Ainsi, l'inclusion du sous-espace KerIfkM dans le sous-espace KerIfk-1M est stricte.b) Si xeKerIfkM, on a fkHxL=0, donc fk-1HfHxLL=0, donc fHxL eKerIfk-1M.Ainsi, l'image par f du sous-espace KerIfkM est incluse dans KerIfk-1M.c) On considère une base 1 de KerHfL. Comme KerHfL est strictement inclus dans KerIf2Mon peut compléter la famille libre 1 en base de KerIf2M à l'aide d'une famille 2.Plus généralement, supposons que 1'...'k-1 est une base de KerIfk-1M. CommeKerIfk-1M est strictement inclus dans KerIfkM, on peut compléter de même la famille libre1'...'k-1 en base de KerIfkM à l'aide d'une famille k.Ainsi donc, 1'2'...'p forme une base de KerHfpL=Rn.d) Comme l'image par f du sous-espace KerIfkM est incluse dans le sous-espace KerIfk-1M,les vecteurs de 1 ont une image nulle, ceux de 2 ont une image dans KerHfL=VectH1L,et à la fin, ceux de p ont une image dans KerIfp-1M=VectI1'...'p-1M, de sorteque la matrice par blocs de f dans la base 1'2'...'p s'écrit comme suit :6

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