Trigonalisation et diagonalisation des matrices
de relier des invariants d’une matrice, tels que sa trace et son determinant,´ a ses valeurs propres ` Si une matrice A est trigonalisable, semblable `a une matrice triangulaire sup ´erieure T, alors les valeurs propres de A etant les racines du polyn´ omeˆ p A, sont aussi les coefficients de la diagonale de la matrice T
Fiche technique 5 - Diagonalisation, trigonalisation
• Pour trigonaliser une matrice, il n’y a pas de méthode globale à connaître a priori • La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice
Trigonalisation - Ensah-community
Par la recette dite des « tâtonnements successifs »ou saisi d’une inspiration venue d’en haut, on peut proposer A = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 et B = 1 0 0 0 1 0 0 1 1 On vérifie que A et B commutent et ne sont ni l’un ni l’autre polynôme en l’autre car tout polynôme en une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire
Trigonalisation
Dans ce cas, il est facile de trigonaliser On commence par se calculer une famille de n −1 vecteurs propres indépendants(possibled’aprèsleshypothèses),etoncomplèteenunebaseE deRn en«rajoutant »unvecteur à lafin «Dans »cettebase, la matrice sera triangulaire Exemple : A = 9 1 6 − 7 1 −6 −10 1 −7 det(A−λI3)= ¯ ¯ ¯
Diagonalisation et trigonalisation
De nition 4 1 1) On dit qu’une matrice A= (a ij) de M n(K) est triangulaire sup erieure si a ij= 0 pour tout i>j 2) On dit qu’un endomorphisme uest "triangulable" (ou "trigonalisable") s’il existe une base dans laquelle la matrice de uest triangulaire sup erieure En particulier, etant donn e une base B, uun endomorphisme et A= Mat
Une matrice est trigonalisable ssi son polyn^ome caract
Une matrice est trigonalisable ssi son polyn^ome caract eristique est scind e Une m ethode e cace pour trigonaliser une matrice est d’utiliser les sous es-paces caract eristiques Si ˜ A(X) = Q k i=1 (X a i) i le sous espace caract eristique N i est le noyau de (A a iI) i Le sous espace propre E A(a i), qui est le noyau de (A a iI) est uns
L2 Math ematiques Math ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II Cours
(1) Toute matrice carr ee complexe d’ordre 1 s" ecrit M= (a 1;1d Elle est donc trigonalisble (2) Soit n 1 x e Supposons que toute matrice complexe d?ordre n?1 soit trigonalis-able Consid erons une matrice M 2M nn+ 1(C) Nous avons vu, dans le cahpitre pr ec edent, que toute matrice complexe d’ordre padmettait pvaleurs propres distinctes
RÉDUCTION (1) 1 Diagonaliser ou, à défaut, trigonaliser, les
Déterminer une base de R3 dans laquelle la matrice de u est une matrice compagnon b Soit 1 2 0 2 2 3 2 2 1 A − = − − Réduire A, et en déduire le commutant de A (i e l'ensemble des matrices qui commutent avec A), les puissances de A, ainsi que d'éventuelles racines carrées de A 3 On considère la matrice 0 1 0 1 1 0 a A a a =
Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1
Une matrice A (2,2), ou un endomorphisme ϕ, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n’est pas diagonalisable a une valeur propre double λ Proposition 2 2 Sous l’hypoth`ese pr´ec´edente il existe P telle que P−1AP = J 2(λ) On dira qu’on a jordanis´e la matrice Une base de Jordanisation est obtenue de la mani
CORRECTION DU TD 3 - TSE
2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est : 3) Pour tout , on en déduit que : On doit donc chercher la puissance de la matrice ; pour cela, on la décompose en : où est une matrice nilpotente d’indice Comme les
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