Trigonalisation et diagonalisation des matrices
de relier des invariants d’une matrice, tels que sa trace et son determinant,´ a ses valeurs propres ` Si une matrice A est trigonalisable, semblable `a une matrice triangulaire sup ´erieure T, alors les valeurs propres de A etant les racines du polyn´ omeˆ p A, sont aussi les coefficients de la diagonale de la matrice T
Fiche technique 5 - Diagonalisation, trigonalisation
• Pour trigonaliser une matrice, il n’y a pas de méthode globale à connaître a priori • La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice
Trigonalisation - Ensah-community
Par la recette dite des « tâtonnements successifs »ou saisi d’une inspiration venue d’en haut, on peut proposer A = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 et B = 1 0 0 0 1 0 0 1 1 On vérifie que A et B commutent et ne sont ni l’un ni l’autre polynôme en l’autre car tout polynôme en une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire
Trigonalisation
Dans ce cas, il est facile de trigonaliser On commence par se calculer une famille de n −1 vecteurs propres indépendants(possibled’aprèsleshypothèses),etoncomplèteenunebaseE deRn en«rajoutant »unvecteur à lafin «Dans »cettebase, la matrice sera triangulaire Exemple : A = 9 1 6 − 7 1 −6 −10 1 −7 det(A−λI3)= ¯ ¯ ¯
Diagonalisation et trigonalisation
De nition 4 1 1) On dit qu’une matrice A= (a ij) de M n(K) est triangulaire sup erieure si a ij= 0 pour tout i>j 2) On dit qu’un endomorphisme uest "triangulable" (ou "trigonalisable") s’il existe une base dans laquelle la matrice de uest triangulaire sup erieure En particulier, etant donn e une base B, uun endomorphisme et A= Mat
Une matrice est trigonalisable ssi son polyn^ome caract
Une matrice est trigonalisable ssi son polyn^ome caract eristique est scind e Une m ethode e cace pour trigonaliser une matrice est d’utiliser les sous es-paces caract eristiques Si ˜ A(X) = Q k i=1 (X a i) i le sous espace caract eristique N i est le noyau de (A a iI) i Le sous espace propre E A(a i), qui est le noyau de (A a iI) est uns
L2 Math ematiques Math ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II Cours
(1) Toute matrice carr ee complexe d’ordre 1 s" ecrit M= (a 1;1d Elle est donc trigonalisble (2) Soit n 1 x e Supposons que toute matrice complexe d?ordre n?1 soit trigonalis-able Consid erons une matrice M 2M nn+ 1(C) Nous avons vu, dans le cahpitre pr ec edent, que toute matrice complexe d’ordre padmettait pvaleurs propres distinctes
RÉDUCTION (1) 1 Diagonaliser ou, à défaut, trigonaliser, les
Déterminer une base de R3 dans laquelle la matrice de u est une matrice compagnon b Soit 1 2 0 2 2 3 2 2 1 A − = − − Réduire A, et en déduire le commutant de A (i e l'ensemble des matrices qui commutent avec A), les puissances de A, ainsi que d'éventuelles racines carrées de A 3 On considère la matrice 0 1 0 1 1 0 a A a a =
Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1
Une matrice A (2,2), ou un endomorphisme ϕ, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n’est pas diagonalisable a une valeur propre double λ Proposition 2 2 Sous l’hypoth`ese pr´ec´edente il existe P telle que P−1AP = J 2(λ) On dira qu’on a jordanis´e la matrice Une base de Jordanisation est obtenue de la mani
CORRECTION DU TD 3 - TSE
2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est : 3) Pour tout , on en déduit que : On doit donc chercher la puissance de la matrice ; pour cela, on la décompose en : où est une matrice nilpotente d’indice Comme les
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Diagonalisation et trigonalisation
Algebre et analyse fondamentales - Paris 7 - O. Bokanowski - Septembre 2015 Pour ce cours il est important de conna^tre le theoreme donnant les divers criteres de diago- nalisation des endomorphismes, (savoir calculer les sous-espaces propres d'un endomorphisme), le theoreme de Caylay-Hamilton, le theoreme de trigonalisation, et de savoir les pratiquer sur des exemples de taille 2, 3, eventuellement 4. On ne demande pas de conna^tre les demonstrations de ces theoremes, mais par contre de savoir les appliquer (diagonaliser ou trigonaliser sur des exemples simples de taille4). En complement (hors programme) : le theoreme de Jordan en rapport avec la trigonalisation.1 Valeurs propres, vecteurs propres et polyn^ome caracteristique
Edesigne un espace vectoriel de dimension nien, le corps estK=RouC. Siu2 L(E) on notera en generalA=MatB(u) la matrice deudans la base canonique. Denition. 1.1.Soitu2 L(E). On dit que2Kest valeur propre deusi9x2E,x6= 0, t.q. u(x) =x. On note(u)l'ensemble des valeurs propres deu. Denition. 1.2.Pour2(u), on noteEle sous espace propre correspondant E x2E; u(x) =xKer(uId)
On note queEest un sous-espace vectoriel stable paru:u(E)E. (Pour =2(u) on auraitE=f0g.) Denition. 1.3.1) On appelle polyn^ome caracteristique de la matriceAle polyn^ome PA(x) =det(AxI):
2) On notera aussi ce polyn^omePu(x).
La denition dePu(x) ne depend pas du choix de la base : siA=PBP1alorsPA(x) = P B(x). Premieres proprietes :PA(x)2Kn[x],coef(xn) = (1)n,coef(xn1) = (1)n1Tr(A), coef(1) =det(A).Proposition. 1.4.valeur propre deA,PA() = 0
Proposition. 1.5.Les sous espaces propresEisont en somme directe : pour tout(1;:::;r) distincts dans(u), E1++Ep=E1 Ep:
Exemple 1:A=aIaveca2K:PA(x) = (ax)n.
Exemple 2: SoitRmatrice de la rotation d'angle:
R =cos()sin() sin() cos() 1 On calculjRxIj= (xcos())2+sin()2. Pour sin()6= 0, il n'y a pas de valeur propre dansR. par contre on trouve dansCles valeurs propresei, et les sous espace propres correspondants E ei=C1 i Exemple 3: Soiturepresente dans la base canonique par la matrice suivante : S =cos() sin() sin()cos()On trouve deux valeurs propres1. Soitv1=cos(=2)
sin(=2) , etv2=sin(=2) cos(=2) . On constate queE1=V ect(v1) etlE1=V ect(v2). Dans la baseF= (v1;v2),MatF(u) =1 0 01 . On constate de plus que la baseFest orthonormee. Cette matrice est la symetrie orthogonale par rapport a la droite vectorielle d'angle=2. Denition. 1.6(Sous-espaces stables).SoitFun sev deE. On dit queFest stable parusi u(F)F. On note alorsv=ujF2 L(F)l'endomorphisme deFt.q.v(x) =u(x)8x2F.Proposition. 1.7.Siu(F)FalorsPujF(x)divisePu(x).
Preuve :Siu(F)F, on peut choisir une base (f1;:::;fp) deFet la completer par f p+1;:::;fnpour obtenir une base deE. On constate alors que la matrice deudansFest triangulaire superieure par blocs : MatF(u) =B11B12
0B22 ouB112Mp(K),B222Mnp(K). Le blocB11est la representation matricielle de l'operateur v=ujFdans la base (f1;:::;fp). En particulier,9P2GLn(K),A=PB11B12
0B22 P 1 Dans ce cas on voit quePA(x) =PB11(x)PB22(x), etPB11(x)divisePA(x).2 DansF=E, de dimension dim(E), on constate quev=ujF=IdsurF, et donc que P v(x) = (x)dim(E). Corollaire. 1.8.Pour tout2(u),1dim(E)(), ou()est la multiplicite de dansPu(x). Denition. 1.9(Sous espace monogene).Pourx6= 0dansE, on note hxi=V ect(x;u(x);:::;uk(x);:::): Remarque. 1.10.On note qu'il existe un premier entierk1t.q.(x;u(x);:::;uk1(x))libre et(x;u(x);:::;uk(x))liee. Alors hxi=V ect(x;u(x);:::;uk1(x)): 2 De plus,F=hxiest un sev stable paru. On auk(x)2F, donc9(0;:::;k1)t.q. u k(x) =k1X i=0 iui(x): La matrice deudans la baseB= (uk1(x);uk2(x);:::;u(x);x)s'ecrit alorsB=MatB(u) =2
6666664
k11 0:::0 k20......... ......1 0 0 100:::0 03
7777775
et un calcul simple donne det(BI) = (1)k(kX ik1 ii)2 Polyn^omes d'endomorphisme
Denition. 2.1(Polynome d'endomorphisme).Soit un polynomeP2Kn[X]:P(x) =X
ia ixi=anxn++a1x+a0; ouai2K. On designe parP(u)l'application deL(E)t.q.P(u) =X
ia iui=anun++a1u+a0Id: Par convention on a doncu0=Id. De m^eme pourAmatrice on denitA0=IetP(A) =X
ia iAi=anAn++a1A+a0I:Proposition. 2.2.Pour tous polynomesP;Qon a
(PQ)(u) =P(u)oQ(u) =Q(u)oP(u):Theoreme. 2.3(Caylay-Hamilton).Pu(u) = 0.
Preuve : soitx6= 0. On montre que surF=hxi, sous espace stable paru,Pv(u)(x) = P v(v)(x) = 0 ouv=ujF, en utilisant la remarque 1.10. MaisPvdivPu:9Q2K[x],Pu(x) = Q(x)Pv(x). DoncPu(u)(x) =Q(u)oPv(u)(x) = 0. AinsiPu(u) est l'endomorphisme nul.2 Remarque : on montre aussi qu'il existe un polyn^ome de plus petit degre, unitaire, qui annule u(appele le polynome minimal). Tout polyn^ome qui annuleuest necessairement un multiple du polyn^ome minimal. Remarque : une preuve plus directe pourrait aussi s'obtenir en utilisant le fait queuest trigonalisable dansC(voir partie trigonalisation). 33 Diagonalisation
Denition. 3.1(Endomorphismes diagonalisables).
On dit qu'un endomorphismeuest diagonalisable s'il existeE= (e1;:::;en)une base deE, et des scalaires1;:::;ndansKtels que8i; u(ei) =iei:
On dira de m^eme qu'une matriceAest diagonalisable si elle est semblable a une matrice diagonale :9P2GLn(K), et9diagonale,A=PP1:
On a les equivalences
udiagonalisable,il existe une base de vecteur propres pouru(1) ,il existe une baseEt.q.MatE(u) diagonale.(2)Theoreme. 3.2.Soitu2 L(E). On a equivalence entre
(i)uest diagonalisable. (ii)Il existeQ2K[x], scinde, a racines simples, tel queQ(u) = 0. (iii)91;:::;rvaleurs propres deu, distintes, t.q.E=ri=1Ei. (On dit que "Eest la somme des sous-espaces propres.") (iv)Puest scinde et81ir,dim(Ei) =i, ouiest la multiplicite deidansPu. Corollaire. 3.3.dim(E) =netuadmetnvaleurs propres distinctes)udiagonalisable.Exercice.(i) Montrer queA=2 1
1 1 est diagonalisable, la diagonaliser. (ii) Montrer queA=31 1 1 n'est pas diagonalisable. (iii) Pour quelsa2Rla matrice2a 0 2 est-elle diagonalisable? Meme question pour1a 0 24 Trigonalisation
Denition. 4.1.1) On dit qu'une matriceA= (aij)deMn(K)est triangulaire superieure si a ij= 0pour touti > j.2) On dit qu'un endomorphismeuest "triangulable" (ou "trigonalisable") s'il existe une base
dans laquelle la matrice deuest triangulaire superieure. En particulier, etant donne une baseB,uun endomorphisme etA=MatB(u), alorsuest trigonalisable si, et seulement si, il existeTtriangulaire superieure etP2GLn(K) telles queA=PTP1:
Theoreme. 4.2.SoitAune matrice deMn(K),K=RouC. On suppose quePA(x)est scinde.AlorsAest triangulable.
4 (Preuve par recurrence). DansCle polyn^ome caracteristique est toujours scinde, et donc toute matrice est trigona- lisable. DansRce n'est pas toujours le cas. Ex :A=0 1 1 0 ,A=Ravec sin()6= 0, A=a b b a avecb6= 0, etc. On peut preciser ce theoreme (voir le theoreme de Jordan).Exercice.Trigonaliser la matriceA=31
1 1 . (On pourra m^eme trouver une baseBdans laquelleMatB(A) =1 1 0 15 *Complement : Sous-espaces caracteristiques
Theoreme. 5.1(Decomposition en sous-espaces caracteristiques).On suppose que le polynome ca- racteristiquePuest scinde, notonsPu(x) = (1)nQr i=1(xi)i. Alors E=rM i=1F i ouFi=Ker(ui1)i.Fiest appele le sous espace caracteristique associe a la valeur proprei. Application :SiPuest scinde alorsuest trigonalisable parrblocs de taillesiavec dans chaque bloci, sur la diagonale, uniquement la m^eme valeur proprei. En eet, on utilise queE=iFi, avecFiqui est stable paru. Dans chaqueFion peut trouver une base qui trigonaliseujFi. De plus, dansFi,
siv=ui1 alorsvi= 0 (par denition deFi). Ainsi 0 est la seule valeur propre dev, puisiest la seule valeur propre deu(dansFi). On en deduit le resultat. Pour la demonstration du theoreme de decomposition, on commence par demontrer que lesFisont en somme directe, et stables paru: