[PDF] Fiche technique 5 - Diagonalisation, trigonalisation

Trigonalisation et diagonalisation des matrices

de relier des invariants d’une matrice, tels que sa trace et son determinant,´ a ses valeurs propres ` Si une matrice A est trigonalisable, semblable `a une matrice triangulaire sup ´erieure T, alors les valeurs propres de A etant les racines du polyn´ omeˆ p A, sont aussi les coefficients de la diagonale de la matrice T

Fiche technique 5 - Diagonalisation, trigonalisation

• Pour trigonaliser une matrice, il n’y a pas de méthode globale à connaître a priori • La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice

Trigonalisation - Ensah-community

Par la recette dite des « tâtonnements successifs »ou saisi d’une inspiration venue d’en haut, on peut proposer A = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 et B = 1 0 0 0 1 0 0 1 1 On vérifie que A et B commutent et ne sont ni l’un ni l’autre polynôme en l’autre car tout polynôme en une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire

Trigonalisation

Dans ce cas, il est facile de trigonaliser On commence par se calculer une famille de n −1 vecteurs propres indépendants(possibled’aprèsleshypothèses),etoncomplèteenunebaseE deRn en«rajoutant »unvecteur à lafin «Dans »cettebase, la matrice sera triangulaire Exemple : A = 9 1 6 − 7 1 −6 −10 1 −7 det(A−λI3)= ¯ ¯ ¯

Diagonalisation et trigonalisation

De nition 4 1 1) On dit qu’une matrice A= (a ij) de M n(K) est triangulaire sup erieure si a ij= 0 pour tout i>j 2) On dit qu’un endomorphisme uest "triangulable" (ou "trigonalisable") s’il existe une base dans laquelle la matrice de uest triangulaire sup erieure En particulier, etant donn e une base B, uun endomorphisme et A= Mat

Une matrice est trigonalisable ssi son polyn^ome caract

Une matrice est trigonalisable ssi son polyn^ome caract eristique est scind e Une m ethode e cace pour trigonaliser une matrice est d’utiliser les sous es-paces caract eristiques Si ˜ A(X) = Q k i=1 (X a i) i le sous espace caract eristique N i est le noyau de (A a iI) i Le sous espace propre E A(a i), qui est le noyau de (A a iI) est uns

L2 Math ematiques Math ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II Cours

(1) Toute matrice carr ee complexe d’ordre 1 s" ecrit M= (a 1;1d Elle est donc trigonalisble (2) Soit n 1 x e Supposons que toute matrice complexe d?ordre n?1 soit trigonalis-able Consid erons une matrice M 2M nn+ 1(C) Nous avons vu, dans le cahpitre pr ec edent, que toute matrice complexe d’ordre padmettait pvaleurs propres distinctes

RÉDUCTION (1) 1 Diagonaliser ou, à défaut, trigonaliser, les

Déterminer une base de R3 dans laquelle la matrice de u est une matrice compagnon b Soit 1 2 0 2 2 3 2 2 1 A − = − − Réduire A, et en déduire le commutant de A (i e l'ensemble des matrices qui commutent avec A), les puissances de A, ainsi que d'éventuelles racines carrées de A 3 On considère la matrice 0 1 0 1 1 0 a A a a =

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1

Une matrice A (2,2), ou un endomorphisme ϕ, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n’est pas diagonalisable a une valeur propre double λ Proposition 2 2 Sous l’hypoth`ese pr´ec´edente il existe P telle que P−1AP = J 2(λ) On dira qu’on a jordanis´e la matrice Une base de Jordanisation est obtenue de la mani

CORRECTION DU TD 3 - TSE

2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est : 3) Pour tout , on en déduit que : On doit donc chercher la puissance de la matrice ; pour cela, on la décompose en : où est une matrice nilpotente d’indice Comme les

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PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. - 1 -

Diagonalisation, trigonalisation.

Diagonalisation de matrices.

· Le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces propres de

la matrice et en déterminer des bases.

· Sauf théorème préliminaire (polynôme annulateur scindé à racines simples, matrice symétrique

réelle, etc...), la diagonalisabilité d"une matrice en pratique s"obtient après le calcul des valeurs

propres et des sous-espaces propres et le constat fait sur la dimension de ces espaces.

· Pour un confort de vocabulaire (et de compréhension), il peut être utile d"avoir une vision

vectorielle du problème et d"évoquer l"endomorphisme canoniquement associé à la matrice (dans :

E = n, ou n suivant le cas).

Dans les exemples ci-dessous, la matrice sera notée

A et l"endomorphisme canoniquement

associé u. exemple 1 : diagonaliser : 9 99

200011011

A Les valeurs propres de A sont données par son polynôme caractéristique

Ac, qui vaut :

2)2.()(-=xxxAc.

Donc :

==)()(ASpuSp { 2,0 }, avec 2 valeur propre double.

Puis :

9 99
9 99
011

0VectAE, et :

9 99
9 99
9 99
100
011

2VectAE, et A est diagonalisable.

· diagonalisation vectorielle :

Dans la base :

B = (321,,eee), de 3, avec : )0,1,1(1-=e, )0,1,1(2=e, )1,0,0(3=e, la matrice représentative de u est diagonale et vaut : matB))) 9 99

200020000

)(Du : u est aussi diagonalisable.

Si on note :

9 99

100011011

P, alors la formule de changement de base donne : PAPD..1-=.

On a donc bien diagonalisé

A.

Remarque :

P est ici clairement une matrice de passage, les bases utilisées (et l"espace de référence 3) étant

bien identifiées.

· diagonalisation matricielle directe :

On pose :

9 99

100011011

P, et : PAPD..

2000200001-=

9 99
PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. - 2 -

P peut ici être interprétée comme la matrice de passage de la base canonique de M3,1(), à la

base 9 99
9 99
9 99
9 99
100
011 011

Remarques :

la nouvelle base de 3 (ou la matrice P) permettant de diagonaliser u n"est pas unique.

· la similarité des objets manipulés fait qu"on identifiera couramment les espaces M3,1() avec

3, tout comme les deux bases évoquées au dessus, et enfin A et u.

Trigonalisation de matrices.

· Pour trigonaliser une matrice, il n"y a pas de méthode globale à connaître a priori.

· La trigonalisabilité d"une matrice s"obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le

constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice.

· Si la matrice est considérée comme matrice complexe, elle est donc toujours trigonalisable.

· On verra les différentes situations pouvant se présenter pour une matrice 3´3. Dans les exemples ci-dessous, on continuera à noter

A la matrice étudiée et u l"endomorphisme

canoniquement associé à A (en pratique, il peut être nécessaire de préciser s"il s"agit de l"endomorphisme de :

E = n, ou de n canoniquement associé à A).

exemple 2 : A a deux valeurs propres, l"une simple, l"autre double et A n"est pas diagonalisable.

Trigonaliser la matrice :

9 99

023021113

A

On trouve (et on factorise)

Ac en ajoutant toutes les colonnes à la première :

2)2).(1()(--=xxxAc.

Les espaces propres de

A sont :

9 99
9 99
111

1VectAE, et :

9 99
9 99
-=110

2VectAE.

A n"est pas diagonalisable.

· Trigonalisation " standard » de A :

Si on choisit :

)1,1,1(1=e, )1,1,0(2-=e, et 3e formant avec les deux premiers une base de 3, alors l"endomorphisme u a pour matrice dans cette nouvelle base : 9 99

200*20*01

"A, puisque la trace de "A étant égale à celle de A, elle vaut 5.

On choisit par exemple : )0,1,1(

3=e, de telle sorte que : B = (321,,eee) soit une base de 3, et :

233.2)1,1,2()(eeeu-==.

PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. - 3 -

On en déduit que : matBTu=

9 99

200120001

, et avec : 9 99

011111101

P , on a : PAPT..1-=. · Trigonalisation de A en réduite de Jordan : On conserve les mêmes deux premiers vecteurs (propres de

A) dans cet ordre, et il est possible

de trouver

3"e dans 3 de telle sorte que :

B" = (321",,eee), soit une base de 3, et : matB"))) 9 99

200120001

)(u

Le vecteur : ),,("

3zyxe=, s"obtient en résolvant : 323".2)"(eeeu+=, soit en traduction

matricielle dans la base canonique, en résolvant le système : 9 99
9 99
9 99
1 10 .2. zyx z yx A

On trouve alors : 1,1

-=+-=zyx, ce qui laisse encore le choix.

On peut proposer alors : )0,1,1("

3--=e, la famille : B" = (321",,eee), est bien libre et :

matB""

200120001

)(Tu= 9 99
, soit avec : 9 99

011111101

"P , alors : "".."1TPAP=-. exemple 3 : A a une valeur propre triple, et un espace propre associé de dimension 2.

Trigonaliser la matrice :

9 99

210100001

A

En développant, on trouve :

3)1()(-=xxAc, puis on détermine l"espace propre associé à cette

valeur propre triple et on trouve : 9 99
9 99
9 99
110
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