Les outils mathématiques de la mécanique quantique
Les outils mathématiques de la mécanique quantique Équation de Schrödinger pour un système quantique quelconque —un hamiltonien réaliste serait représenté par h H^ i = 2 4 "K K +" 3 5 où K est un nombre réel On dit que K couple les états"content" et "pas content" L’état fondamental, dont l’énergie est 2 p
Introduction `a la m´ecanique quantique
quantique La particule quantique ne peut pas ˆetre parfaitement localis´ee dans l’espace r´eel et avoir en mˆeme temps une vitesse bien d´efinie (ii) En physique classique, pour une particule donn´ee soumise `a une force donn´ee, les conditions initiales ~x(0) et ~v(0) d´eterminent compl`etement l’´evolution du syst`eme aux
Ordinateur quantique: rêves et réalité
Evolution unitaire pour "calculer" f Mesure des n derniers qubits: obtention du résultat Tout calcul effectué par une machine de Turing classique peut aussi être effectué par un ordinateur quantique e1,e2 ,L,en →U e1 ,e2 ,L,en e = 0,1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 1, , ,, , ,, , , L L L = = = n − = N a ,0 U → a ,f (a ) a ,0 1 2 b0 + 1 g
Physique et Mathématiques - univ-toulouse
influences mathématiques peuvent se révéler d’une importance capitale, comme ce fut le cas pour la majorité des exploits extraordinaires de la Physique du XXe siècle, l’équation de Dirac pour l’électron, la mécanique quantique et la relativité générale d’Einstein Mais dans tous les cas, ce
LA PHYSIQUE QUANTIQUE À NOTRE ÉCHELLE
quantique ou dans la même configuration À l’inverse, les bosons, dont les photons ou les atomes d’hélium fournissent deux exemples, ont un comportement grégaire: ils tendent à s’accumuler dans le même état quantique L’effet de l’indiscernabilité, de type répulsif pour les fermions, attractif pour les bosons, se superpose
Exo7 - Cours de mathématiques
6 Montrer que 1=¯z= z=jzj2 (pour z 6=0) 2 Racines carrées, équation du second degré 2 1 Racines carrées d’un nombre complexe Pour z 2C, une racine carrée est un nombre complexetel que2 = z Par exemple si x 2R +, on connaît deux racines carrées : p x, p x Autre exemple : les racines carrées de 1 sont i et i Proposition 3
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Les outils mathématiques de la mécanique quantique Les outils mathématiques de la mécanique quantique Emmanuel FromagerInstitut de Chimie de Strasbourg - Laboratoire de Chimie Quantique -
Université de Strasbourg /CNRS
ECPM, Strasbourg, France
ECPM, Strasbourg, France
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Les outils mathématiques de la mécanique quantique dérivées partielles où l"énergieEet la fonction d"onde'(r)sonttoutes deux inconnues : ~22mr2'(r) +V(r)'(r) =E'(r)Dif ficile,a priori, de résoudre une telle équation de manière générale, d"où ces questions :
(1) Peut-on trouver une solution analytique ?Existe-t-il toujours des solutions ?
(2) La quantitéEest interprétée comme une énergie : est-on sûr que seules des valeursréelles de
Eont une solution'(r)associée ? Ce n"est en effet pas évident de donner un sens physique à une
énergie complexe ...
(3) Cette formulation n"est pas assez général e (elle ne permet pour l"instant de décrir equ"une seule généralisable à n"importe quel système quantique ?ECPM, Strasbourg, FrancePage 2 Les outils mathématiques de la mécanique quantiqueIntr oductiond"
opérateurs agissant sur les fonctions d"onde : f^O7!^Ofoùf:r7!f(r) ^Of:r7!Of(r)Par exemple
^T=~22mr2!^Tf(r) =~22mr2f(r)V=V(r) !^V f(r) =V(r)f(r)
^H'(r) =E'(r)où ^H=^T+^V opérateurhamiltonienAnalogie avec une
équation aux valeurs pr opres
: [A]W=Woù, par exemple, [A] =2 4 3 5 etW=2 4 w1 w 235 .W ! f'(r)gr2R3 !E [A] !^HECPM, Strasbourg, FrancePage 3 Les outils mathématiques de la mécanique quantique
Valeur et vecteur propres
-Définition: unvecteur propreWde la matrice[A]est un vecteur colonnenon nultel que [A]W=W oùest un nombre (réel ou complexe) que l"on appellevaleur pr opre. -Déterminationde: en notant[1] =2 4 1 0 0 13 5 la matrice identité, il vient [A][1] W= 0.Nous en déduisons que
[A][1] n"est pas inversible sinon [A][1] 1 [A][1]W= 0 =W absurde !
de sorte quedet [A][1] = 0-Dans notr eexemple = ()22= 0!=+ou=ECPM, Strasbourg, FrancePage 4 Les outils mathématiques de la mécanique quantique -DéterminationdeW: [A]W+= (+)W+!W+=w+2 4 1 13 5 [A]W= ()W!W=w2 4 1 13 5 oùw+etwsont deux nombres complexes non nuls quelconques.Un vecteur colonne W=2
4 w1 w 235 est la r eprésentation d"un vecteur !w=w1!u1+w2!u2dans une base donnée n!u1;!u2o La r eprésentationchange si l"on utilise une autr ebase mais le vecteur reste le même!
Par exemple, en posant
!u01=!u1+!u2et!u02=!u1!u2, w=w12 u01+! u02 +w22 u01! u02 !W0=2 4 (w1+w2)=2 (w1w2)=23 5ECPM, Strasbourg, France
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Les outils mathématiques de la mécanique quantique -Considérons un espace vectoriel "abstrait"ENde dimension quelconqueN(qui n"a rien à voir avec l"espace réel à trois dimensions) dont une base est notée n!uio i=1;N . Tout vecteur!wdeENpeut se décomposer dans cette base discrète w=w1!u1+w2!u2+:::+wN!uN=NX i=1w i!uiNous adoptons désormais les
notations de Dirac : tout vecteur !vde cet espace "abstrait" sera noté jviet appelé "ketv". On notera ainsijwitout élément (ket donc) deENet on écrira jwi=NX i=1w ijuii vecteur colonneWet l"ensemble des valeurs'(r)que prend la fonction d"onde lorsquervarie dansR3. jwi W=2 6666664w
1 w 2 w N3 7777775 ! f'(r)gr2R3! j'i=?ECPM, Strasbourg, FrancePage 6
Les outils mathématiques de la mécanique quantique Cas d"un espace E1de dimensioninfinie et de base continue fjuig2R:8jwi 2 E1;jwi=Z
+1 1 dw ()jui La fonction w()représentele ket jwidans la basefjuig2R. Cas d"une particule se déplaçant sur l"axe des x: on peut construire, à partir de la fonction d"onde'(x)décrivant la particule, le ket j'i=Z +1 1 dx' (x)juxi: Dans la suite on notera simplementjxi=juxile ket que l"on associera à l"état quantique"la particule est à la positionx".En mécanique quantique
les kets décrivent des états quantiques . Il est donc usuel d"employer le mot "état" au lieu du mot "ket".ECPM, Strasbourg, FrancePage 7 Les outils mathématiques de la mécanique quantique Espace des états quantiques et représentationjriConstr uctiond"un espace vectoriel
décrivant les états possibles de la particule : on note jx;y;zi=jri le ket décrivant l"état "la particule est à la positionr". espace de dimension infinie dans lequel on passe continûment d"un vecteur (ou ket) de base à l"autre.Étant donnée une fonction d"onde '(r)décrivant la particule, le ketj'ipeut être construit
comme suit j'i=Z R3dr'(r)jriECPM, Strasbourg, FrancePage 8
Les outils mathématiques de la mécanique quantique Espace des états quantiques et représentationjri La fonction d"onde calculée en rest alors interprétée comme la composante du ketj'iselon le ket de basejri. En d"autres termes,la fonction d"onde est une r eprésentationdu ket j'iqui existe donc indépendamment de la base et que nous appellerons tout simplementétat quantique
de la particuleEn résumé,
jwi=NX i=1w ijuii !j 'i=Z R3dr'(r)jri
N X i=1 !Z R 3dr W=2 6666664w
1 w 2 w N3 7777775 ! f'(r)gr2R3ECPM, Strasbourg, FrancePage 9
Les outils mathématiques de la mécanique quantique Opérateur linéaire et représentation matricielleUn opérateur
^Ade l"espace vectorielENtransforme un ket quelconquejwideENen un autre ket deENnoté^Ajwi. Dans la suite, tous les opérateurs que nous considér eronsser ont linéair es , c"est-à-dire qu"ils vérifient les relations suivantes : 8 jvi2 E N;8jwi2 E N;^A jvi+jwi =^Ajvi+^Ajwi;82C;8jwi2 E N;^A
jwi =^Ajwi:Du fait de sa linéarité,
si l"on sait comment ^Aagit sur les kets de basefjuiigi=1;Nalors on sait comment^Aagit sur n"importe quel ketde ENet donc^Aest parfaitement défini.ECPM, Strasbourg, FrancePage 10
Les outils mathématiques de la mécanique quantique Opérateur linéaire et représentation matricielleEn effet, si
^Ajuji=NX i=1A ijjuiietjwi=NX j=1w jjujialors^Ajwi=NX i=1 NX j=1A ijwj! juii-Représentation matricielle dans la base fjuiigi=1;N:A![^A]= 2
6666664A
11A12:::A 1N
A21A22:::A 2N
AN1AN2:::A NN3
7777775;
^Ajwi! 2 666666666666664N
X j=1A 1jwj N X j=1A 2jwj NX j=1A Njwj3 777777777777775=[
^A]2 6666664w
1 w 2 w N3 7777775=[
^A]W -Notonsque lajèmecolonne de la matrice[^A]est tout simplement le vecteur colonne qui représente ^Ajujidans la basefjuiigi=1;N.ECPM, Strasbourg, FrancePage 11 Les outils mathématiques de la mécanique quantiqueUn opérateur
8 R3dr'(r)jriet^Oj'i=Z
R3dr^O'(r)jri-Exemples :
^Tj'i=~22mZ R3drr2'(r)jriet^Vj'i=Z
R3drV(r)'(r)jri
Analogies
avec EN: E jwi=NX i=1w ijuii !j 'i=Z R3dr'(r)jri
Ajwi=NX
i=1 NX j=1A ijwj! juii !^Oj'i=Z R3dr^O'(r)jri
^A]W !n^O'(r)o r2R3ECPM, Strasbourg, FrancePage 12 Les outils mathématiques de la mécanique quantique ^H'(r) =E'(r)est vérifiée pour n"importe quelle valeur derdansR3. Ainsi Z R3dr^H'(r)jri=Z
R3drE'(r)jri
soit temps Extension à n"importe quel système quantique : (1) définir l"espace desétats quantiques
(2) définir l" opérateur hamiltonien dans une base de cet espaceExemple: créez votre propre théorie quantique. On considère l"espace des étatsEétudiantd"unétudiant en considérant son humeur. On suppose que cet espace a pour dimension2et qu"une base
est donnée par les ketsju1i=j^ietju2i=j_i.ECPM, Strasbourg, FrancePage 13 Les outils mathématiques de la mécanique quantique Plusieurs représentations dans cette base sont possibles pour l"hamiltonien de l"étudiant : un hamiltonien optimisteserait représenté parh^Hi =2 4 "0 0 +"3 5 avec"> 0. Ainsi ^Hj^i="j^iet^Hj_i= +"j_i: L"état stationnaire (nous en reparlerons ...) et de plus basse énergie (état fondamental
) est donc l"état "content"j^i. un hamiltonien pessimisteserait représenté parh^Hi =2 4 +"0 0"3 5 L"état fondamental serait alors l"état "pas content"j_i.ECPM, Strasbourg, FrancePage 14 Les outils mathématiques de la mécanique quantique un hamiltonien réalisteserait représenté parh^Hi =2 4 "K K+"3 5 oùKest un nombre réel.On dit queKcouple les états"content" et "pas content". L "étatfondamental, dont l"éner gieest
p"