MATRICES - CALCUL MATRICIEL

Jean Paul Truc

Professeur de Mathématiques Spéciales

à l"Ecole des Pupilles de l"Air

14 décembre 2019

1 Matrices à coefficients réels ou complexes

1.1 Quelques définitions de base

Dans ce chapitreKdésigne le corps des réels ou celui des nombres complexes; netpdésignent deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice ànlignes etp colonnes et à coefficients dansKun tableau rectangulaire ànlignes etpcolonnes denpéléments du corpsK. Ces nombresai;jsont repérés par deux indicesietj; le premier indicei(1in) indique la ligne où se trouve le coefficient; le secondj(1jp) montre la colonne du coefficient. Sin=p, la matrice est une matrice carrée d"ordren.

1.2 Un exemple

Voici une matrice carrée d"ordre trois à coefficients réels: A=0 @0 42 2 1 3

4 6 41

Les vecteurs colonnes de cette matrice sont:

C 1=0 @0 2 41
A C2=0 @4 1 61
A C3=0 @2 3 41
A

Les vecteurs lignes:

L1 = (0;4;2)L2= (2;1;3)L3= (4;6;4)

1.3 Notations

Sous forme condensée la matriceAànlignes etpcolonnes de coefficients les a i;jsera notée ici:

A= (ai;j)

en précisant si nécessaire:1inet1jp. 1 FIG. 1 -Arthur Cayley,Fondateur du calcul matriciel. L"école anglaise, dont Arthur Cayley (1821-1895), homme de loi, puis mathé- maticien à Trinity College, ont joué un rôle fondamental dans le développement de cette théorie.

1.4 Opérations sur les matrices

On peut ajouter deux matrices de même type en ajoutant leurs coefficients de mêmeposition;sideuxmatricesdetype(n;p)s"écrivent:A= (ai;j)etB= (bi;j), alors leur sommeA+Best la matrice de type(n;p):si;j), avec:

8(i;j)2[[1;n]][[1;p]]] :si;j=ai;j+bi;j

On peut multiplier une matrice par un scalaire en multipliant chacun de ses coeffi- cients par ce scalaire. SiA= (ai;j)et2K, alors la matriceAest la matrice de type(n;p):ti;j, avec:

8(i;j)2[[1;n]][[1;p]] :ti;j=ai;j

1.5 Espace vectoriel des matrices de type(n;p)

On montre sans difficultés que pour les deux lois ci dessus, l"ensemble des matrices de type(n;p)à coefficients dansKforme un espace vectoriel sur le corps K, notéMn;p(K). Dans le cas oùn=p, on le noteMn(K).

1.6 Base canonique

Pour tout couple(k;l)de[[1;n]][[1;p]], nous appelleronsEk;lla matrice dont

tous les coefficients sont nuls exceptés celui situé à lak-ième ligne et à lal-ième

2 colonne, égal à un. Toute matriceA= (ai;j)deMn;p(K)sécrit alors comme la combinaison linéaire: A=nX i=1p X j=1a i;jEi;j(1)

Par exemple sin=p= 2, on a:

1;1=1 0

0 0 E

1;2=0 1

0 0 E

2;1=0 0

1 0 E

2;2=0 0

0 1 et une matrice deM2(K)sécrit: a b c d =aE1;1+bE1;2+cE2;1+dE2;2 La famille constituée par cesnpmatrices est donc génératrice. Il est clair que cette famille est libre, car si nous annulons une combinaison linéaire desEi;j, l"équation (??) nous montre que cela équivaut à dire que la matriceAde??est nulle. Or une matrice est nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Nous avons donc bien mis en évidence une base deMn;p(K)qui est donc de dimensionnp.

1.7 Produit de matrices

Définition 1Etant données deux matrices:AdansMn;p(K)etBdansMp;q(K), sont donnés par la formule:

8(i;j)2[[1;n]][[1;p]] :ci;j=pX

k=1a i;kbk;j(2)

Un exemple

Considérons les matrices:

A=0 @0 42 2 1 3

4 6 41

A B=0 @0 1 2 1 1 11 A alors leur produit est: C=0 @10 2 1 6 8 141 A 3

1.8 L"anneau des matrices carréesMn(K)

Dans le cas particulier oùn=p=q, la formule (??) montre que le produit matriciel est une loi interne dansMn(K). On montre facilement que cette loi est associative, distributive à gauche et à droite sur l"addition des matrices carrés, et possède un élément neutre, la matrice identitéIn, définie par: I n=0 B

BBB@1 0::: :::0

0 1 0:::0

0 0 1:::0

0::: :::0 11

C CCCA Plus rigoureusementIna pour coefficients les symboles de Kroneckeri;j. Pour ces deux lois (addition et multiplication)Mn(K)a donc une structure d"anneau non commutatif. Pour deux matrices carréesAetBqui commutent (AB=BA). on peut utiliser la formule du binôme de Newton: (A+B)n=nX 0 n p A pBnp

1.9 Produits de matrices de base et applications

Nous nous plaçons dans l"anneau des matrices carréesMn(K)pour simplifier. En utilisant la formule (??) du produit matriciel, on peut montrer que:

Proposition 1Pour tous indicei;j;k;lde[[1;n]]:

E i;jEk;l=j;kEi;l: Cette formule permet de prouver qu"en multipliant une matriceAà droite parIn+ E i;j, on ajoutefois la colonneCià la colonneCj. Par exemple en dimension deux on a: a b c d 1 0 1 =a b+a c d+c par multiplication toutes les opérations sur les lignes et les colonnes.

2 Matrice d"une application linéaire

On considère un espace vectorielEde dimensionpde baseB=fe1;:::;epget un espace vectorielFde dimensionnbaseB0=fu1;:::;eng. Soitf2L(E;F). Pour tout indicejde[1;p], il existe des scalairesmi;jtels que: f(ej) =nX i=1m i;jui: 4 La matrice de l"application linéairefrelativement aux basesBetB0est la matrice

MdeMn;p(K):

M= (mi;j)i=1::nj=1::p

L"application qui àfassocieMest un isomorphisme d"espace vectoriel entrequotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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