MATRICES - CALCUL MATRICIEL
MATRICES - CALCUL MATRICIEL Jean Paul Truc Professeur de Mathématiques Spéciales à l’Ecole des Pupilles de l’Air 14 décembre 2019 1 Matrices à coefficients réels ou complexes 1 1 Quelques définitions de base Dans ce chapitre K désigne le corps des réels ou celui des nombres complexes; net pdésignent deux entiers naturels non nuls
Chapitre VIII Calcul matriciel - Université Paris-Saclay
Chapitre VIII Calcul matriciel Dans ce cours, désigne , ou un corps commutatif quelconque I – Matrices et applications Les matrices sont un outil de calcul et de représentation des applications linéaires 1 Définitions Soient donnés On appelle matrice de type à coefficients dans un tableau
Chapitre 1 Calcul vectoriel, calcul matriciel
Chapitre I : CALCUL VECTORIEL, CALCUL MATRICIEL I – Espaces vectoriels réels 1) Espaces vectoriels sur a) Définitions Définition 1 : Soit un ensemble non vide On dit que la loi est une loi de composition interne sur si et seulement si : On dit que la loi est une loi de composition externe sur si et seulement si :
Chapitre 1 : Calcul matriciel
Chapitre 1 : Calcul matriciel I Généralités A Définitionsgénérales Unematriceestuntableaudenombre Définition1 Exemple1 Voicideuxexmplesdematrices: A 1 2 0 3 B 1 2 8 0 3 1 3 Ici la matrice A est dite de dimension 2 2 et la matrice B de dimension2 3, c’est à dire 2 lignes et 3 colonnes
TS2 Chapitre 2 – Calcul matriciel I – Matrices : exemple et
TS2 Chapitre 2 – Calcul matriciel • Si n = p, A est une matrice carrée Les coefficients a ii sont appelés coefficients diagonaux • La matrice n p dont tous les coefficients sont nuls s'appelle la matrice nulle, on la note A = 0 Exemples: → La production de l'usine 1 pour le premier semestre peut être représentée par la matrice ligne
Calcul matriciel
Chapitre 11 Calcul matriciel Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C, et (n,p) est un couple d’entiers naturels non nuls 1 Vocabulaire On appelle matrice à coefficients dansK un tableau rectangulaire constitué de nombres
Matrices - Mathématiques en ECS1
Dans ce chapitre, nous allons découvrir ce que sont les matrices et apprendre à calculer avec ces nou-veaux objets Le calcul matriciel nous permettra, par la suite, de résoudre des problèmes mathématiques, notamment issus de la théorie des probabilités Dans tout le chapitre, on notera Kle corps Cou R
Chapitre 13 : algorithmes de calcul matriciel 0 Codage des
Chapitre 13 : algorithmes de calcul matriciel Motivation : Les algorithmes de r esolutions de syst emes lin eaires et de calcul sur les matrices seront impl ement es par vous-m^emes en T P Le but de ces notes est d’une part de pr esenter ces di erents algorithmes, de voir comment ils s’articulent entre eux, de pr eciser quelques notions et
ALG 10 Matrices et applications linéaires
Nous avons vu dans le chapitre précédent qu’une application linéaire est entièrement définie par l’image d’une base Ce résultat théorique a une conséqence pratique importante : en dimension finie, tout problème d’algèbre linéaire est réductible à du calcul matriciel Définition 10 1
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TS2Chapitre 2 - Calcul matriciel
I - Matrices : exemple et définition
Voici les productions (en milliers) de deux usines de cycles appartenant à une même enseigne pour le
premier semestre de l'année 2012 :Premier semestre 2012
VTT AdultesVTCBMXVélos de course
Usine 112,995,581,531,95
Usine 24,622,160,510,78
On peut représenter ces valeurs sous forme d'un tableau de nombres que l'on appelle matrice :12,995,581,531,95
4,622,160,510,78On désigne généralement une matrice par une lettre majuscule et on note
aij le nombre situé à l'intersection de la i-ème ligne et de la j-ième colonne.Par exemple, dans la matrice A ci dessus,
a11 = a23 = a14 = A est une matrice rectangulaire à 2 lignes et 4 colonnes. Définition : Soit A une matrice à n lignes et p colonnes. A= (a11a12...a1j...a1p a21a22...a2j...a2p ai1ai2...aij...aip an1an2...anj...anp )Notation : on écrit la matrice A de manière plus condenséeA=(aij)1⩽i⩽n
1⩽j⩽p.
aij est appelé terme général de la matrice A.Cas particuliers :
Soit A une matrice n✕p.
• Si p = 1, A est une matrice colonne A= a1 a2 an• Si n = 1, A est une matrice ligneA=a1a2...an- 1 -
TS2Chapitre 2 - Calcul matriciel
• Si n = p, A est une matrice carrée. Les coefficients aii sont appelés coefficients diagonaux.
• La matrice n✕p dont tous les coefficients sont nuls s'appelle la matrice nulle, on la note A = 0.
Exemples :
→ La production de l'usine 1 pour le premier semestre peut être représentée par la matrice ligneM = (12,99 5,58 1,53 1,95)
La production des VTT adultes dans les 2 usines peut être représentée par la matrice colonneN=
12,994,62
II - Calcul matriciel
1.Égalité de matrices
Propriété :
Les matrices A=aij et
B=bij de dimension n✕p sont égales si et seulement si aij=bij pour tous i, j.2.Addition
Les productions (en milliers) de deux usines de cycles appartenant à une même enseigne pour le deuxième
semestre de l'année 2012 :Deuxième semestre 2012
VTT AdultesVTCBMXVélos de course
Usine 111,794,381,291,59
Usine 23,782,40,510,66
On peut représenter ces données grâce à la matrice B = On note C la matrice représentant la production annuelle pour ces deux usines, C = A + B. C = Propriété : Somme de deux matrices de même tailleSi A=aij et
B=bij sont deux matrices n✕p, on définit la somme A + B comme étant la matrice
C=cij de taille n✕p telle que cij=aijbij pour tous i, j. - 2 -TS2Chapitre 2 - Calcul matriciel
3.Multiplication d'une matrice par un réel
On note D la matrice représentant la production moyenne par mois dans ces deux usines, D=1 12C. D =Propriété : Multiplication par un réel
Si A=aij et λ R, on définit λA comme étant la matrice D=dij telle que dij=λaij pour tous i, j.
Exercice :
On considère les matrices :
A= 0123 et B=45
6-3.
Calculer
A + B =
3A = - 2B =3A - 2B =
4.Multiplication de deux matrices
Une association de consommateurs compare les prix de cinq produits p1,p2,p3,p4 et p5 distincts dans trois magasins différents. Les observations fournissent les données suivantes : - 3 -TS2Chapitre 2 - Calcul matriciel
Prix des produits à l'unité en euros
Produit p1Produit p2Produit p3Produit p4Produit p4Magasin 115234
Magasin 21,14,71,83,13,8
Magasin 30,95,11,93,24
On peut stocker les prix des produits sous la forme d'une matrice : A =Pour comparer la dépense d'une ménagère selon les magasins, on considère un " panier » indiquant pour
chaque produit la quantité achetée.Un panier est ainsi décrit par la donnée de 5 entiers, par exemple, 2, 1, 3, 3, 2 signifie que la ménagère a
acheté deux produit de type 1, un de type 2, 3 de type 3, ...La panier de la ménagère peut donc être représenté sous la forme d'une matrice colonne
Q = Le prix R d'un panier dans chacun des 3 magasins se calcule de la façon suivante : On peut traduire les relations précédentes par l'égalité matricielle suivante : r1 r2 r3 =152341,14,71,83,13,8
0,95,11,93,242
1 3 32.
Propriété : Multiplication de deux matrices
Soit A=aij de taille n✕p et B=bjk de taille p✕q, on définit le produit A
×B (aussi noté AB)
comme étant la matrice C=cik définie par cik=∑j=1p - 4 -TS2Chapitre 2 - Calcul matriciel
Exercices :
1• Calculer A×B=01
2345
23=
Calculer
B×A. Que remarque-t-on?
2• On donne les matrices :
A=-410,1
11-3-0,2
-620,1etA'=111 123402010Calculer les matrices AA' et A'A.
- 5 -TS2Chapitre 2 - Calcul matriciel
3• On donne les matrices :B=420
210-2-11 etC=-124 2-4-8
000.
Calculer BC. Que peut-on remarquer?
4• On considère les matrices :
A=01-1
-34-3 -110 et I=100 010001.
Démontrer que A2-3AI=0.
En remarquant que A = AI, vérifier que l'égalité précédente peut s'écrireI=A-1
2A3
2I.
En déduire qu'il existe une matrice A' telle queA×A'=I.
Remarques :
• Si A et B sont deux matrices : le produit n'est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. de manière générale, AB≠BA . La multiplication matricielle n'est pas commutative. la matrice notée A-1vérifiant A×A-1=Iest appelée l'inverse de A.• La matrice notée I, constituée de 1 sur la diagonale et de 0 partout ailleurs, est appelée matrice unité. C'est
l'élément neutre pour la multiplication. - 6 -quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9