[PDF] Trigonalisation et diagonalisation des matrices

Trigonalisation et diagonalisation des matrices

4 CHAPITRE 7 TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION DES MATRICES 7 1 6 Proposition — Toute matrice A de M n(C) est trigonalisable dans M n(C) Notons que toute matrice A de M n(R) peut toujours se trigonaliser dans M

Trigonalisation et diagonalisation des matrices

18 CHAPITRE 7 TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION DES MATRICES 1 Calculer dans Cles valeurs propres de A 2 Discuter en fonction de θ la possibilit´e de diagonaliser A dans Mn(R)et Mn(C)

Diagonalisation et trigonalisation

Diagonalisation et trigonalisation Alg ebre et analyse fondamentales - Paris 7 - O Bokanowski - Septembre 2015 Pour ce cours il est important de conna^ tre le th eor eme donnant les divers crit eres de diago-nalisation des endomorphismes, (savoir calculer les sous-espaces propres d’un endomorphisme),

Fiche technique 5 - Diagonalisation, trigonalisation

PSI Dupuy de Lôme – Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation - 1 - Diagonalisation, trigonalisation Diagonalisation de matrices • le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces propres de la matrice et en déterminer des bases

DIAGONALISATION ET TRIGONALISATION

TD 4 Diagonalisation et trigonalisation

CY Cergy Paris Université Algèbre linéaire, bilinéaire et intégration Licence 2 MIPI 2020-2021 TD 4 Diagonalisation et trigonalisation Exercice 1 Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie 2 et de base B = (e1;e2) Considérons les endomorphismes de E définis par : a f1(x) = (x1 +4x2)e1 +(x1 +x2)e2 d f4(x) = (x1 +x2)e1 +(x1 +x2)e2

Chapitre 7 Diagonalisation

Chapitre 7 Diagonalisation Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales 2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc §1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples? Addition, multiplication, puissance, polynôme

Chapitre 7 Réduction des endomorphismes : trigonalisation et

a) Trigonalisation avec une valeur propre simple et une double 14 b) Trigonalisation avec une valeur propre triple (HP) 16 II Applications de la réduction des endomorphismes 18

Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de

DIAGONALISATION 1 VALEURS PROPRES, VECTEURS PROPRES 2 1 2 Exemples La principale source d’exemples provient des matrices et nous renvoyons encore une fois au chapitre « Valeurs propres, vecteurs propres »

Diagonalisation des endomorphismes et des matrices

Diagonalisation des endomorphismes et des matrices PeterHaïssinsky,UniversitédePaulSabatier 2014–2015

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CHAPITRE

7Trigonalisation et diagonalisation

des matrices Sommaire1 Trigonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

2 Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Une obstruction au caract

`ere diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . .11

4 Caract

´erisation des matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . .12

5 Matrices diagonalisables : premi

`eres applications . . . . . . . . . . . . .15

6 Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . .

17

7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 Nous abordons dans ce chapitre les probl

`emes de trigonalisation et diagonalisation des ma- trices. Nous montrons que toute matrice `a coefficients complexes est trigonalisable, c"est-`a-dire semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure. On pr´esente quelques cons´equences th´eoriques importantes de ce r

´esultat.

Le probl

`eme de la diagonalisation est plus´epineux. Une matrice n"est pas en g´en´eral dia- gonalisable, c"est- `a-dire semblable`a une matrice diagonale. Dans ce chapitre, on s"int´eressera aux obstructions au caract `ere diagonalisable. En particulier, nous donnerons une caract´erisation de nature g

´eom´etrique des matrices diagonalisables.

Nous pr

´esentons deux applications imm´ediates de la diagonalisation des matrices avec le calcul des puissances d"une matrice diagonalisable et la r

´esolution des syst`emes diff´erentiels

lin ´eaires d´efinis par une matrice diagonalisable. Nous reviendrons sur ces deux applications dans les prochains chapitres, notamment dans le cas o `u ils mettent en jeu des matrices non diagonalisables. x1 Trigonalisation des matrices

7.1.1. D

´efinition.-Une matriceAdeMn(K)est ditetrigonalisabledansMn(K), siAest semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure deMn(K). C"est-`a-dire, s"il existe une matrice 1 2

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES

inversiblePdeMn(K)et une matrice triangulaire sup´erieureT`a coefficients dansKtelles que

A=PTP1:(7.1)

On notera que toute matrice triangulaire sup

´erieure´etant semblable`a une matrice triangu- laireinf a une matrice triangulaire inf´erieure.

7.1.2 Exercice.-SoitAune matrice deMn(K)et soitune valeur propre deA. Montrer

que la matriceAest semblable`a une matrice de la forme 2 6 664
0...B 03 7 775
o `uBest une matrice deMn1(K).

7.1.3. Caract

´erisation des matrices trigonalisables.-Le r´esultat suivant fournit une ca- ract ´erisation des matrices trigonalisables.7.1.4 Th ´eor`eme (Th´eor`eme de trigonalisation).-Une matriceAdeMn(K)est trigonalisable dansMn(K)si, et seulement si, son polynˆome caract´eristiquepAest scind´e

surK.Preuve.La condition est n ´ecessaire. SiAest une matrice trigonalisable, par d´efinition, elle est

semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure : t=2 6 664
1

02...............

00n3 7 775

Le polyn

ˆome caract´eristique de la matriceTest scind´e : p

T= (1)n(x1):::(xn):

D"apr `es la proposition 6.3.3, deux matrices semblables ont mˆeme polynˆome caract´eristique. Ainsi,pA=pTet par suite le polynˆome caract´eristique deAest scind´e surK.

La condition est suffisante. On proc

`ede par r´ecurrence surn. Toute matrice deM1(K)est trigonalisable. On suppose que tout matrice deMn1(K), dont le polynˆome caract´eristique est scind ´e, est trigonalisable, montrons que cela est vrai pour toute matrice deMn(K). SoitA2 Mn(K), telle que le polynˆomepAsoit scind´e surK. Le polynˆomepAadmet donc au moins une racinedansK. Consid´erons un vecteur propreedansKnassoci´e`a la valeur propre. Compl´etons le vecteureen une baseB= (e;e2;:::;en)deKn. SoituA l"endomorphisme deKnassoci´e`a la matriceA,i.e., l"endomorphisme d´efini, pour tout vecteur xdeKn, paruA(x) =Ax. On a u

A(e) =Ae=e;

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES3

par suite, la matrice de l"endomorphismeuAexprim´e dans la baseBest [uA]B=2 6 664
0...B 03 7 775;
o `uBest une matrice deMn1(K). La matriceA´etant semblable`a la matrice[uA]B, il existe une matrice inversiblePdeMn(C), telle que P 1AP=2 6 664
0...B 03 7 775:

De plus, d"apr

`es 6.3.8, le polynˆome caract´eristique du blocBdivise le polynˆome caract´eristique

de la matriceA, il est donc scind´e comme ce dernier. Par hypoth`ese de r´ecurrence, la matriceB

est semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure, il existe une matrice inversibleQdans M n1(K), telle quet0=Q1BQsoit triangulaire sup´erieure. En multipliant par blocs, on a : 2 6

6641 00

0...Q 03 7 7751
P 1AP2 6

6641 00

0...Q 03 7 775=2
6 664

0...Q1BQ

03 7 775
2 6 664

0...T0

03 7 775:

En posant

R=P2 6

6641 00

0...Q 03 7 775;
la derni `ere´egalit´e s"´ecrit R 1AR=2 6

6641 00

0...Q 03 7 775:
Ainsi,Aest semblable`a une triangulaire sup´erieure.

7.1.5. Trigonalisation surC.-Voici une premi`ere cons´equence importante du th´eor`eme de

trigonalisation.D"apr nul deC[x]est scind´e surC. Par suite, on a 4

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES7.1.6 Proposition.-Toute matriceAdeMn(C)est trigonalisable dansMn(C).Notons que toute matriceAdeMn(R)peut toujours se trigonaliser dansMn(C). En effet,

si le polyn ˆome carat´eristique deAest scind´e surR,Aest trigonalisable dansMn(R). Sinon, le polyn ˆomepAest toujours scind´e dansMn(C). Il existe alors une matrice inversiblePet une matrice triangulaireTdeMn(C)telles queA=PTP1.

7.1.7. Exemple.-La matrice suivante deM4(R)

A=2 6

6401 1 1

1 0 1 1

0 0 01

0 0 1 03

7 75
admet pour polyn

ˆome caract´eristique

p

A= (x2+ 1)2:

Ce polyn

ˆome n"est pas scind´e dansR[x], la matriceAn"est donc pas trigonalisable dans M

4(R). Cependant, il est scind´e dansC[x]:

p

A= (xi)2(x+i)2:

La matrice est trigonalisable. Posons

P=2 6

6411 1 0

i0i i

0 1 0 1

0i0i3 7 75:

Le premier et troisi

`eme vecteur colonne de la matricePsont des vecteurs propres associ´es aux valeurs propresietirespectivement. Les deux autres vecteurs colonnes compl`etent ces vecteurs en une base de trigonalisation. On a A=P2 6

64i1 0 0

0i0 0 0 0i1

0 0 0i3

7

75P1;avecP1=12

2 6

641i1 0

0 0 1i

1i0i

0 0 1i3

7 75:

7.1.8. Somme et produit des valeurs propres.-Le th´eor`eme de trigonalisation nous permet

de relier des invariants d"une matrice, tels que sa trace et son d

´eterminant,`a ses valeurs propres.

Si une matriceAest trigonalisable, semblable`a une matrice triangulaire sup´erieureT, alors les valeurs propres deA´etant les racines du polynˆomepA, sont aussi les coefficients de la diagonale de la matriceT. ´Etant donn´ee une matriceAdeMn(C), alors son polynˆome caract´eristique est scind´e surC: p

A= (1)n(x1):::(xn):

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES5

La matriceAest semblable`a une matrice triangulaireT,i.e., il existe une matrice inversibleP telle que P 1AP=2 6 664
1

02...............

00n3 7 775
Etant semblables, les matricesAetTont mˆeme trace et mˆeme d´eterminant, on en d´eduit que la trace (resp. le d ´eterminant) deAest´egale`a la somme (resp. le produit) des valeurs propres, compt

´ees avec leur ordre de multiplicit´e. Pr´ecis´ement, on a7.1.9 Proposition.-SoitAune matrice deMn(C)de polynˆome caract´eristique

p

A= (1)n(x1)n1:::(xp)np;

o

`unid´esigne l"ordre de multiplicit´e de la valeur propreidans le polynˆome caract´eristique.

Alors,

i)trace(A) =n11+:::+npp, ii)det(A) =n11:::npp.

Plus g

´en´eralement, pour tout entierk1, on a

iii)trace(Ak) =n1k1+:::+npkp, iv)det(Ak) =k:n11:::k:npp.7.1.10. Exemples.-Dans l"exemple 6.3.5, on a montr´e que la matriceA=01 1 0 poss `ede deux valeurs propresieti; la somme de ces valeurs propres est´egale`a la trace deA et leur produit est le d

´eterminant deA.

Dansl"exemple6.3.6,onamontr

R =cossin sincos estSpC(R) =fei;eig. La proposition pr´ec´edente, nous permet de retrouver les relations trigonom

´etriques bien connues :

trace(R) = 2cos=ei+ei; detR= 1 =eiei:

7.1.11 Exercice.-Montrer qu"une matrice deMn(R)est inversible si, et seulement si, elle

n"admet pas de valeur propre nulle.

7.1.12. Exemple.-Dans l"exemple 7.3.4, nous avons montr´e que la matrice

A=2 6

66400 1.........

00 1 11 13 7 775
6

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES

admet pour valeur propre0, d"ordre de multiplicit´e g´eom´etriquen2, par suite le polynˆome

caract

´eristique s"´ecrit sous la forme

p

A= (1)nxn2(x2+x+):

D ´eterminons les autres valeurs propres deA. Supposons que p

A= (1)nxn2(x1)(x2):

D"apr `es la proposition 7.1.9,1et2satisfont les relations trace(A) =1+2 trace(A2) =21+22 avec A 2=2 6

66411 1.........

11 1 11n3 7 775:
Ainsi,trace(A) = 1ettrace(A2) = 2n1, par suite,1et2satisfont les deux relations

1+2= 1

21+22= 2n1

Comme(1+2)2=21+22+ 212, le syst`eme pr´ec´edent se r´eduit`a

1+2= 1

12= 1n

Donc1et2sont solutions de l"´equation

2+ (1n) = 0:

D"o `u

1=1 +p4n32

; 2=1p4n32

Le spectre deAest donc

Sp(A) =

0;1p4n32

;1 +p4n32

Les sous-espaces propres sont d

´efinis par

E

0= Vect(2

6

666641

1 0... 03 7

77775;2

6

666640

1 1... 03 7

77775; ::: ;2

6

666640

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