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Chapitre 7. Diagonalisation
Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales
2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale
3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.
§1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples?
Addition, multiplication, puissance, polynôme.
déterminant, inversion (si possible), images et noyau, liéou libre, rang, résolution d"un système etc. Multiplication à droite par une matrice diagonale : ?v1,···,?vn)(((
λ1···0
0···
λn
λ1?v1,···,λn?vn?
Exemple.
(1 0 0 -1 2 1
3 1 0))
(3 0 00-1 0
0 0π))
Chapitre 7. Diagonalisation
Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales
2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale
3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.
§1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples?
Addition, multiplication, puissance, polynôme.
déterminant, inversion (si possible), images et noyau, liéou libre, rang, résolution d"un système etc. Multiplication à droite par une matrice diagonale : ?v1,···,?vn)(((
λ1···0
0···
λn
λ1?v1,···,λn?vn?
Exemple.
(1 0 0 -1 2 1
3 1 0))
(3 0 00-1 0
0 0π))
=((3 0 0 -3-2π
9-1 0))
§2 Une matriceAsemblable à une matrice diagonaleM
On dit queAestsemblableàMsiAs"écrit
A=PMP-1,ou bienP-1AP=M,
avecPune matrice inversible.
Exemple.A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avec
P=?1 21 3?
Une fois avoir expriméAsous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculerA2,A3,An, etc, il suffit de remplaceraparanetb parbn!
Preuve.
§2 Une matriceAsemblable à une matrice diagonaleM
On dit queAestsemblableàMsiAs"écrit
A=PMP-1,ou bienP-1AP=M,
avecPune matrice inversible.
Exemple.A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avec
P=?1 21 3?
Une fois avoir expriméAsous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculerA2,A3,An, etc, il suffit de remplaceraparanetb parbn!
Preuve.
A
2= (PMP-1)2= (PMP-1)(PMP-1) =PM(P-1P)MP-1=
PM
2P-1=P?a20
0b2? P -1=?3a2-2b2-2a2+2b2
3a2-3b2-2a2+3b2?
§3 Diagonalisation
Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((
λ1···0
0···
λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPet
M? Rappelons que
PM= (?v1,···,?vn)(((
λ1···0
0···
λn
λ1?v1,···,λn?vn?
etAP= (A?v1,···,A?vn).
§3 Diagonalisation
Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((
λ1···0
0···
λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPet
M? Rappelons que
PM= (?v1,···,?vn)(((
λ1···0
0···
λn
λ1?v1,···,λn?vn?
etAP= (A?v1,···,A?vn).
DoncAP=PM??A?v1=
λ1?v1,···,A?vn=λn?vn
§3 Diagonalisation
Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((
λ1···0
0···
λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPet
M? Rappelons que
PM= (?v1,···,?vn)(((
λ1···0
0···
λn
λ1?v1,···,λn?vn?
etAP= (A?v1,···,A?vn).
DoncAP=PM??A?v1=
λ1?v1,···,A?vn=λn?vn
§3 Diagonalisation
Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((
λ1···0
0···
λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPet
M? Rappelons que
PM= (?v1,···,?vn)(((
λ1···0
0···
λn
λ1?v1,···,λn?vn?
etAP= (A?v1,···,A?vn).
DoncAP=PM??A?v1=
λ1?v1,···,A?vn=λn?vn
?v1?Ker(A-
§3 Diagonalisation
Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((
λ1···0
0···
λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPet
M? Rappelons que
PM= (?v1,···,?vn)(((
λ1···0
0···
λn
λ1?v1,···,λn?vn?
etAP= (A?v1,···,A?vn).
DoncAP=PM??A?v1=
λ1?v1,···,A?vn=λn?vn
?v1?Ker(A- des noyaux on sait faire!
Exo. Pour diagonaliserA=?5-3
6-4? , on fabrique d"abord deux nouvelles matricesA-
2IdetA-(-1)Idet on détermine pour
chacune d"elles une base du noyau ( ces deux valeurs2,-1sont les racines de l"équationdet(A-
λId) =0) :
diagonaliserA ?5-3 6-4? det(A-λId) =0λ=2? ?-1
A-λId
?3-3
6-6? ?
6-3 6-3? base du noyau ?11? ? 1 2? assemblerP=?1 11 2? etM=?20 0 -1 vérifier queAP=PMConclure queA=PMP-1.Aest diagonalisée.
Diagonaliser de même la matrice?2 11 2?
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur
λtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la
valeur propredeA associée à ?v.
Reprenons notre exemple :
A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?
DoncAP=P?a0
0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associée
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur
λtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la
valeur propredeA associée à ?v.
Reprenons notre exemple :
A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?
DoncAP=P?a0
0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéea; ?23?
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur
λtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la
valeur propredeA associée à ?v.
Reprenons notre exemple :
A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?
DoncAP=P?a0
0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéea; ?23? est un vecteur propre, de valeur propre associéeb.
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur
λtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la
valeur propredeA associée à ?v.
Reprenons notre exemple :
A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?
DoncAP=P?a0
0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéea; ?23? est un vecteur propre, de valeur propre associéeb.
Nous venons de démontrer :
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur
λtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la
valeur propredeA associée à ?v.
Reprenons notre exemple :
A=?3a-2b-2a+2b
3a-3b-2a+3b?
=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?
DoncAP=P?a0
0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéea; ?23? est un vecteur propre, de valeur propre associéeb.
Nous venons de démontrer :
Théorème de diagonalisation. Une matrice carréen×nest diagonalisable ssi elle possèdenvecteurs propres formant une base. Un autre exemple :Aest une matrice 2×2 telle que A?11? =?22? etA?1 -1? =?1 -1? . AlorsAest diagonalisable : A ?1 11-1? 2 ?11? 1 ?1 -1?? =?1 11-1??20 0 1 avecP=??,M=??etA=??. Un autre exemple :Aest une matrice 2×2 telle que A?11? =?22? etA?1 -1? =?1 -1? . AlorsAest diagonalisable : A ?1 11-1? 2 ?11? 1 ?1 -1?? =?1 11-1??20 0 1 avecP=??,M=??etA=??. Réponse :A=1 2? 3 1 1 3?
Comment trouver les valeurs propres?
On cherche d"abord lesλi(valeurs propres).
Théorème des valeurs propres. Les valeurs propres
λid"une
matriceAsont les solutions de l"équation det(A-
λId) =0.
Comment trouver les valeurs propres?
On cherche d"abord lesλi(valeurs propres).
Théorème des valeurs propres. Les valeurs propres
λid"une
matriceAsont les solutions de l"équation det(A-
λId) =0.
Exo. Trouver les valeurs propres de?1-2
0 3? et?5-3 6-4?
Polynôme caractéristique
DéfinitionPour toute matrice carréeA, on appelle det(A-
λId)
lepolynôme caractéristiquedeA. Ainsi les valeurs propres deA sont précisément les racines du polynôme caractéristique. Exo. Déterminer le polynôme caractéristique de (1 2 30-1 2
0 0 1/2))
,((5-3 0 6-4 0
0 1 1))
,((((1 0 0 00-1 0 0 0 0 1 40
0 0 0π))))
Puis déterminer les valeurs propres pour chacune de ces matrices.
§4. Critères de diagonalisabilité
Théorème 0 (déjà vu)Une matriceAest diagonalisable ssi elle possède une famille de vecteurs propres formant une base.
Théorème 1 (facile)Si
toutes les racinesdu polynôme caractéristique deA sont simples, alorsAest diagonalisable. (sinon,
Apeut être ou ne pas être diagonalisable).
Théorème 2 (difficile)SiAest une matrice
réelle et symétrique, alors toutes les valeurs propres deAsont réelles etAest diagonalisable. Exo. Pour chacune des trois matrices suivantes, déterminersi elle est diagonalisable, et la diagonaliser si possible : 1 1 1 1? ,?1 10 1? ,?5-1 1 3? (5 0 00 5 00 0 0)) Rappel.Le polynôme caractéristiqued"une matrice carréeAest det(A-λId)(c"est un polynôme enλ).
Exemple : Le polynôme caractéristique de
?a b c d? est ?a- λb c d- ?= (a-
λ)(d-λ)-cd=λ2-(a+d)λ+ad-bc.
§5 Trace, déterminant et valeurs propres
Rappel. Les valeurs propre d"une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.
Définition. On appelle la
tracedeAla somme des éléments sur la diagonale. Définition. On appelle latracedeAla somme des éléments sur la diagonale.
Exemples.tr?a b
c d? =a+d,tr?0 1 -1-1? tr (1 2 32-1 0
0 2 4))
Théorème.La trace deAest égale à la somme des valeurs propres deAet le déterminant deAest le produit des valeurs propres deA.
Preuve. SupposonsA=?a b
c d? ,det(A) =ad-bc,tr(A) =a+d. Définition. On appelle latracedeAla somme des éléments sur la diagonale.
Exemples.tr?a b
c d?quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10
Trigonalisation et diagonalisation des matrices