Chapitre 4 Vecteurs, bases et repères

Cours Calcul vectoriel dans le plan avec Exercices avec solutions PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS I) Vecteurs du plan II) L’égalité de deux vecteurs III) Somme de deux vecteurs IV) La multiplication d’un vecteur par un réel V) La colinéarité de deux vecteurs

Calcul vectoriel dans le plan - AlloSchool

Soient A, B et I trois points du plan ssi pour tout point M on a : MA MB MI 2 C’est en forgeant que l’on devient forgeron» Dit un proverbe C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien Calcul vectoriel dans le plan u 2u 3u

1 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace

1 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace 1 1 Vecteurs du plan Déﬁnitions : Dans ce chapitre : • un scalaire est un nombre réel 2 R; • un vecteur du plan est un couple u de scalaires x,y, noté de la façon suivante : u = x y ; • les composantes (ou coordonnées) du vecteur u sont les scalaires x,y;

Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel

Mécanique du point matériel Chapitre 1 : Rappel sur le calcul vectoriel Fatima BOUYAHIA 2 I 1 Introduction Dans le cadre de ce chapitre, nous allons rapporter quelques notions de bases liées au calcul vectoriel La maitrise de ces techniques est nécessaire pour l’assimilation de la mécanique I 2 Scalaire et vecteur

Dans le plan P Dans lespace E - WordPresscom

TS2 Chapitre 4 – Calcul vectoriel Dans le plan P Dans l'espace E Bases et repères Soit O un point du plan, i et j deux vecteurs non colinéaires On dit que : • i , j est une base du plan vectoriel P • O , i , j est un repère de P Soit O un point de l'espace, i, j et k trois vecteurs non coplanaires

CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE

Cours sur le calcul vectoriel 1/4 CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE I) Vecteurs dans le plan L’utilisation des vecteurs dans le plan facilite les travaux sur certaines grandeurs physiques 1) Définir un vecteur

Tronc commun scientifique

Calcul vectoriel dans le plan Exercice 1: ABC est un triangle, 1) Construire I tel que : AIAB=3 2) Construire J tel que : AJAC=-2 3) Construire F tel que : BF BA BC=+ 4) Construire K tel que : AKAI AJ=+ 5) Construire L tel que : 32

1 Produit scalaire dans le plan - WordPresscom

Chapitre 8 : Calcul vectoriel et produit scalaire 1re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 1 Produit scalaire dans le plan 1 1 Définitions et propriétés Déﬁnition 1 Le projeté orthogonal d’un point M sur une droite d est le point d’intersection M′ de la droite d et de la perpendiculaire à d passant par M d +M M

1 Produit scalaire dans le plan - WordPresscom

Chapitre 8 : Calcul vectoriel et produit scalaire 1re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 1 Produit scalaire dans le plan 1 1 Définitions et propriété Déﬁnition 1 Le projeté orthogonal d’un point M sur une droite d est le point d’intersection M′ de la droite d et de la perpendiculaire à d passant par M d +M M′ Déﬁnition 2

Chapitre 4 Vecteurs, bases et repères

VI Base du plan vectoriel L Exercice 8 Calcul « en aveugle » Dans chacundescas suivants,démontrerque lesvecteurs

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Chapitre 4

Vecteurs, bases

et repères

I Qu"est-ce qu"un vecteur du plan ?

Nous ne pouvonspas, à notre niveau, donner une définitionrigoureused"un vecteur du plan. Disons que

concrètement, un vecteur est undéplacement:

A B CD E FG H I

-→d -→d-→ d

Ledéplacementde A vers B est le même que celui de D vers E ou de H vers I. On appelle cedéplacement

un VECTEUR défini par - unedirection: celle de la droite (AB); - unsens: celui de A vers B; - unenorme: qui est égale à la longueur AB. sens et direction

ilnefautpasconfondresensetdirection:parexemple-→IH et-→AB ontlamêmedirection(carlesdroites

(AB) et (IH) sont parallèles) mais n"ont pas le même sens.

Les vecteurs

-→AB,--→DE et-→HI sont donc lesreprésentantsd"un même vecteur car ils ont même sens, même

direction et même norme : on peut donc désigner ce vecteur parun nom unique, par exemple-→d.

Lanormedu vecteur-→AB est égale à la longueur AB. Pour désigner la norme de-→d, on utilise???-→d???

. On a ?-→d??? =AB=DE=HI

II Somme de vecteurs

Le secret :je me déplace de A vers B puis de B vers C : globalement, je suis parti de A et je suis arrivé en C

2II . SOMME DE VECTEURS

Pensez parallèlogramme

-→AB=--→CD=-→usi et seulement si ABDC est un parallélogramme: AB C D -→u u souvenirs

Dans mon jeune temps, on disait que deux vecteurs-→AB et--→CD étaient égauxasi et seulement si les

segments [A; D] et [B; C] avaient le même milieu : pourquoi? AB

C-→

u-→v -→u+-→v

C"est en fait la fameuse

Propriété 1 : Relation de CHASLES

-→AB+--→BC=-→AC Mais qu"en est-il de cette somme lorsqu"on considère deux vecteurs quelconques-→uet-→v? Il suffit de prendre desreprésentantsde-→uet-→vbien choisis : AB

C-→

u-→v-→ u-→ v -→u+-→v

On peut aussi "penser parallélogramme»

Guillaume Connan, Lycée Jean Perrin - 2nde12, 2008-2009

VECTEURS, BASES ET REPÈRES3

ABD C u-→ v-→ u+-→v

III Vecteur nul - Opposé d"un vecteur

Je pars de A, je vais en B et je retourne en A : la relation de CHASLESle confirme

AB+-→BA=-→AA

Que peut-on dire de ce vecteur

-→AA ?

Quelle est sa norme?

Quelle est sa direction?

Quel est son sens?

On appelle ce vecteur de norme nulle levecteur nulet on le note-→0 .

Plus généralementsi on considère un vecteur-→u, on peut toujourstrouver un vecteur de même direction,

de même norme et de sens opposé : quand on l"ajoute à-→u, on obtient le vecteur nul. On l"appelle levecteur opposéde-→uet on le note bien sûr--→u -→u --→u IV Multiplication d"un vecteur par un nombre réel

Nous avons déjà abordé le problème en parlant de l"opposé du vecteur-→uqu"on note--→u, c"est à dire

(-1)×-→u.

Nous pouvons aisément imaginer que le vecteur 3-→uest en fait égal à-→u+-→u+-→u, et les additions de vec-

teurs, on connaît! Nous pouvons même comprendre que-3-→u, c"est? --→u? --→u? --→u? Vous comprendrez donc sans problème la définition suivante Guillaume Connan, Lycée Jean Perrin - 2nde12, 2008-2009

4V . VECTEURS COLINÉAIRES

Définition 1 : Produit d"un vecteur par un nombre réel Soit-→uun vecteur non nul etkun nombre réel non nul. Alors on notek-→ule vecteur - ayant la même direction que-→u; - ayant le même sens que-→usik>0, le sens contraire sinon; - ayant pour normek???-→u??? sik>0 et-k???-→u??? sinon. -→u k-→u(k>0) k-→u(k<0) Ce petit dessin résume les différents cas de figure.

V Vecteurs colinéaires

a. Définition Nous avons remarqué que-→uetk-→uavaient la même direction.

Inversement, si deux vecteurs non nuls-→uet-→vont la même direction, alors on peut imaginer qu"il existe

un réelktel que-→v=k-→u. Par exemple, s"ils ont le même sens, alors le vecteur??? -→v??? ?-→u???-→ ua - le même sens que -→v(car ... - la même direction que-→v(car ... - la même norme que-→v(car ... donc -→v=??? -→v??? ?-→u???-→ u, ce qui confirme notre supposition. Avant de résumer ce résultat, un peu de vocabulaire :

Définition 2 : vecteurs colinéaires

On dit que deux vecteurs sontcolinéairessi, et seulement si, ils ont la même direction. Deux COpains partagent leur pain, deux COrrecteurs du Bac partagent le même recteur, deux vec- teurs COlinéaires partagentla même ligne... Guillaume Connan, Lycée Jean Perrin - 2nde12, 2008-2009

VECTEURS, BASES ET REPÈRES5

ABD

C-→

u -→v

Notre observation précédente va donc nous permettre d"énoncer le théorème primordialsuivant :

Théorème 1 : vecteurs colinéaires

Deux vecteurs-→uet-→vsont colinéaires si, et seulement si, il existe un réelktel que-→v=k-→u

colinéarité et parallélisme

Vous ferez bien attention à parler de vecteurs colinéaires et non pas de vecteurs parallèles! Deux

droites peuvent être parallèles si elles ont tous leurs points ou aucun point en commun. On ne peut

pas dire la même chose des vecteurs car les vecteurs ... n"ontpas de points! Ce sont des déplace-

ments, pas des ensembles de points comme les droites. b. Conséquences

1.Sionarriveàmontrerquedeuxvecteurs-→AB et--→CD sontcolinéaires,onpourraendéduirequelesdroites

(AB) et (CD) sontparallèles.

2.Sionarriveàmontrerquedeuxvecteurs-→AB et-→AC sontcolinéaires,onpourraendéduirequelesdroites

(AB) et (AC) sontparallèles. Or, comme vous l"avez remarqué, les droites (AB) et (AC) ontle point A en

commun. Que pensez-vous de 2 droites parallèles ayant un point en commun? Elles sont bien sûr ...

b Et donc les points A, B et C appartiennentà une même droite : ils sontalignés.

À retenir

Montrer que deux vecteurs sont colinéaires peut nous aider àmontrer que deux droites sont paral-

lèles ou que trois points sont alignés.

Le problème va être d"arriverà prouver que deux vecteurssont colinéaires: il suffirade "penser BASE» ...

VI Base du plan vectoriel

Euh.. le plan vectoriel,c"est quoi? Disons que c"est l"ensemble des déplacementsen dimension2. On dira

alors que Et on admettra le résultat primordial suivant :

bD"après un des axiomes d"Euclide qui est la base de la géométrie que vous étudiez au lycée : "par deux points distincts du

plan il passe une droite et une seule» Guillaume Connan, Lycée Jean Perrin - 2nde12, 2008-2009

6VII . DES EXERCICES... BASIQUES.

Définition 3 : base

Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires.

Théorème 2 : coordonnées

Soit-→uet-→vdeux vecteurs NON colinéaires : ils forment une base du plan vectoriel. Alors on peut

exprimer n"importequel vecteur-→tsous la forme -→t=x-→u+y-→v -→i-→ jO x-→i y-→j -→t Nousn"ironspasplusloinpourl"instant,maisnousretiendronsqu"il serautiled"exprimerchaquevecteur d"un problème donné en fonction de deux vecteurs de base intelligemmentchoisis...

VII Des exercices... basiques.

mathématiques... ?Exercice 1 " Voir » des égalités vectoriellesquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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