[PDF] Probabilités, statistique et applications

Loi binomiale - Exercices Terminale g´en´erale

1 Montrer qu’il s’agit d’un sch´ema de Bernoulli 2 Repr´esenter la situation par un arbre pond´er´e 3 On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre d’as tir´es Donner la loi de probabilit´e de X Exercice 11 La variable al´eatoire X suit la loi binomiale de param`etres n= 100 et p= 0,15 1

Classification M1-MASS

Loi binomiale D´efinition Soient Y 1,··· ,Y n n va ind´ependantes suivant une loi de Bernoulli de param`etre π, alors on dit que la somme de ces variables suit une loi binomiale de param`etre n,π Y = Y 1 +···+Y n ∼ B(n,π) E(Y) = nπ var(Y) = nπ(1−π) ObjectifOn fait n exp´eriences succ`es/´echec , on veut mod´eliser le

Chap A : entiers, r ecurrences, formules sommatoires

Lien avec les exp eriences de Bernoulli vues en premi ere Le point de vue choisi en premi ere : on y a d e ni ›n k ” comme le nombre de chemins de l’arbre donnant ksucc es pour nr ep etitions Il a et e d emontr e en raisonnant sur les chemins les relations : ∀n≥2, ∀p∈B1;n−1G, ›n p ”=›n−1 p ”+›n−1 p−1 ”

Planche d’exercices 55 - joffrempsi1

qu’il n’a pas pu joindre au cours de la premi ere s erie d’appels On note Y le nombre de personnes jointes au cours de la seconde s erie d’appels i) Soit i ∈B0;nG D eterminer pour k ∈N, P(Y =kSX =i) ii) Prouver que Z =X +Y suit une loi binomiale dont on d eterminera les param etres iii) D eterminer l’esp erance et la variance

Probabilités, statistique et applications

de premi ere importance en sciences appliqu ees Il y est aussi question de la r egression curviligne La abilit e, qui intervient dans la plupart des disciplines du g enie, et particu-li erement en g enie m ecanique, fait l’objet du chapitre 8 Les notions pr esent ees g en eralisent les notions de base de abilit e vues au chapitre 2

glm(Y/N ++Xk,family=binomial,weights=N)

rappel e dans le plan de cours, la triche est interdite Dans les feuilles qui suivent, il y a 42 questions, question 1 (pr eliminaire) sur la r egression binomiale (total de 3 points) questions 2-20 sur la gravit e d’accidents de la route (total de 20 points) questions 21-34 sur le provisionnement pour sinistres a payer (total de 15 points)

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Mario Lefebvre

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On ne peut reproduire ni diffuser aucune partie du présent ouvrage, sous quelque forme ou par quelque procédé que ce soit, sans avoir obtenu au préala ble l'autorisation écrite de l'éditeur.

Dépôt légal : 1

er trimestre 2011

ISBN 978-2-553-01554-0 (version imprimée)

Dieune joue pas aux des.

Albert Einstein

Ils tirerent au sort, et le sort tomba sur Matthias, qui fut associe aux onze ap^otres.

Actes 1: 26

Avant-propos

Ce livre s'adresse aux etudiants de premier cycle en sciences pures et ap- pliquees, et particulierement ceux en genie. Les chapitres 2 a 4 presentent la theorie des probabilites dont ces etudiants ont generalement besoin dans le cadre de leur formation. Quoique le niveau mathematique de l'expose soit susam- ment eleve pour des non-mathematiciens, j'ai intentionnellement evite de trop entrer dans les details. Par exemple, des sujets tels que les variables aleatoires de type mixte et la fonction delta de Dirac ne sont que brievement mentionnes. Les cours de probabilites sont souvent consideres comme diciles. Cependant, apres avoir enseigne cette matiere pendant plusieurs annees, j'en suis venu a la conclusion qu'un des principaux problemes auxquels certains etudiants font face lorsqu'ils essaient d'apprendre la theorie des probabilites est leur faiblesse en calcul dierentiel et integral de base. Par exemple, les etudiants qui suivent un cours de probabilites ont souvent deja oublie la technique d'integration par parties. Pour cette raison, j'ai decide d'inclure dans cet ouvrage un chapitre qui presente les elements de base du calcul dierentiel. M^eme si celui-ci ne sera pro- bablement pas presente en classe, les etudiants pourront s'y referer au besoin. Ce chapitre vise a donner au lecteur une bonne idee de l'utilisation en probabilites des concepts qu'il devrait deja conna^tre. Le chapitre 2 presente les resultats principaux de ce qu'on appelle lespro- babilites elementaires , y compris la formule de Bayes et des elements d'analyse combinatoire. Quoique ces notions ne soient pas compliquees au point de vue mathematique, c'est souvent un contenu que les etudiants ont de la diculte a ma^triser. Il n'y a pas d'autre solution que de faire de tres nombreux exercices pour se sentir a l'aise avec cette partie de la matiere. Le chapitre 3 est consacre au sujet plus technique des variables aleatoires. Tous les modeles importants pour les applications, comme les distributions bi- nomiale et normale, y sont presentes. En general, les etudiants reussissent mieux les questions sur ce sujet dans les examens et ont l'impression que leur travail est plus recompense que dans le cas de l'analyse combinatoire, en particulier. Les vecteurs aleatoires, y compris le tres important theoreme central limite, constituent le sujet du chapitre 4. Je me suis eorce de presenter la matiere le plus simplement possible. Il reste qu'il est evident que les integrales doubles ne peuvent pas ^etre plus simples que les integrales simples. VI Lapartiestatistiquedu manuel commence au chapitre 5, dans lequel les principales quantites qui permettent de caracteriser un ensemble de donnees sont denies. Cette branche de la statistique est appeleestatistique descriptive; elle ne devrait pas causer de problemes aux etudiants. Le chapitre 5 traite aussi de l'estimation des parametres des variables aleatoires, soit l'estimation ponctuelle et la technique d'estimation par intervalle de conance. La theorie des tests d'hypotheses est developpee au chapitre 6. On presente les principaux tests d'ajustement de modeles theoriques aux donnees ainsi que de nombreux tests des parametres des variables aleatoires, comme la moyenne et la variance d'une distribution gaussienne. Il s'agit d'un des principaux elements de la statistique mathematique. Des applications des chapitres 2 a 6 sont presentees aux chapitres 7 a 9. D'abord, le chapitre 7 traite de la regression lineaire simple, qui est un sujet de premiere importance en sciences appliquees. Il y est aussi question de la regression curviligne. La abilite, qui intervient dans la plupart des disciplines du genie, et particu- lierement en genie mecanique, fait l'objet du chapitre 8. Les notions presentees generalisent les notions de base de abilite vues au chapitre 2. Enn, les modeles de les d'attente de base sont etudies au chapitre 9. Les etudiants en genie informatique et en genie industriel ont souvent besoin de connaissances sur ce sujet. On doit alors introduire le concept de processus stochastique, lequel est brievement mentionne au chapitre 4 sur les vecteurs aleatoires. La theorie des les d'attente pouvant ^etre relativement complexe, je m'en suis tenu aux modeles les plus simples. Ceux-ci sont tout de m^eme susants dans la plupart des applications. Peu importe le niveau et la formation des etudiants qui suivent un cours de probabilites et statistique, une chose est certaine: comme il est mentionne ci-dessus, il est necessaire de resoudre plusieurs exercices avant d'avoir le sen- timent d'avoir ma^trise la theorie.A cette n, le manuel contient pres de

600 exercices, dont un grand nombre comportent plusieurs parties.A la n de

chaque chapitre, le lecteur trouvera des exercices resolus, suivis de nombreux exercices non resolus. Les reponses des exercices dont le numero est pair sont fournies a l'appendice C. Il y a aussi plusieurs questions a choix multiple, dont les reponses sont donnees a l'appendice D. VII Les chapitres 2 a 7 du manuel sont tires du livreCours et exercices de statis- tique mathematique appliquee , publie par les Presses internationales Polytech- nique. Cet ouvrage est surtout axe sur la statistique, tandis queProbabilites, statistique et applicationscomporte cinq chapitres sur les probabilites (y com- pris les applications presentees dans les chapitres 8 et 9) et trois chapitres sur la statistique. Il me fait plaisir de remercier toutes les personnes avec lesquelles j'ai travaille au cours de ma carriere a l'Ecole Polytechnique de Montreal, et qui ont fourni des exercices interessants que j'ai inclus dans ce manuel. Finalement, je remercie egalement toute l'equipe de production des Presses internationales Polytechnique.

Mario Lefebvre

Montreal, septembre 2010Extrait de la publication

Table des matieres

Liste des tableaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XIII

Liste des gures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV

1 Revision du calcul dierentiel et integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Limites et continuite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Techniques d'integration particulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Integrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Series innies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Series geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Probabilites elementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1 Experiences aleatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2Evenements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Probabilite conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5 Probabilite totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Variables aleatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

XTable des matieres

3.1.2 Cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 Variables aleatoires discretes importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.1 Distribution binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.2 Distribution de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2.3 Distributions geometrique et binomiale negative . . . . . . . . . . 80

3.2.4 Distribution hypergeometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2.5 Distribution et processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3 Variables aleatoires continues importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.3.1 Distribution normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.3.2 Distribution gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3.3 Distribution de Weibull. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3.4 Distribution b^eta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3.5 Distribution lognormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.4 Fonctions de variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.4.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.4.2 Cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.5 Caracteristiques des variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4 Vecteurs aleatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.1 Vecteurs aleatoires discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.2 Vecteurs aleatoires continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.3 Fonctions de vecteurs aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.3.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.3.2 Cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.3.3 Convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.4 Covariance et coecient de correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.5 Theoremes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.6 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5 Statistique descriptive et estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.1 Statistique descriptive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.1.1 Tableaux d'eectifs ou de frequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

5.1.2 Representations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.1.3 Quantites calculees en utilisant les donnees . . . . . . . . . . . . . . 209

5.2 Estimation ponctuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.2.1 Proprietes des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5.2.2 La methode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . 221

Table des matieres XI

5.3 Distributions d'echantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.4 Estimation par intervalles de conance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

5.4.1 Intervalle de conance pour;connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

5.4.2 Intervalle de conance pour;inconnu . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.4.3 Intervalles de conance pourXY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5.4.4 Intervalles de conance pour2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.4.5 Intervalle de conance pour2X=2Y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.4.6 Intervalle de conance pourp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

5.4.7 Intervalle de conance pourpXpY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

5.4.8 Intervalle de conance base surV M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

5.5 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6 Tests d'hypotheses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

6.1 Introduction et terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

6.1.1 Les especes d'erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

6.2 Tests d'ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

6.2.1 Test d'ajustement du khi-deux de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . 289

6.2.2 Test de Shapiro-Wilk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

6.2.3 Test de Kolmogorov-Smirnov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

6.3 Test d'independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

6.4 Tests au sujet des parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

6.4.1 Test d'une moyenne theorique;connu . . . . . . . . . . . . . . . . 299

6.4.2 Test d'une moyenne theorique;inconnu . . . . . . . . . . . . . . 305

6.4.3 Test d'une variance theorique2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

6.4.4 Test d'une proportion theoriquep. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

6.4.5 Test de l'egalite de deux moyennes; variances connues . . . . . 312

6.4.6 Test de l'egalite de deux moyennes; variances inconnues . . . 315

6.4.7 Test de deux moyennes avec observations appariees . . . . . . . 318

6.4.8 Test de l'egalite de deux variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

6.4.9 Test de l'egalite de deux proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

6.4.10 Test de l'egalite de plusieurs proportions. . . . . . . . . . . . . . . . . 322

6.4.11 Test de l'egalite de plusieurs moyennes; analyse de la

variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

6.5 Exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

7 Regression lineaire simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

7.1 Le modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

7.2 Tests d'hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

XII Table des matieres

7.3 Intervalles et ellipses de conance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

7.4 Le coecient de determination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

7.5 L'analyse des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

7.6 Regression curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

7.7 Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

7.8 Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

8 Fiabilite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

8.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

8.2 Fiabilite des systemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

8.2.1 Systemes en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

8.2.2 Systemes en parallele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

8.2.3 Autres cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

8.3 Liens et coupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

8.4 Exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

9 Files d'attente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

9.1 Cha^nes de Markov a temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

9.2 Systemes de les d'attente avec un seul serveur . . . . . . . . . . . . . . . . 471

9.2.1 ModeleM=M=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

9.2.2 ModeleM=M=1 a capacite nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

9.3 Systemes de les d'attente avec deux ou plusieurs serveurs. . . . . . . 489

9.3.1 ModeleM=M=s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

9.3.2 ModeleM=M=s=c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

9.4 Exercices du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

ATableaux statistiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

BQuantiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

CReponses - Exercices a numeros pairs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 DReponses - Questions a choix multiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

Listedes tableaux

3.1 Moyennes et variances des distributions de probabilite des

sections 3.2 et 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1 Valeurs dez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

5.2 Valeurs det;n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

5.3 Valeurs de2;n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

5.4 Valeurs deF;n1;n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.1 Valeurs critiques de la statistiqueDn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

A.1 Fonction de repartition de la distribution binomiale . . . . . . . . . . . . . 514 A.2 Fonction de repartition de la distribution de Poisson . . . . . . . . . . . . 515

A.3 Valeurs de la fonction\b(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

A.4 Valeurs de la fonctionQ1(p) pour quelques valeurs dep. . . . . . . . 516

Listedes gures

1.1 Fonction de densite conjointe dans l'exemple 1.3.5 . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Region d'integration dans l'exemple 1.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 RegionAdans l'exercice resolu no8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1 Diagramme de Venn pour l'exemple 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Diagramme de Venn pour trois evenements quelconques . . . . . . . . . 37

2.3 Probabilite de l'union de deux evenements quelconques. . . . . . . . . . 39

2.4 Diagramme de Venn pour l'exemple 2.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5 Notion de probabilite conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6 Systeme pour la partie (a) de l'exemple 2.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.7 Diagramme de Venn pour la partie (a) de l'exemple 2.4.1 . . . . . . . . 43

2.8 Systeme pour la partie (b) de l'exemple 2.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.9 Exemple de la regle de la probabilite totale avecn= 3 . . . . . . . . . . 45

2.10 Exemple d'arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.11 Arbre dans l'exemple 2.6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.12 Figure pour l'exercice n

o1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.13 Figure pour l'exercice n

o8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.14 Figure pour l'exercice n

o13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.15 Figure pour l'exercice n

o15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.16 Figure pour l'exercice n

o22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1 Fonction de repartition de la variable aleatoire dans l'exemple

3.1.1 (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 Fonction de densite de la variable aleatoire dans l'exemple 3.1.3 . . 76

3.3 Fonction de repartition de la variable aleatoire dans l'exemple 3.1.3 77

3.4 Fonctions de probabilite de variables aleatoires binomiales . . . . . . . 79Extrait de la publication

XVIListe des gures

3.5 Fonction de probabilite d'une variable aleatoire geometrique . . . . . 81

3.6 Fonction de densite d'une variable aleatoire normale . . . . . . . . . . . . 88

3.7 Fonctions de densite de diverses variables aleatoires qui

presentent une distribution gamma avec= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.8 Fonction de densite de probabilite d'une variable aleatoire

uniforme sur l'intervalle ( a;b ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.9 Coecient d'asymetrie des distributions exponentielles . . . . . . . . . . 110

3.10 Coecient d'asymetrie des distributions uniformes. . . . . . . . . . . . . . 111

4.1 Fonction de repartition conjointe dans l'exemple 4.2.2 . . . . . . . . . . . 153

4.2 Fonction de densite dans l'exemple 4.3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.3 Figure pour l'exercice resolu n

o12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.4 Figure pour l'exercice resolu n

o27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

4.5 Figure pour l'exercice n

o5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.6 Figure pour l'exercice n

o6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.1 Polygone d'eectifs construit en se servant des donnees de

l'exemple 5.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.2 Histogramme obtenu avec les donnees de l'exemple 5.1.1. . . . . . . . . 208

5.3 Exemples de distributions de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5.4 Fonction de densite de la distribution de Fisher avecm= 4 et

n= 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

5.5 Denition de la quantitez=2pour une variable aleatoireZqui

presente une distribution normale centree reduite . . . . . . . . . . . . . . . 233

5.6 Denition de la quantitet=2;n1pour une variable aleatoireT

qui presente une distributiontn1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

5.7 Denition des quantites2=2;n1et21=2;n1pour une variable

aleatoireXqui presente une distribution2n1. . . . . . . . . . . . . . . . . 239

5.8 Denition des quantitesF=2;n1;n2etF1=2;n1;n2pour une

variable aleatoireXqui presente une distributionFn1;n2. . . . . . . . . 242

6.1 Erreur de premiere et de deuxieme espece dans le cas du test

unilateral a droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

7.1 Graphique dans l'exemple 7.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

7.2 Residus formant une bande uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

7.3 Residus indiquant au moins une hypothese non veriee . . . . . . . . . . 394

8.1 Taux de panne ayant la forme d'une baignoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

Listedes gures XVII

8.2 Un systeme en pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

8.3 Un systeme en pont represente comme un systeme en parallele

forme de ses liens minimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

8.4 Un systeme en pont represente comme un systeme en serie forme

de ses coupes minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

8.5 Figure pour l'exercice n

o16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

8.6 Figure pour la question a choix multiple n

o9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

9.1 Diagramme de transitions pour le modeleM=M=1 . . . . . . . . . . . . . . 475

9.2 Diagramme de transitions pour le modele de le d'attente de

l'exemple 9.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

9.3 Diagramme de transitions pour le modele de le d'attente de

l'exemple 9.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

9.4 Diagramme de transitions pour le modeleM=M=2 . . . . . . . . . . . . . . 490

9.5 Figure pour l'exemple 9.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

1

Revision du calcul dierentiel et integral

Ce chapitre presente les principaux resultats du calcul dierentiel et integral utilises en probabilites. Souvent, les etudiants qui suivent un cours sur la theorie des probabilites eprouvent de la diculte a saisir des concepts comme les integrales et les series innies. Nous rappelons en particulier la technique d'integration par parties.

1.1 Limites et continuite

Lalimited'une fonction est denie formellement comme suit. Denition 1.1.1.Soitfune fonction a valeurs reelles. On dit quef(x) tend versf0(2R) lorsquextend versx0si, pour n'importe quel nombre positif, il existe un nombre positiftel que

0 On ecrit:limx!x0f(x) =f0. C'est-a-dire quef0est lalimitede la fonction f(x)lorsquextend versx0.

Remarques.

(i) La limite peut exister m^eme si la fonctionf(x) n'est pas denie au pointx0. (ii) Il est possible quef(x0) existe, mais quef(x0)6=f0. (iii) On ecrit que lim x !x0f(x) =1si, pour n'importe quelM >0 (aussi grand que l'on veut), il existe un >0 tel que

0 MExtrait de la publication

21 Revision du calcul dierentiel et integral

De facon similaire, on peut avoir lim

x x0f(x) =1. (iv) Dans la denition, on suppose quex0est un nombre reel. Cependant, on peut generaliser cette denition au cas oux0=1. Parfois, on s'interesse a la limite de la fonctionf(x) lorsquexdecro^tou cro^tvers un nombre reel donnex0. Lalimite a droite(respectivementlimite a gauche ) de la fonctionf(x) lorsquexdecro^t (respectivement cro^t) versx0 est notee lim x x0f(x) (respectivement limx"x0f(x)). Certains auteurs ecrivent lim x x+

0f(x) (respectivement limx!x0f(x)). Si la limite def(x) lorsquextend

versx0existe, alors lim x x

0f(x) = limx"x

0f(x) = limx!x0f(x)

Denition 1.1.2.On dit que la fonction a valeurs reellesf(x)estcontinue au pointx02Rsi (i) elle est denie en ce point, (ii) la limite lorsquextend versx0existe, et (iii)limx!x0f(x) =f(x0). Sifest continue en tout point x

02[a;b](ou(a;b), etc.), alors on dit quefest continue dans cet intervalle.

Remarques.

(i) Dans ce livre, un intervallefermeest note [a;b], tandis que (a;b) est un intervalleouvert. On a aussi, bien s^ur, les intervalles [a;b) et (a;b]. (ii) Si l'on ecrit plut^ot, dans la denition, que la limite lim x x0f(x) (respecti- vement lim x x0f(x)) existe et est egale af(x0), alors on dit que la fonction est continue a droite(respectivementcontinue a gauche) enx0. Une fonction qui est continue en un certain pointx0tel quea < x0< best a la fois continue a droite et continue a gauche en ce point. (iii) On dit qu'une fonctionfestcontinue par morceauxdans un intervalle [a;b] si cet intervalle peut ^etre divise en un nombrenide sous-intervalles dans lesquels fest continue et possede des limites a gauche et a droite. (iv) Soitf(x) etg(x) deux fonctions a valeurs reelles. Lacompositiondes deux fonctions est noteegfet est denie par gf)(x) =g[f(x)] Au chapitre 3, nous utiliserons le resultat suivant: la composition de deux fonc- tions continues est aussi une fonction continue.

1.1Limites et continuite 3

Exemple 1.1.1.Considerons la fonction

u(x) =0 six <0

1 six0(1.1)

laquelle est connue sous le nom de fonction de Heaviside ou fonction echelon unitaire. En probabilites, cette fonction correspond a lafonction de repartition de la constante 1. Elle est aussi utilisee pour indiquer que les valeurs possibles d'une certainevariable aleatoiresont l'ensemble des nombres reels non negatifs.

Par exemple, ecrire que

f

X(x) =exu(x) pour toutx2R

est equivalent a ecrire que f

X(x) =0 six <0

e xsix0 oufX(x) est appeleefonction de densitede la variable aleatoireX. La fonctionu(x) est denie pour toutx2R. Dans d'autres contextes, la valeur deu(0) est choisie autrement que ci-dessus. Par exemple, dans certaines applications,u(0) = 1=2. De toute facon, la fonction echelon unitaire est continue partout, excepte a l'origine, parce que (dans le cas present) lim x

0u(x) = 1 et limx"0u(x) = 0

Cependant, avec le choixu(0) = 1, on peut armer queu(x) est continue a droite enx= 0.} Les denitions precedentes peuvent ^etre etendues au cas des fonctions a valeurs reelles de deux (ou plusieurs) variables. En particulier, la fonctionf(x;y) estcontinueau point (x0;y0) si lim x!x0 y!y0f(x;y) =f( limx!x0x;limy!y0y) Cette formule implique que la fonctionf(x;y) est denie en (x0;y0) et que la limite def(x;y) lorsque (x;y) tend vers (x0;y0) existe et est egale af(x0;y0).

41 Revision du calcul dierentiel et integral

1.2 Derivees

Denition 1.2.1.Supposons que la fonctionf(x)est denie enx02(a;b). Si f

0(x0) := limx!x0f(x)f(x0)xx0limx!0f(x0+x)f(x0)x

existe,on dit que la fonctionf(x)estderivableau pointx0et quef0(x0)est laderiveedef(x)(par rapport ax) enx0.

Remarques.

(i) Pour que la fonctionf(x) soit derivable enx0, elle doit au moins ^etre continue en ce point. Cependant, cette condition n'est pas susante, comme on peut s'en rendre compte dans l'exemple 1.2.1. (ii) Si la limite est prise lorsquex#x0(respectivementx"x0) dans la denition precedente, le resultat (si la limite existe) est appelederivee a droite(respecti- vementderivee a gauche) def(x) enx0, laquelle est parfois noteef0(x+0) (res- pectivementf0(x0)). Sif0(x0) existe, alorsf0(x+0) =f0(x0). (iii) La derivee defen un point arbitrairexest aussi noteeddx f(x),ouDf(x).

Si l'on posey=f(x), alors

f

0(x0)dydx

x=x0 (iv)Si on derivef0(x), on obtient laderivee secondede la fonctionf, noteequotesdbs_dbs5.pdfusesText_9