Ann´ee universitaire 2002-2003 UNIVERSITE D’ORL´ EANS

1 Montrer qu’il s’agit d’un sch´ema de Bernoulli 2 Repr´esenter la situation par un arbre pond´er´e 3 On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre d’as tir´es Donner la loi de probabilit´e de X Exercice 11 La variable al´eatoire X suit la loi binomiale de param`etres n= 100 et p= 0,15 1

Classification M1-MASS

Loi binomiale D´eﬁnition Soient Y 1,··· ,Y n n va ind´ependantes suivant une loi de Bernoulli de param`etre π, alors on dit que la somme de ces variables suit une loi binomiale de param`etre n,π Y = Y 1 +···+Y n ∼ B(n,π) E(Y) = nπ var(Y) = nπ(1−π) ObjectifOn fait n exp´eriences succ`es/´echec , on veut mod´eliser le

Chap A : entiers, r ecurrences, formules sommatoires

Lien avec les exp eriences de Bernoulli vues en premi ere Le point de vue choisi en premi ere : on y a d e ni ›n k ” comme le nombre de chemins de l’arbre donnant ksucc es pour nr ep etitions Il a et e d emontr e en raisonnant sur les chemins les relations : ∀n≥2, ∀p∈B1;n−1G, ›n p ”=›n−1 p ”+›n−1 p−1 ”

Planche d’exercices 55 - joffrempsi1

qu’il n’a pas pu joindre au cours de la premi ere s erie d’appels On note Y le nombre de personnes jointes au cours de la seconde s erie d’appels i) Soit i ∈B0;nG D eterminer pour k ∈N, P(Y =kSX =i) ii) Prouver que Z =X +Y suit une loi binomiale dont on d eterminera les param etres iii) D eterminer l’esp erance et la variance

Probabilités, statistique et applications

de premi ere importance en sciences appliqu ees Il y est aussi question de la r egression curviligne La abilit e, qui intervient dans la plupart des disciplines du g enie, et particu-li erement en g enie m ecanique, fait l’objet du chapitre 8 Les notions pr esent ees g en eralisent les notions de base de abilit e vues au chapitre 2

glm(Y/N ++Xk,family=binomial,weights=N)

rappel e dans le plan de cours, la triche est interdite Dans les feuilles qui suivent, il y a 42 questions, question 1 (pr eliminaire) sur la r egression binomiale (total de 3 points) questions 2-20 sur la gravit e d’accidents de la route (total de 20 points) questions 21-34 sur le provisionnement pour sinistres a payer (total de 15 points)

Ann´ee universitaire 2002-2003 UNIVERSITE D’ORL´ EANS

Ann´ee universitaire 2002-2003 UNIVERSITE D’ORL´ EANS´ Olivier GARET MA6 06 : Mesure et Probabilit´es

Ann´ee universitaire 2006-2007 UNIVERSITE D’ORL´ EANS

Ann´ee universitaire 2006-2007 UNIVERSITE D’ORL´ EANS´ Olivier GARET Int´egration, Fourier et Probabilit´es

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Ann´ee universitaire 2002-2003

UNIVERSIT

´E D"ORL´EANS

Olivier GARET

MA6.06 : Mesure et Probabilit´es

Table des mati`eres

1 Un peu de th´eorie de la mesure

1.1 Tribus

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Axiomes de base

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Propri´et´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 Sous-tribus

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Op´erations sur les tribus

. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Intersection de tribus

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Tribu engendr´ee par une famille de tribus

. . . . . . . . 3

Tribu engendr´ee par une famille d"ensembles

. . . . . . 3

Tribu produit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Espace probabilis´e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Partitions et probabilit´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Probabilit´e conditionnelle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Conditionnements en chaˆıne

. . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.2 Conditionnement par tous les cas possibles

. . . . . . . 8

1.4.3 Formule de Bayes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Ind´ependance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.1

´Ev´enements ind´ependants

. . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2 Tribus ind´ependantes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.3 Ind´ependance et tribus engendr´ees

. . . . . . . . . . . 10

1.6 Exercices de th´eorie de la mesure

. . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Lois des variables et des vecteurs al´eatoires

2.1 D´efinition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Fonction de r´epartition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Propri´et´es de la fonction de r´epartition d"une variable al´eatoire r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2 Tribu engendr´ee par une ou plusieurs variables al´eatoires

2.2 Ind´ependance des variables al´eatoires

. . . . . . . . . . . . . . 19 i iiTABLE DES MATI`ERES

2.2.1 Application : loi 0¡1 de Kolmogorov

. . . . . . . . . . 21

2.3 Variables al´eatoires discr`etes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Fonction d"une variable al´eatoire discr`ete

. . . . . . . . 25

2.4 Variables et vecteurs al´eatoires `a densit´e

. . . . . . . . . . . . 26

2.4.1 Premi`eres propri´et´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.2 Densit´es et lois marginales

. . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.3 Ind´ependance et densit´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Variables et lois discr`etes classiques

. . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.1 Indicatrice d"un ´ev´evenement

. . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.2 Masse de Dirac

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.3 Loi de Bernoulli

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.4 Loi uniforme sur un ensemble

. . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.5 Loi binomiale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.6 Loi g´eom´etrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.7 Loi de Poisson

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.8 Loi hyperg´eom´etrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6 Lois `a densit´e usuelles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.1 Loi uniforme sur un compact deRd

. . . . . . . . . . . 33

2.6.2 Loi uniforme sur un intervalle

. . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.3 Loi gaussienne de param`etresmet¾2

. . . . . . . . . . 34

2.6.4 Loi exponentielle de param`etresa

. . . . . . . . . . . . 35

2.6.5 Lois de Cauchy

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.6 Lois Gamma

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.7 Exercices sur les lois

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Esp´erances et calculs

3.1 Quelques rappels sur la construction de l"esp´erance

. . . . . . 41

3.2 Quelques propri´et´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Application : Formule de Poincar´e et in´egalit´es de Bonferroni

. 42

3.4 Int´egrale et queue de distribution

. . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Th´eor`emes de transfert

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.1 Calcul de l"esp´erance d"une variable al´eatoire discr`ete

. 46

3.5.2 Calcul de l"esp´erance d"une variable al´eatoire `a densit´e

3.6 Moments d"ordre 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6.1 Covariance et variance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6.2 Matrice de covariance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.3 Esp´erance et ind´ependance

. . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.7 Calculs de lois images

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7.1 Exemple fondamental

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7.2 Application aux lois gaussiennes

. . . . . . . . . . . . . 55

3.7.3 Application : convolution de deux lois `a densit´e

. . . . 56

TABLE DES MATI

`ERESiii . . . . . . . 57

3.8 Calcul des premiers moments des lois discr`etes usuelles

. . . . 58

3.8.1 Indicatrice d"un ´ev´enement

. . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.8.2 Loi binomiale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.8.3 Loi g´eom´etrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.8.4 Loi de Poisson

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8.5 Loi hyperg´eom´etrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.9 Calcul des premiers moments des lois `a densit´e usuelles

. . . . 63

3.9.1 Loi uniforme sur un segment

. . . . . . . . . . . . . . . 63

3.9.2 Loi gaussienne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.9.3 Lois Gamma

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.9.4 Lois exponentielles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.9.5 Lois de Cauchy

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.10 Exercice sur les esp´erances

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Fonctions g´en´eratrices et fonctions caract´eristiques

4.1 Fonctions g´en´eratrices des variables al´eatoires `a valeurs dansN

4.1.1 Fonction g´en´eratrice et ind´ependance

. . . . . . . . . . 69

4.1.2 Calculs de fonctions g´en´eratrices

. . . . . . . . . . . . . 70

Loi de Bernoulli

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Loi binomiale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Loi g´eom´etrique de param`etrep2]0;1[

. . . . . . . . . 70

Loi de Poisson

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.3 Fonction g´en´eratrice et loi

. . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.4 Application : convolution des lois de Poisson

. . . . . . 72

4.1.5 Fonction g´en´eratrice et esp´erance

. . . . . . . . . . . . 72

4.2 Fonctions caract´eristiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.1 Motivations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.2 Propri´et´es des fonctions caract´eristiques

. . . . . . . . 74

4.2.3 Fonction caract´eristique et ind´ependance

. . . . . . . . 75

4.2.4 Fonction caract´eristique et moments

. . . . . . . . . . 76

4.2.5 Fonctions caract´eristiques des variables al´eatoires `a va-

leurs dansN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.6 Quelques fonctions caract´eristiques de mesures `a densit´e

Loi uniforme sur [a;b]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Loi exponentielle de param`etre¸

. . . . . . . . . . . . 78

Variables al´eatoires gaussiennes

. . . . . . . . . . . . . 79

Lois de Cauchy

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Exercices sur les fonctions g´en´eratrices et les fonctions ca-

ract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ivTABLE DES MATI`ERES

5 Lois des grands nombres

5.1 In´egalit´es classiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1.1 In´egalit´e de Markov

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1.2 In´egalit´e de Tchebytchef

. . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2 Convergence presque sˆure

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.1 Rappels d"analyse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.2 Limites sup´erieures, inf´erieures d"ensembles

. . . . . . . 87

5.3 Convergence en probabilit´e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3.1 Comparaison avec les autres modes de convergence

. . 90 Convergence dansLpet convergence en probabilit´e . . 90 Convergence presque sˆure et convergence en probabilit´e 90

5.3.2 Loi faible des grands nombres

. . . . . . . . . . . . . . 92

5.4 Lemmes de Borel-Cantelli

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4.1 Premier lemme de Borel-Canteli

. . . . . . . . . . . . . 92

5.4.2 Deuxi`eme lemme de Borel-Cantelli

. . . . . . . . . . . 93

5.5 Loi forte des grands nombres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.5.1 La loi forte des grands nombres

. . . . . . . . . . . . . 94

5.5.2 Probabilit´es et fr´equences asymptotiques

. . . . . . . . 95

5.6 Exercices sur la convergence presque sˆure

. . . . . . . . . . . . 95

6 Vecteurs gaussiens

6.1 Image affine d"un vecteur gaussien

. . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2 Exemple fondamental

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3 Lois gaussiennes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4 Lois gaussiennes et ind´ependance

. . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.5 Lois gaussiennes `a densit´e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.6 Fonction caract´eristique des vecteurs gaussiens

. . . . . . . . . 103

6.7 Exercices sur les vecteurs gaussiens

. . . . . . . . . . . . . . . 104

7 Convergence en loi

107

7.1 Convergence en loi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.1.1 D´efinition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.1.2 Premiers exemples

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Un crit`ere de convergence en loi

. . . . . . . . . . . . . 108 Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson . 109 Convergence de la loi hyperg´eom´etrique vers la loi bi- nomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.1.3 Th´eor`eme du porte-manteau

. . . . . . . . . . . . . . . 110

7.1.4 Lien avec les autres modes de convergence

. . . . . . . 115

7.2 Convergence en loi surRngrˆace aux fonctions caract´eristiques

116

7.2.1 Crit`ere de convergence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

TABLE DES MATI

`ERESv

7.2.2 Th´eor`eme de continuit´e de L´evy

. . . . . . . . . . . . . 116

7.2.3 Une application du th´eor`eme de L´evy

. . . . . . . . . . 117

7.3 Th´eor`eme de la limite centrale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

[PDF] Ann´ee universitaire 2002-2003 UNIVERSITE D’ORL´ EANS

Ann´ee universitaire 2002-2003

UNIVERSIT

´E D"ORL´EANS

Olivier GARET

MA6.06 : Mesure et Probabilit´es

Table des mati`eres

Table des mati`eres

1 Un peu de th´eorie de la mesure

1.1 Tribus

1.1.1 Axiomes de base

1.1.2 Propri´et´es

1.1.3 Sous-tribus

1.1.4 Op´erations sur les tribus

Intersection de tribus

Tribu engendr´ee par une famille de tribus

Tribu engendr´ee par une famille d"ensembles

Tribu produit

1.2 Espace probabilis´e

1.3 Partitions et probabilit´es

1.4 Probabilit´e conditionnelle

1.4.1 Conditionnements en chaˆıne

1.4.2 Conditionnement par tous les cas possibles

1.4.3 Formule de Bayes

1.5 Ind´ependance

´Ev´enements ind´ependants

1.5.2 Tribus ind´ependantes

1.5.3 Ind´ependance et tribus engendr´ees

1.6 Exercices de th´eorie de la mesure

2 Lois des variables et des vecteurs al´eatoires

2.1 D´efinition

2.1.1 Fonction de r´epartition

2.1.2 Tribu engendr´ee par une ou plusieurs variables al´eatoires

2.2 Ind´ependance des variables al´eatoires

2.2.1 Application : loi 0¡1 de Kolmogorov

2.3 Variables al´eatoires discr`etes

2.3.1 Fonction d"une variable al´eatoire discr`ete

2.4 Variables et vecteurs al´eatoires `a densit´e

2.4.1 Premi`eres propri´et´es

2.4.2 Densit´es et lois marginales

2.4.3 Ind´ependance et densit´es

2.5 Variables et lois discr`etes classiques

2.5.1 Indicatrice d"un ´ev´evenement

2.5.2 Masse de Dirac

2.5.3 Loi de Bernoulli

2.5.4 Loi uniforme sur un ensemble

2.5.5 Loi binomiale

2.5.6 Loi g´eom´etrique

2.5.7 Loi de Poisson

2.5.8 Loi hyperg´eom´etrique

2.6 Lois `a densit´e usuelles

2.6.1 Loi uniforme sur un compact deRd

2.6.2 Loi uniforme sur un intervalle

2.6.3 Loi gaussienne de param`etresmet¾2

2.6.4 Loi exponentielle de param`etresa

2.6.5 Lois de Cauchy

2.6.6 Lois Gamma

2.7 Exercices sur les lois

3 Esp´erances et calculs

3.1 Quelques rappels sur la construction de l"esp´erance

3.2 Quelques propri´et´es

3.3 Application : Formule de Poincar´e et in´egalit´es de Bonferroni

3.4 Int´egrale et queue de distribution

3.5 Th´eor`emes de transfert

3.5.1 Calcul de l"esp´erance d"une variable al´eatoire discr`ete

3.5.2 Calcul de l"esp´erance d"une variable al´eatoire `a densit´e

3.6 Moments d"ordre 2

3.6.1 Covariance et variance

3.6.2 Matrice de covariance

3.6.3 Esp´erance et ind´ependance

3.7 Calculs de lois images

3.7.1 Exemple fondamental

3.7.2 Application aux lois gaussiennes

3.7.3 Application : convolution de deux lois `a densit´e

TABLE DES MATI

3.8 Calcul des premiers moments des lois discr`etes usuelles

3.8.1 Indicatrice d"un ´ev´enement

3.8.2 Loi binomiale

3.8.3 Loi g´eom´etrique

3.8.4 Loi de Poisson