Exercice 1 : taux d’accroissement (2 points)
Exercice 1 : taux d’accroissement (2 points) a) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction f définie sur par : f(x) = 2x² - 3 en 1 En déduire le nombre dérivé de f en 1 b) Déterminer le taux d’accroissement de la fonction g définie sur par : g(x) = 3 x² + 1 en -2 En déduire le nombre dérivé de g en -2
Première ES Exercices fonctions numériques - dérivation
En utilisant le taux d’accroissement montrer que la fonction f est dérivable en a et déterminer f’(a) 1) f(x) = 1 – x² et a = 1 2) f(x) = 1 1 - x et a = 2 Exercice 3 : Construire la courbe représentative de la fonction f et tracer la tangente au point d’abscisse a de la courbe, après avoir calculé f’(a) a) f(x) = x3 et a = -1
Dérivation (acte 1)
Le taux d’accroissement de f entre a et a +h est le rapport t(h) défini par : t(h) = f(a +h) −f(a) h Définition : taux de variation Remarque : Si a et b sont deux réels distincts de l’intervalle I, le taux de variation de f entre a et b est le nombre f(b)−f(a) b −a A et M sont des points de C f d’abscisses respectives a et a
Fonctions affines Exercices corrigés
Rappel : Taux d’accroissement d’une fonction affine Soit une fonction affine définie par Alors, pour tous nombres et distincts (c’est-à-dire pour tous nombres et tels que ), le taux d’accroissement de la fonction est donné par la relation : Dès lors, on obtient que, pour tout ,
Limites de fonctions - Exo7 : Cours et exercices de
Autre méthode : si l’on sait que la limite d’un taux d’accroissement correspond à la dérivée nous avons une méthode moins astucieuse Rappel (ou anticipation sur un prochain chapitre) : pour une fonction f dérivable en a alors lim xa f(x) f(a) x a = f0(a): Pour la fonction f(x)= 3 p 1+x =(1+x)13 ayant f0(x)= 1 3 (1+x) 2 3 cela
CHAPITRE 3 : Dérivation
pour un taux de variation en posant y = f(x) Exemple : Estimer graphiquement le taux de variation entre 3 et 4,5 sur le schéma ci-contre 1 2 Taux de variation dans la vie courante 1 2 1 Approche économique : taux de variation et accroissement moyen Soit la fonction f (définie sur l’intervalle [0 ;2] par )=32 3−90 2+100
Intégrales et primitives
fonction aire Calculez maintenant la dérivée ou le taux d'accroissement de la fonction aire Et voilà que le résultat est la fonction originale Ce lien remarquable entre l'intégrale et la dérivée est devenu un outil inestimable, faisant de l'analyse la langue commune de la
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Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
1 Exercice 1 : PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP (2 points) a) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K par : f(x) = 2x² - 3 en 1.En déduire le nombre dérivé de f en 1.
b) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ J GpILQLH VXU K par : g(x) = 3 x² + 1 en -2.En déduire le nombre dérivé de g en -2.
Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = 2x² - x + 1 définie sur K et sa courbe $. a) GpPHUPLQHU OM YMOHXU GH I·-1). b) Montrer que la tangente T à $ MX SRLQP G·MNVŃLVVH -1 a pour équation y = -5x ² 1. c) Etudier le signe de la fonction g(x) = 2x² + 4x + 2 sur K. d) En déduire la position de T par rapport à $. Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -x² b) g : x - x c) h : x - x + 8 + x d) i : x x + 52x - 1
Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S2
2 Exercice 1 : PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP (2 points) a) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHment de la fonction f définie sur K par : f(x) = 3x² - 2 en -2.En déduire le nombre dérivé de f en -2.
b) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ J GpILQLH VXU K par : g(x) = 1 x² + 2 en 1.En déduire le nombre dérivé de g en 1.
Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = -x² + 2x - 1 définie sur K et sa courbe $. a) GpPHUPLQHU OM YMOHXU GH I·2B b) Montrer que la tangente T à $ MX SRLQP G·MNVŃLVVH 2 a pour équation y = - 2x + 3. c) Etudier le signe de la fonction g(x) = -x² + 4x - 4 sur K. d) En déduire la position de T par rapport à $. Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -2x3 b) g : x 5 x c) h : x 2x ² x² + 5 d) i : x 2x - 5 x + 1Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
CORRECTION
3 Exercice 1 : PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP (2 points) a) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K par : f(x) = 2x² - 3 en 1.En déduire le nombre dérivé de f en 1.
b) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ J GpILQLH VXU K par : g(x) = 3 x² + 1 en -2.En déduire le nombre dérivé de g en -2.
a) IH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP, pour h non nul, de la fonction f en 1 est : t(h) = f(1 + h) ² f(1) h = 2(1 + h)² - 3 ² (21² - 3) hSoit t(h) = 2(1 + 2h + h²) ² 3 ² 2 + 3
h = 2 + 4h + 2h² - 2 h = h(4 + 2h) h = 4 + 2h Le nombre dérivé de f en 1 est limh0 t(h) = 4 + 20 = 4GRQŃ I·1 4
b) IH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP, pour h non nul, de la fonction g en -2 est : t(h) =g(-2 + h) ² g(-2) h = 3 (-2 + h)² + 1 - 3 (-2)² + 1 h = 3 14 ² 4h + h² + 1- 1
5 hSoit t(h) = 3
5 (h² - 4h + 5)5- (h² - 4h + 5)5(h² - 4h + 5)
h= 3 h5 ² h² + 4h ² 55(h² - 4h + 5)
Soit t(h) = 3
hh(-h + 4)5(h² - 4h + 5)= 3
5-h + 4
h² - 4h + 5 Le nombre dérivé de g en 1 est limh0 t(h) = 3 545= 12 25
GRQŃ J·-2) = 12
25Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
CORRECTION
4Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = 2x² - x + 1 définie sur K et sa courbe $. a) GpPHUPLQHU OM YMOHXU GH I·-1). b) Montrer que la tangente T à $ MX SRLQP G·MNVŃLVVH -1 a pour équation y = -5x ² 1. c) Etudier le signe de la fonction g(x) = 2x² + 4x + 2 sur K. d) En déduire la position de T par rapport à $. a) I·[ 22x ² 1 = 4x ² 1I·-1) = 22(-1) ² 1 = -4 ² 1 = -5
b) Une équation de la tangente T à $MX SRLQP G·MNVŃLVVH -1 a pour équation : \ I·-1)(x ² (-1)) + f(-1). Or f(-1) = 2(-1)² - (-1 Ą 1 2 Ą 1 Ą 1 4 HP I·-1) = -5. Une équation de T est donc : y = -5(x + 1) + 4 = -5x ² 5 + 4 = -5x ² 1. c) g est une fonction polynôme de degré 2. g(x) = 2(x² + 2x + 1) =2(x + 1)² Or un carré est toujours positif ou nul et g(-1) = 2(-1 + 1)² = 20² = 0 GRQŃ J[ V·MQQXOH HQ [ -1 et est strictement positif pour x -1. d) f(x) ² (-5x ² 1) = 2x² - x + 1 ² (-5x ² 1) = 2x² - x + 1 + 5x + 1 f(x) ² (-5x ² 1) = 2x² + 4x + 2 = g(x). Or g(x) > 0 si x -1, donc $est au dessus de T pour x -1. Et pour x = -1, $ et T ont en commun le point de coordonnées (-1 ;-5) .Vérification graphique :
Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
CORRECTION
5 Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -x² b) g : x - x c) h : x - x + 8 + x d) i : x x + 52x - 1
a) f est définie et dérivable sur K HP I·[ -2x b) g est définie et dérivable sur K \ {0} = K* HP J·[) = - -1 x² = x² c) h est définie sur ] - ;0] = K+ et dérivable sur ]- 0L HP O·[ -1 + 1 2x d) i est définie et dérivable sur K \ 1 2.Pour x K \
12, on pose i(x) = u(x)
v(x) avec u(x) = x + 5 et v(x) = 2x ² 1. On a alors L·[ X·(x)v(x) ² u(x)Y·(x) (v(x))².2U X·[ 1 HP Y·[ 2
GRQŃ L·[ 1(2x ² 1) ² (x + 5)2
(2x ² 1)² = 2x ² 1 ² 2x ² 10 (2x ² 1)² = - 11 (2x ² 1)²Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S2
CORRECTION
6 Exercice 1 : PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP (2 points) a) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K par : f(x) = 3x² - 2 en -2.En déduire le nombre dérivé de f en -2.
b) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ J GpILQLH VXU K par : g(x) = 1 x² + 2 en 1.En déduire le nombre dérivé de g en 1.
a) IH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP SRXU O QRQ QXO GH OM IRQŃPLRQ I HQ -2 est : t(h) = f(-2 + h) ² f(-2) h = 3(-2 + h)² - 2 ² (3(-2)² - 2) hSoit t(h) = 3(4 ² 4h + h²) ² 2 - 12 + 2
h = 12 ² 12h + 3h² - 12 h = h(-12 + 3h) h t(h) = -12 + 3h. Le nombre dérivé de f en 1 est limh0 t(h) = -12 + 0 = -12GRQŃ I·-2) = -12
b) IH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP SRXU O QRQ QXO GH OM IRQŃPLRQ J HQ 1 HVP : t(h) =g(1 + h) ² g(1) h = 1 (1 + h)² + 2 - 11² + 2
h = 11 + 2h + h² + 2 ² 1
3 h t(h) = 3 (h² + 2h + 3)3h - h² + 2h + 33h(h² + 2h + 3) = 3 ² h² - 2h ² 3
3h(h² + 2h + 3) = -h(h + 2)
3h(h² + 2h + 3)
Soit t(h) = - h + 2
3(h² + 2h + 3)
Le nombre dérivé de g en 1 est limh0 t(h) = - 0 + 23(0² + 20 + 3) = - 2
9Donc g·(1) = - 2
9Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S2
CORRECTION
7Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = -x² + 2x - 1 définie sur K et sa courbe $. a) GpPHUPLQHU OM YMOHXU GH I·2B b) Montrer que la tangente T à $ MX SRLQP G·MNVŃLVVH 2 M SRXU pTXMPLRQ \ - 2x + 3. c) Etudier le signe de la fonction g(x) = -x² + 4x - 4 sur K. d) En déduire la position de T par rapport à $. a) f'(x) = - 2x + 2 et I·2 -22 + 2 = -2 b) Une équation de la tangente T à $MX SRLQP G·MNVŃLVVH 2 a pour équation : \ I·-2)(x - 2) + f(2). Or f(2) = -2² + 22 - 1 = -4 + 4 - 1 = -1 HP I·2) = -2. Une équation de T est donc : y = -2(x - 2) - 1 = -2x + 4 - 1 = -2x + 3. c) g est une fonction polynôme de degré 2. g(x) = - (x² - 4x + 4) = - (x ² 2)² Or un carré est toujours positif ou nul et g(2) = -(2 - 2)² = - 0² = 0 GRQŃ J[ V·MQQule en x = 2 et est strictement négatif pour x 2.d) f(x) ² (-2x + 3) =-x² + 2x - 1 ² (-2x + 3) = -x² + 2x - 1 + 2x ² 3 = -x² + 4x - 4
f(x) ² (-2x + 3) = g(x). Or g(x) < 0 si x 2, donc $est en dessous de T pour x 2. Et pour x = 2, $ et T ont en commun le point de coordonnées (2 ; -2) .