Chapitre 5 : Les annuités
=(1+) et comprenant n termes La formule devient =(1+) Exemple Quelle est la valeur actuelle au taux d’actualisation de 6 d’une suite d’annuité constante de 1 500 dh versées à la fin de chaque année pendant 7 ans La valeur actuelle de cette suite d’annuité = B Les annuités constantes de début de période 1 La valeur acquise
LES ANNUITÉS Calculer la valeur acquise par des annuités
• Méthode : la valeur acquise au moment du dernier versement constant est donnée par la formule ( ) V a i n i n = 1+ −1 avec : a : versement périodique en début de période i : taux périodique n : nombre de versements Vn : valeur acquise au dernier versement • Solution : a =5 000 ; i =0,06 ; n =5 ; V aleur acquise au 5e versement : V
Cours Mathématiques financières 3 Financement et emprunts
Une annuité est constituée de l'amortissement de l'emprunt (part remboursée) + l'intérêt qui est calculé sur la somme prêtée au cours de la période Il existe deux modes de calcul des remboursements : l’amortissement constant (peu utilisé) et l’annuité constante
Annuités - Académie de Poitiers
1° - Formule : V0 = a t 1−(1+t)− n a: versement constant n: nombre de versements t : taux par période V0: valeur actuelle une période avant le premier versement 2° - Exercices d’application : 1 – Pour acheter une voiture, on paie une partie comptant et une partie à crédit
Remboursement d’un emprunt par annuités constantes
formule à placer en B7 ? Quelles formules, destinées à être recopiées vers le bas faut-il placer dans les cellules C7, D7, E7, F7, B8 ? Cellule Formule C7 D7 E7 F7 B8 2 En procédant par approximations successives quel est le montant de l’annuité qui fera en sorte que la cellule E16 contienne la valeur 0 3
Chapitre I : Annuité et Rente I Généralités
3) Rente temporaire immédiate à terme constant Une rente est dite immédiate, lorsque la date d’évaluation précède d’une période le 1 er des n versements constants égaux à a (a étant la valeur de chaque versement) Dans ce cas la date d’évaluation est confondue à la date d’origine
Mathématique financière Sous le thème Les annuités variables
Rappel : formule Bref : • Annuité en suite arithmétique : S =(x+1) u0 (x+1) r 2 • Annuité en suite géométrique : S = u0∑ k=0 n qk = u 0 qn+1−1 q−1 II Valeur acquise par des annuités en suite géométrique : a Cas : début de période Encore appelée valeur future représente le montant capitalisé période
Remboursement d’un emprunt par annuités constantes
l’annuité de manière à ce que le prêt soit totalement remboursé au bout de 10 ans 1 Réaliser sur tableur la feuille de calcul suivante : Les données seront à rentrer dans les cellules C1, C2 et C3 Les cellules de la zone (A7 : F16) ne contiennent que des formules 2
C Terrier 1 5 10/10/2007
Amortissement = Annuité - Intérêt Valeur net = Emprunt restant d^en début de période – Amortissement de l’année Exemple illustré : Le 1 janvier un emprunt de 20 000 € est contracté auprès de la banque Durée 4 ans ; taux 5 , L'amortissement est constant ; l'annuité dégressive Formule de calcul : 20000*0,05/(1-(1,05)^-4)
Chapitre 13 Les mathématiques financières
ficateur financier a recours à un ensemble de techniques de calcul que l’on ap-pelle mathématiques financières ou mathématiques de l’intérêt Celles-là font l’objet du présent texte De façon particulière, après sa lecture, vous pourrez: 1 calculer la valeur capitalisée ou future d’un montant fixe ou d’une série de
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cterrier 1 / 6 11/04/2023 Cours Mathématiques financières
Auteur : C. Terrier ; mailto:webmaster@cterrier.com ; http://www.cterrier.com Utilisation : Reproduction libre pour des formateurs dans un cadre pédagogique et non commercial3. Financement et emprunts
3.1. Les emprunts
Les investissements sont généralement financés par des emprunts, qui sont ensuite remboursés par annuités ou
mensualités. Une annuité est constituée de l'amortissement de l'emprunt (part remboursée) + l'intérêt qui est
calculé sur la somme prêtée au cours de la période.Il existe deux
Amortissement constant (annuité dégressive)
Amortissement = Emprunt/nombre annuité.
Intérêt
Annuité = Amortissement + Intérêt
Valeur net = Emprunt restant d^en début de périodeExemple illustré :
Le 1 janvier un emprunt de 20 est contracté auprès de la banque. Durée 4 ans ; taux 5 %, L'amortissement est constant ; l'annuité dégressiveAnnées Emprunt
restant dû Intérêt Amortissement Annuité Valeur netteAnnée 2 20 1 5 6 15
Année 3 15 5 5 75 10
Année 4 10 5 5 5 5
Année 5 5 5 5 25
1 000 = 20 000*5% 5 000 = 20 000/4 6 000=5 000+1 000 15 000=20 000-5 000
Exercice 1 Le 1er janvier un emprunt d est contracté auprès de la banque. Durée 5 ans ; taux 10 %,
L'amortissement est constant ; l'annuité dégressiveAnnées Emprunt
restant dû Intérêt Amortissement Annuité Valeur netteCette solution es
cterrier 2 / 6 11/04/2023Annuités constantes
Á chaque échéance
Annuité Formule : a = C x _____i____
1-(1 + i) -n
Table est obtenue en cherchant le coefficient qui se trouve à l'intersection du taux de l'emprunt et du nombre d'annuités (colonne de gauche) puis en multipliant le coefficient par le montant de l'emprunt contracté. de 10 %, coèf. = 0,162745 ; annuité = 100 000 * 0,162745 = 16 274,50Intérêt
Amortissement = Annuité - Intérêt
Valeur nette = Emprunt restant en début de périodeExemple illustré :
Le 1er janvier un emprunt de 20 est contracté auprès de la banque. Durée 4 ans ; taux 5 %, L'amortissement est variable ; l'annuité constanteFormule de calcul : 20 000*0,05/(1-(1,05)^-4)
1000 = 20 000*5% 4 640,24 = 5 640,24-1 000 15 359,76=20 000-4 640,24
Exercice 2 Le 1er est contracté auprès de la banque. Durée 5 ans ; taux 10 %. L'annuité est constante ; l'amortissement dégressifAnnées Emprunt
restant du Intérêt Amortissement Annuité Valeur nette cterrier 3 / 6 11/04/2023Exercice 3
Le 1 est contracté auprès de la banque. Durée 8 ans ; taux 12 %Travail à faire :
1 - Faire le tableau des annuités de cet emprunt en envisageant les deux possibilités de remboursement.
Annuités dégressives
Années Emprunt
restant du Intérêt Amortissement Annuité Valeur netteAnnuités constantes
Années Emprunt
restant du Intérêt Amortissement Annuité Valeur nette1 - Faire le tableau des annuités de cet emprunt en envisageant les deux possibilités de remboursement.
2 cterrier 4 / 6 11/04/2023Mensualités constantes
Pour calculer des mensualités vous devez :
remplacer le taux annuel par le taux mensuel : taux mensuel = taux annuel / 12 remplacer la durée exprimée en année par une durée exprimée en mois : n X 12 Formule de calcul de la mensualité : m = C x i -1 (1 + i) n
Exemple illustré : Mensualités,
Le 1er janvier un emprunt de 20 est contracté auprès de la banque. Durée 4 ans ; taux 5 %, L'amortissement est variable ; la mensualité constante5 % => 0,05 / 12 = 0,004166
Nombre de mois = 4 ans * 12 = 48 mensualités
Formule de calcul :
83,33 = 20000*0,004166 377,25 = 460,59-83,33 19622,75=20000-377,25
Exercice 4
Le 1er janvier un emprunt de 1 est contracté auprès de la banque. Durée 3 ans ; taux 9 %Travail à faire :
1 Présenter les 3 premières lignes du tableau emprunt (mensualités constantes)
2 Programmer ce tableau sous Excel
Mois Emprunt restant du Intérêt Amortissement Mensualité Valeur netteTrimestrialités, semestrialités
Trimestrialité :
Remplacer le taux annuel par le taux trimestriel : taux mensuel = taux annuel / 4 Remplacer la durée exprimée en année par une durée exprimée en trimestre : n X 4Exemple :
Le 1 janvier un emprunt de 20 est contracté auprès de la banque. Durée 4 ans ; taux 5 %,Nombre de trimestres = 4 ans * 4 = 16 trimestres
Formule de calcul : 20000*0,0125/(1-(1,0125)^-16)
cterrier 5 / 6 11/04/2023Semestrialités :
Remplacer le taux annuel par le taux semestriel : taux mensuel = taux annuel / 2 Remplacer la durée exprimée en année par une durée exprimée en semestre : n X 2Exemple :
Le 1 janvier un emprunt de est contracté auprès de la banque. Durée 4 ans ; taux 5 %,5 % => 0,05 / 2 = 0,025
Nombre de semestres = 4 ans * 2 = 8 semestres
Formule de calcul : 20000*0,025/(1-(1,025)^-8)
Attention
donné. Un piège fExemple :
fait une demandeauprès de sa banque qui accepte de financer au maximum 80 % du montant arrondi au millier supérieur.
Calculer le montant du prêt.
Solution
Montant HT = 200 000/1,196 = 167 HT
Prêt maximum de 224,08 *80% = 133 779,26
Arrondi au millier supérieur => 134
Exercice 5 : Sujet BTS AG
La société Amphénol acheter un robot industriel pour réduire les temps de productions. Elle envisage de
le financer par un emprunt bancaire aux conditions suivantes :Autofinancement exigé par la banque
Durée : 4 ans
Taux annuel : 9 %
Remboursement : mensualité constante
Formule de calcul de la mensualité : m = C x i - (taux mensuel = taux annuel / 12)
1 (1 + i) n
Présenter les quatre premières li
Années Emprunt restant du Intérêt Amortissement Annuité Valeur nette cterrier 6 / 6 11/04/20233.2 Choix de financement
Pour choisir entre deux solutions de financement la solution consiste à calculer les coûts financiers de chaque
solution et de les comparer. La solution retenue sera celle dont le coût est le plus faible.Dans le cadre de cet exemple nous travaillerons sans actualiser les sommes. Cette option sera étudiée dans le
dossier suivant.Exercice 6
Une société a le choix pour financer un investissement entre deux prêts proposé par deux banques :