1 Ouvert, ferm e, compact
0 et de rayon rl’ensemble B (x 0;r) = fx2E;d(x;x 0) rg: D e nition 1 Une partie U de Eest un ouvert de Esi pour tout x2U il existe ">0 tel que B(x;") ˆU 2 Une partie Fde Eest un ferm e de Esi et seulement si son compl ementaire Fc dans Eest ouvert Proposition Soit Eun espace m etrique et Fune partie de E Alors Fest ferm e si et
I Ouverts, ferm´es
En g´en´eral on dit qu’une fonction f v´erifie une certaine propri´et´e dans un voisinage de P si cette propri´et´e est satisfaite au moins dans un ensemble ouvert contenant P 1 Etablir si les fonctions f : R→Rsuivantes sont positives au voisinage de l’origine : f(x) = (sin(1 /x ), x 6= 0 1, x = 0, g (x) = (1+ xsin(1 /x ), x 6
Topologie
c)ComparerA∪BetA¯ ∪B¯ d’unepartpuisA∩BetA¯ ∩B¯ d’autrepart Exercice 22 [ 01115 ] [correction] Montrerquesi F estunsous-espacevectorielde E alorssonadhérence F ¯ est
1 Espaces m´etriques 1 Distance, boules, ouverts, ferm´es
ouvert contenu dans A (au sens de la relation d’inclusion): O ⊂ A et O ouvert ⇒ O ⊂ ˚A En particulier A est ouvert si et seulement si A = int(A) Fronti`ere Si A ⊂ E, on appelle ”fronti`ere de A”, et on note Fr(A) ou ∂A l’ensemble des points x ∈ E tels que tout ouvert O de E contenant x v´erifie: O ∩A 6= ∅ et O ∩Ac
TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE - Université Paris-Saclay
ouvert et ferm´e dans E Proposition 19 Un sous-ensemble de R est connexe si et seulement si c’est un intervalle Preuve D’apr`es l’exercice 17, un sous ensemble connexe E de R a la propri´et´e suivante : pour tous a, b ∈ E, ]a,b[⊂ E Autrement dit, il est convexe D’apr`es la Proposition 21 du chapitre sur
Partie de Un€N*
Donc est ouvert équivalemment est fermé un fermé de Fr( = \ = ensemble des points contenus dans une boule qui rencontre à la fois et son complémentaire Comme est fermé, = On a aussi vérifié que ≠ Ø Donc Fr( = \Ø = E = Un€N* [0, 1- + = *0,0+ u *0, ½+ u [0,2/3] 0 ½
Corrigé de la feuille d’exercices no5
2 On montre facilement que B est fermé, et donc que B = B D’autre part, B= ∅ En effet, si (x;y) 2 B, il existe une suite (xn;yn) qui n’est pas dans B et qui converge vers x, par exemple xn = x+ 1 n et yn = y, on a xnyn = 1+ y n ̸= 1 puisque y ̸= 0 3 On remarque d’abord que cet ensemble est ouvert (le plus facile est de dire qu
Exercices de licence - univ-lillefr
Exercice 5 Soit Xun espace topologique, et fune application quelconque de Xdans un ensemble Y On dit qu’une partie Ade Y est ouverte, si f −1 (A) est un ouvert de X V´erifier qu’on a d´efini ainsi une topologie sur
12 Intérieur,adhérence - Cayrel
fermé, et, de même, ] 1 ;a] est fermé Proposition 1 2 1 a) Aest un ouvert contenu dans A: b)Si Uest un ouvert et U ˆA;alors U ˆ A Autrement dit, Aest le plus grand ouvert contenu dans A: a’) Aest un fermé contenant A: b’)Si Fest un fermé et F ˙A;alors F ˙A:Autrement dit, Aest le plus petit fermé contenant A: Preuve a)
Correction du contrˆole continu N 1
Un ensemble qui peut pas contenir un intervalle ouvert non triviale de R (comme Z) est forc´ement d’int´erieur vide : Int(Z) = ∅ A 1 est un ensemble discret et il est clair qu’il ne peux pas contenir un intervalle ouvert non triviale de R et il est forc´ement d’int´erieur vide
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