Espaces topologiques - Claude Bernard University Lyon 1
Soit (X,T ) un espace topologique Un ensemble F⊂ Xest fermé si son complémentaire Fc est ouvert, c -à -d si Fc∈ T Exemple 9 ∅ et Xsont à la fois ouverts et fermés Proposition 3 Dans un espace de Hausdorff Xtout ensemble fini est fermé Démonstration Il suffit de montrer que {x} est fermé, où x∈ X Soit y∈ {x}c (on
1 Ouvert, ferm e, compact
0 et de rayon rl’ensemble B (x 0;r) = fx2E;d(x;x 0) rg: D e nition 1 Une partie U de Eest un ouvert de Esi pour tout x2U il existe ">0 tel que B(x;") ˆU 2 Une partie Fde Eest un ferm e de Esi et seulement si son compl ementaire Fc dans Eest ouvert Proposition Soit Eun espace m etrique et Fune partie de E Alors Fest ferm e si et
Partie de Un€N*
Donc est ouvert équivalemment est fermé un fermé de Fr( = \ = ensemble des points contenus dans une boule qui rencontre à la fois et son complémentaire Comme est fermé, = On a aussi vérifié que ≠ Ø Donc Fr( = \Ø = E = Un€N* [0, 1- + = *0,0+ u *0, ½+ u [0,2/3] 0 ½
Corrigé de la feuille d’exercices no5
2 On montre facilement que B est fermé, et donc que B = B D’autre part, B= ∅ En effet, si (x;y) 2 B, il existe une suite (xn;yn) qui n’est pas dans B et qui converge vers x, par exemple xn = x+ 1 n et yn = y, on a xnyn = 1+ y n ̸= 1 puisque y ̸= 0 3 On remarque d’abord que cet ensemble est ouvert (le plus facile est de dire qu
I) Les intervalles de 9 - AlloSchool
intervalle est à la fois ouvert et fermé II) Intersections et réunions d’intervalles 1) Intersections a) Définition Soit q et r deux ensembles quelconques On appelle intersection de q et r, et on note ∩, l’ensemble des éléments qui sont communs à q et r En d’autres termes, est un élément de ∩ si et seulement si est un
204:connexitéExemples et applications
3 outT ensemble à la fois ouvert et fermé est galé à Xou l'ensemble vide 4 outeT fonction ontinuec de Xdans f0;1gest onstante c Une sous-partie de X, notée A est dite onnexec ssi elle véri e une des proprités quiévalentes dentes éprcé Exemple 1 Q 'estn asp un espace onnexe c outT intervalle de R est onnexe c Dans R2 l'ensemble
Exercices de licence - univ-lillefr
Exercice 5 Soit Xun espace topologique, et fune application quelconque de Xdans un ensemble Y On dit qu’une partie Ade Y est ouverte, si f −1 (A) est un ouvert de X V´erifier qu’on a d´efini ainsi une topologie sur
Exercices de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de
Montrer que tout ouvert de R est union dénombrable d’intervalles ouverts deux à deux disjoints (Indication : si x 2O ouvert, considérer J x qui est l’union des intervalles ouverts inclus dans O et contenant x) Énoncer un résultat similaire pour les ouverts de Rn Indication H Correction H [002341] Exercice 3
Cours 08 : Topologie (A) - mpbertholletfileswordpresscom
qui fait que ‘ n’est pas un point intérieur à E \F, et que donc cet ensemble n’est pas un ouvert de E F n’est alors pas fermé (˘ Si F n’est pas fermé, E \ F n’est pas ouvert, et donc il existe ‘ 2 E \ F tel que pour tout n 2 N⁄,B(‘,1/n) n’est pas incluse dans E\F, ce qui s’écrit encore B(‘,1/n)\F 6˘; En notant
Habiter l’école Lieu ouvert, lieu fermé
et au rôle qu’il est amené à revêtir entre ses murs L’école est donc fondamentalement un lieu « public », aux va-et-vient ininterrompus et, pour reprendre Olivier Lazzarotti avec lequel nous avons conçu ce numéro, « un lieu en mouvement et un lieu de mouvements » Un espace à la fois ouvert, et fermé
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