Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré ETUDE DE LA
Concavité de la parabole • Une parabole est tournée vers le haut si le coefficient de x2 est positif • Une parabole est tournée vers le bas si le coefficient de x2 est négatif Racines (ou zéros) de la parabole Une parabole possède 0, 1 ou 2 racines (ou zéros) Racine(s) d'une fonction • Graphiquement : point(s) d'intersection
CHAPITRE 13 : FONCTIONS POLYNÔME DU SECOND DEGRE
Alors f admet un extremum pour 2 b x a • Les coordonnées du sommet de la parabole sont ( ; )DE avec : 2 b a D et ED f() • fx() peut également s’écrire sous la forme f x a x( ) ( ) DE2 Cette expression est appelée « forme canonique » de Méthode : Déterminer les coordonnées de l’extremum d’une fonction polynôme de degré 2
ère TD no 3 : Second degré - Boss en Maths
et extremum d’une parabole Objectif : •Appliquer la méthode qui permet de mettre sous forme canonique un trinôme à partir de sa forme développée •A partir de la forme canonique, conclure sur les variations de la parabole Énoncé : On étudie la fonction fdéfinie sur R par : f: x7 f(x) = 2x2 8x+1 1 Mettre la fonction sous forme
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
III Extremum La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées Définition : Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est appelé le sommet de la parabole Exemple : La fonction f définie sur ℝ par fx x x() 4=−2 + admet un maximum
Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c
• Rechercher des caractéristiques d'une fonction du deuxième degré • Rechercher des caractéristiques d’une parabole d’axe vertical • Résoudre une équation du deuxième degré • Établir le tableau de signe d’une fonction du second degré 4TQ 1/7
Exercice 1 : Optimisation de bénéfice x [0 ; 60]
0n rappelle que l’extremum d’une parabole est obtenu pour 2 b x a , nul besoin ici de chercher les racines de ce polynôme 2 Chaque objet fabriqué est vendu au prix unitaire de 34 euros Calculer, en fonction de x, la recette R(x) 3 Justifier que le bénéfice réalisé pour la production et la vente de x objets est donné, pour [0 ; 60],
CHAPITRE 1 : Fonctions du second degré
2 Représentation graphique, variation, extremum d’une fonction polynôme du second degré f 2 1 Représentation graphique Dans un repère du plan, la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré f est une parabole de sommet S(α ;β) avec =− 2 et β = f(α) Elle admet pour axe de symétrie
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
, la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole M est le sommet de la parabole Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f La parabole possède un axe de symétrie Il s'agit de la droite d'équation x=α Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2
Extremums d’une fonction - Parfenoff org
Extremums d’une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans , et y deux réels • y est le maximum de sur D si et seulement si : ; Q pour tout de D, et s’il existe un réel » dans D tel que : » ; L
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1 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSECOND DEGRÉ (Partie 1) I. Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur
par une expression de la forme : f(x)=ax 2 +bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a≠0. Remarque : Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples : -
f(x)=3x 2 -7x+3 g(x)= 1 2 x 2 -5x+ 5 3 h(x)=4-2x 2 k(x)=(x-4)(5-2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x)=5x-3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). - n(x)=5x 4 -3x 3 +6x-8est une fonction polynôme de degré 4. II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur
par f(x)=ax 2 +bx+c peut s'écrire sous la forme : f(x)=ax-α 2 , où α et βsont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. La forme canonique d'une fonction est de la forme :
f(x)=J(x - J)2 + J où J, J et J sont des nombres réels. Exemples : f(x)=32x-1()2+4 g(x)=-2x+5()2-4 h(x)=-3x-5()2-12
2 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Démontrer qu'une expression est la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/M3vCMgYzvM8 Soit la fonction f définie sur
par : f(x)=2x 2 -20x+10. Démontrer que 2x-5()2-40est la forme canonique de f. 2x-5()2-40=2x2-10x+25()-40=2x2-20x+50-40=2x2-20x+10=f(x) III. Variations et représentation graphique Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par :
f(x)=2x-1 2 +3Alors :
f(x)≥3 car 2x-1 2 est positif. Or f(1)=3 donc pour tout x, f(x)≥f(1). f admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par
f(x)=ax-α 2 , avec a≠0 . - Si a>0 , f admet un minimum pour x=α . Ce minimum est égal à β . - Si a<0 , f admet un maximum pour x=α . Ce minimum est égal à β . Remarque : Soit la fonction f définie sur par : f(x)=ax 2 +bx+c , avec a≠0. On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour
x=- b 2a . - Si a>0 : x -∞ f(x) β3 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr - Si
a<0 : x -∞ f(x) β Dans un repère orthogonal O,i ,j, la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole. M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation x=α. Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/pXWDPw3B3ms Soit la fonction f définie sur par
f(x)=-x 2 +4x. 1) Démontrer que -x-2()2+4 est la forme canonique de f. 2) Représenter graphiquement la fonction f.
4 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1) -x-2()2+4=-x2-4x+4()+4=-x2+4x-4+4=-x2+4x=f(x) 2) On a donc f(x) = -(x - 2)2 + 4 f admet donc un maximum pour x = 2. Ce maximum est égal à égal à 4. Il est possible de le vérifier : ()
2 (2)2244 f=--+= . Les variations de f sont donc données par le tableau suivant : x -∞2 +∞
f(x) 4 On obtient la courbe représentative de f : Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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