Transformations géométriques : rotation et translation
Définir l’opération de rotation •Correspond à déplacer un point (vecteur), avec une rotation autour de l’origine, d’un angle q antihoraire •Opération linéaire* : multiplication de matrice 179 x y q 21 cos sin, sin cos R P RP qq qq P 1 *Le calcul des cos/sin n’est pas linéaire, mais l’application de la rotation R l’est
Fabio MORBIDI - UPJV
Matrice de rotation autour de l’axe x d’un angle Remarque: Pour les rotations élémentaires, la propriété suivante est vérifiée: R x(γ)= ⎡ ⎢ ⎣ 10 0 0cosγ −sinγ 0sinγ cosγ ⎤ ⎥ ⎦ R y(β)= ⎡ ⎢ ⎣ cosβ 0sinβ 010 −sinβ 0cosβ ⎤ ⎥ ⎦ R k(−θ)=RT k (θ),k∈{x,y,z} Matrice de rotation autour de l’axe y d
Matrices de transformation entre vecteurs, repères et torseurs
La matrice A représente la rotation alors que la matrice colonne P représente la translation Pour une transformation de translation pure, A = I3 (I3 représente la matrice unité d'ordre 3), tandis que pour une transformation de rotation pure, P = 0 Les éléments de la matrice A représentent les cosinus directeurs Elle ne contient
Introduction a la Robotique` - unistrafr
La matrice R= (x0 y0 z0) de dimension 3 × 3 est appel´ee matrice de rotation (ou encore matrice de passage ou matrice de changement de base) du repere` R vers le repere` R0 Elle peut en effet etre vue comme la matrice rendant compte de la rotationˆ d’un solide li´e a un rep` ere orthonorm` ´e, initialement en R, et deplac´ ´e en R0
Transformations de corps rigides - Université Laval
Si nous considérons maintenant une suite quelconque de transformations de rotation, translation et/ou de changement d'échelle, cette suite de transf ormations ou composition de transformations de base est dite “transformation affine” Elle est représentée à partir de la matrice M où la sous-matrice 3x3 supérieure gauche
IMN428 - Chapitre 2 - Transformations géométriques
de la matrice 2 4 i j k Px Py Pz 7 Changement de repère 8 Références Transformations géométriques 22 / 104 Coordonnées cartésiennes En trois dimensions,
21 Changement de base
2 1 Changement de base Il faut bien garder à l'esprit que la matrice d'une application linéaire est une représentation de celle-ci qui dépend du choix des bases au départ et à l'arrivée
Les transformations géométriques du plan
3 Soit M la matrice de transformation projective des points du plan Quelle est la matrice de transformation des droites ? 3 Composition des transformations de base À l’aide des coordonnés homogènes, les transformations du plan se composent par simple multiplication Par exemple, pour la rotation autour d’un point A de coordonnées (xa
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IMN428
Chapitre 2 - Transformations géométriques
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
22 janvier 2014
Transformations géométriques1 / 104
Plan de la présentation
1Vecteurs et matrices
2Systèmes de coordonnées
3Transformations affines 2D
4Transformations affines 3D
5Gestion des matrices dans OpenGL
6Transformation fenêtre clôture
7Changement de repère
8Références
Transformations géométriques2 / 104
Vecteurs et matrices
1Vecteurs et matrices
2Systèmes de coordonnées
3Transformations affines 2D
4Transformations affines 3D
5Gestion des matrices dans OpenGL
6Transformation fenêtre clôture
7Changement de repère
8Références
Transformations géométriques3 / 104
Propriétés des vecteurs
Les vecteurs sont utiles pour représenter despositions(points, objets, caméra), desorientations(directions, normales), des mouvements(translation), desinformations sur les surfaces (couleur, propriétés lumineuses) etc. Dans le cours d"infographie, on rencontrera des vecteurs à2, 3 et 4 dimensions:(x;y),(a;b;c),(;; ;).Transformations géométriques4 / 104Propriétés des vecteurs
Soient deux scalaires,aetbet 3 vecteurs,P,QetR. On a les propriétés suivantes : (a)P+Q=Q+P (b)(P+Q) +R=P+ (Q+R) (c)(ab)P=a(bP) (d)a(P+Q) =aP+aQ (e)(a+b)P=aP+bPTransformations géométriques5 / 104Propriétés des vecteurs
Les vecteurs s"additionnent et se soustraientcomposante à composante, c"est-à-dire que siP= (P1;P2;:::;Pn)etQ= (Q1;Q2;:::;Qn);
alors P+Q= (P1+Q1;P2+Q2;:::;Pn+Qn):Transformations géométriques6 / 104Propriétés des vecteurs
On évalue l"amplitude(ou lanorme) d"un vecteurVde dimensionn avec la formule jVj=v uutn X i=1V 2i: Par exemple, dans le cas d"un vecteur de dimension 3(Vx;Vy;Vz), on aura jVj=qV2x+V2y+V2z:
Un vecteur ayant une norme de 1 sera ditvecteur unitaire.Transformations géométriques7 / 104Propriétés des vecteurs
Soit un scalaireaet deux vecteursPetQ. On a les propriétés suivantes : (a)jPj 0 (b)jPj=0 si et seulement siP= (0;0;:::;0) (c)jaPj=jajjPj (d)jP+Qj jPj+jQjCette dernière propriété porte le nom d"inégalité du triangle.Transformations géométriques8 / 104
Propriétés des vecteurs
Un vecteurVnon nul (au moins une des composantes doit être différente de 0) peut être ramené à un vecteur unitaire en le multipliant par1jVj. Cette opération s"appelle lanormalisation.
Attention à ne pas confondre la normalisation avec le concept de vecteur normal. Un vecteur normal est un vecteur perpendiculaire à une surface en un point donné.Transformations géométriques9 / 104
Produit scalaire
Leproduit scalairesert à mesurer ladifférence entre deux directionsdonnées par des vecteurs. On évalue le produit scalaire de deux vecteurs de taillen,PetQ, à l"aide de la formule PQ=nX i=1P iQi Cette formule peut aussi être exprimée sous la forme d"unproduit matriciel:PQ=PTQ=P1;P2;:::;Pn2
6 664Q1 Q 2... Q n3 7