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CRISTALLOGRAPHIE --- MP-Spé --- Structure des solides cristallins

2 Notions de base en cristallographie : trie trigonale plane et les angles entre les atomes de carbone est de 1200 L’arrangement s’effectue donc selon

Sommaire - ens-lyonfr

On envisage de parcourir l ’ensemble des notions de géométrie plane, en gardant en permanence l’idée de constructions géométriques On rencontrera ainsi les transformations géométriques et leurs usages démonstratifs, d e

math Tle S1 et S3 - Examens & Concours

diff”rentielles, la g”om”trie plane et la g”om”trie dans l’espace, il comporte les probabilit”s, les courbes planes et l’arithm”tique Tous ces th‘mes, dont certains ont ”t” d”j‹ vus en Premi‘re, seront introduits ‹ partir de nombreuses activit”s permettant d’investir des outils plus ou moins

math 1er S1 et S3 - Examens & Concours

Base et rep‘re orthogonaux Base et rep‘re orthonormaux Expression analytique du produit scalaire dans une base orthonormale • Toutes les propri”t”s ne faisant intervenir que deux vecteurs sont celles de la g”om”trie plane (y compris les propri”t”s de la norme) • L’expression analytique dans un rep‘re quelconque n

M齿canique et 齿lectricit齿 analytiques Notions 齿l齿mentaires sur

Nappe plane (z= h(x,y)) On n’aura pas besoin des courbures mais disons que chaque courbe plane d´efinie comme n ~x = r cosθ ~k x +sinθ ~k y +h(r cosθ,r sinθ) ~k z avec r ∈ R o a une courbure propre c(θ) On peut trouver les valeurs maximales c min et minimales c max (les courbures principales) de c(θ) et d´efinir la courbure

TOPOGRAPHIE GENERALE

base de la géodésie d’un pays Déviation de la verticale : on appelle déviation de la verticale l’écart angulaire en un point entre la normale de l’ellipsoïde et la verticale physique (ou normale du géoïde) Cette dernière est la direction du fil à plomb

AIDE-MÉMOIRE Résistance des matériaux

A Théories de base en domaine élastique 6 f ν est un coefficient sans dimension, appelé coefficient de Poisson f Les valeurs de E et ν sont variables suivant la nature des matériaux f Notons que pour un matériau homogène, isotrope et incom pres sible : ν , 0,5 1 3 Effets produits par le moment de flexion 1 3 1 Flexion plane simple

De la maternelle à la 3 - Atelier

Un cube est aussi un prisme à base carrée ou un prisme à base rectangulaire L’élève : – construit une preuve sans se limiter à la mémorisation; – élabore une preuve de différentes façons; – comprend les sous-classes et leurs relations Exemple d’énoncé : Un parallélogramme qui a deux côtés adjacents de même lon-

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1

M´ecanique et ´electricit´e analytiques

Notions ´el´ementaires sur la g´eom´etrie et g´eom´etrie diff´erentielle

G. Vinsard

Gerard.Vinsard@univ-lorraine.fr

28 septembre 2018

2

L"espace, la position dans l"espace

?E3l"espace,sont confondues les notions : 1) math´ematique d"espace vectoriel euclidien et 2) physique d"espace absoludans lequel sont plac´es des objets; ?x?E3,?x??E3deux positions dans l"espace : ?|?x-?x?|la norme euclidienne est la distance s´eparant?xde?x?; ??x·?x?=|?x| |?x?|cosθle produit scalaire de?xet?x?est le produit des distances `a l"origine de ?x,?x?et du cosinus de l"angle en l"origine du triangle form´e par l"origine et ?x,?x? ??x×?x?le produit vectoriel de?xet?x?est le vecteur orthogonal `a ?xet?x?de norme la surface du parall´elogramme qui compl`ete le triangle pr´ec´edent ; ce n"est donc pas une position! ?Ces d´efinitions ne sont pas op´erationnelles en elles mˆeme =?

Passage en coordonn´ees.

3

Coordonn´ees cart´esiennes

?(?kx,?ky,?kz) sont des vecteurs d"une base orthonorm´ee deE3; (x,y,z)?R3tels que?x=x?kx+y?ky+z?kzsont les coordonn´ees cart´esiennes (ou rectangulaires) de ?x. ?|?x-?x?|=? (x-x?)2+ (y-y?)2+ (z-z?)2, la distance entre xet?x?; ?x·?x?=x x?+y y?+z z?, le produit scalaire de?xet?x?; ?x×?x?= (y z?-y?z)?kx+ (z x?-z?x)?ky+ (x y?-x?y)?kz, le produit vectoriel de ?xet?x?; ?x-?x?·?x |?x?|2?x?, la projection de?xsur l"orthogonal de?x?. 4

Coordonn´ees cylindriques et sph´eriques

?Soit?kr= cosφ?kx+ sinφ?ky,?kφ=-sinφ?kx+ cosφ?ky; kr,?kφ,?kz) forment une base orthonorm´ee deE3; (r,φ,z)?[0,∞[×[0,2π[×Rsont les coordonn´ees cylindriques de x=r?kr+z?kz; ?Soit?kρ= cosθ?kz+ sinθ?kr,?kθ=-sinθ?kz+ cosθ?kr; kρ,?kθ,?kφ) forment une base orthonorm´ee deE3; (ρ,φ,θ)?[0,∞[×[0,π[×]0,2π[ sont les coordonn´ees sph´eriques de ?x=ρ?kρ; ?La position?xs"exprime comme x=x?kx+y?ky+z?kz=r?kr+z?kz=ρ?kρ 5

Courbe plane (z=h(x))

?Expression param´etrique Γ ={?x?E3:?x=x?kx+h(x)?kz} pourx?Reth:R-→R x-→h(x), une fonction donn´ee; ??τ=?k x+h?(x)?kz ?1 +h?(x)2, vecteur tangent; ?n=-?ky×?τ=-h?(x)?kx+?kz ?1 +h?(x)2, vecteur normal; ?˜l(x) =?

1 +h?(x)2, l"´el´ement de longueur de la courbe est˜ldx

?C(x) =h??(x) (1 +h?(x)2)3/2=h??(x)˜l3, la courbure (inverse du rayon de courbure); ???τ?=C˜l?n n?=-C˜l?τ, relations de Frenet pour une courbe plane. 6

Cas particuliers

?Plan inclin´e :h(x) =h0-tanθxo`uθ?]-π/2,π/2[ est l"angle d"inclinaison du plan ?l=1cosθ,C= 0, ?τ= cosθ?kx-sinθ?kz;?n= sinθ?kx+ cosθ?kz ??x= x(?kx+ tanθ?kz) ;¨?x= ¨x(?kx+ tanθ?kz) ?Demi-cercle inf´erieur :h(x) =-R?

1-x2R2pourx?]-R,R[

?˜l=1?

1-x2R2,C=1R,?τ=?k

x˜l+xR?k z,?n=-xR?k x+?k z˜l ??x= x? k x+˜lxR?k z?

¨?x= ¨x?kx+x2˜l3R?k

z 7 (Abscisse curviligne) - juste pour m´emoire ?L"abscisse curviligne : la courbe peut ˆetre reparam´etr´ee comme x(s)?kx+h(x(s))?kz en introduisant la nouvelle variable s=? x(s) 0?

1 +h?(α)2dα

o`ux(s) est la valeur dexqui correspond `a unsdonn´e; dx ds(s) (?1 +h?(x(s))) = 1 ?l"avantage est que˜l= 1, l"´element de longueur estdset donc : ?τ=dx ds(?kx+h??kz),?n=dxds(-h??kx+?kz) 8

Nappe plane (z=h(x,y))

?Expression param´etrique Γ ={?x?E3:?x=x?kx+y?ky+h(x,y)?kz}pour (x,y)?R2et h:R2-→R x-→h(x,y), une fonction donn´ee; ??τx=?k x+∂xh(x,y)?kz ?1 +∂xh(x,y)2, vecteur tangent dans le plan normal `a k y ??τy=?k y+∂yh(x,y)?kz ?1 +∂yh(x,y)2, vecteur tangent dans le plan normal `a k x ?n=?τx×?τy, vecteur normal de la nappe; ?¯s(x) =?

1 + (∂xh)2+ (∂yh)2, l"´el´ement de surface de la courbe

est¯sdx dy 9

Nappe plane (z=h(x,y))

?On n"aura pas besoin des courbures mais... disons que chaque courbe plane d´efinie comme x=r? cosθ?kx+ sinθ?ky+h(rcosθ,rsinθ)?kz? avecr?R? a une courbure proprec(θ) On peut trouver les valeurs maximales c minet minimalescmax(les courbures principales) dec(θ) et d´efinir la courbure moyenne comme c moyenne=cmin+cmax 2 la courbure de Gauss comme c

Gauss=cmincmax

et se livrer `a des investigations qui conduisent au Theorema egregium; pour se la jouer Gauss, mais c"est pas gagn´e :)quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9