Groupes, sous-groupes, ordre - Cours et exercices de
Soit G un groupe et H;K deux sous-groupes de G (a) Montrer que H[K est un sous-groupe de G si et seulement si H
Groupes, anneaux, corps - Claude Bernard University Lyon 1
1 Résoudre dans , l’équation (donner les solutions sous forme algébrique et trigonométrique), et exprimer ces solution en fonction de 2 Montrer que { } muni de la multiplication est un sous-groupe de ( ) 3 Déterminer les ordres possible des sous-groupes de ( ), en déduire tous les sous-groupes de ( )
Morphisme, sous-groupe distingué, quotient
Soit G un groupe et H un sous groupe distingué de G d’indice n Montrer que pour tout a2G, an 2H Donner un exemple de sous-groupe H non distingué de G pour lequel la conclusion précédente est fausse Correction H [002153] Exercice 19 Soit G un groupe fini et H un sous-groupe distingué d’ordre n et d’indice m On suppose que m et n sont
Groupes Examenfinal+corrigé
cylique engendré par h K∩hhiétant un sous-groupe strict de hhi, par Lagrange il est trivial De plus le groupe engendré par K et hcontient strictement K, par Lagrange à nouveauilestégalàG Enfinghhig−1 = hhipourtoutélémentdehhi,pourtoutélément de K⊂Z(G), et donc finalement pour tout élément de G: ainsi hhiest distingué dans
Corrig¶e de la feuille d’exercices 1
Les exercices ¶etoil¶es (*) s’adressent aux seuls ¶etudiants inscrits µa l’unit¶e MO12 Corrig¶e de la feuille d’exercices 1 Exercice 1 Etude des sous-groupes de Z=nZ: (i) Montrez que tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe µa Z=nZ; (ii) Montrez que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique;
EXERCICESSURLESGROUPES
(3)Donner un exemple de groupe G, et de deux sous-groupes H⊂K⊂G, tels que Hsoit distingué dans K ,que K soitdistinguédans G ,maistelsque H nesoitpasdistinguédans G Exercice16 Simplicitéde A
Ag 1,2,3,4 : exercices avec corrigés
Ag 1,2,3,4 : exercices avec corrigés I Ancienne liste oral ccp Algèbre1 2 sous-groupe, avec H 1 6ˆH 2 Soit alors h 1 2H 1 tel que h 1 62H 2 Pour tout h 2 2H
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2 1 Polyµedres r¶eguliers 1 1 Trois polyµedres r¶eguliers et leurs groupes Exercice 1 Le t¶etraµedre r¶egulier: on note IT le groupe des isom¶etries qui laissent le t¶etraµedre globalement invariant et DT le sous-groupe de IT constitu¶e par les d¶eplacements de IT
Structures alg´ebriques : groupes, anneaux et corps
1 3 Sous-groupes Dfinition 5 Un sous-groupe d’un groupe (G,∗) est une partie non vide Hde Gtelle que : •∗induit sur Hune loi de composition interne •Muni de cette loi, Hest un groupe On note alors : H
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Université Paul SabatierToulouse
Préparation à l"Agrégation Année 2018-2019EXERCICES SUR LES GROUPES
Exercice 1. Groupes diédraux. SoitPnun polygone régulier du plan àncotés (représenté par exemple
par les racinesn-ièmes de l"unité dans le plan complexe). On noteDnle groupe (appelén-ième groupe diédral)
des isométriesdirectes et indirectesdu plan préservantPn. (1)Mon trerque Dnest d"ordre2n.
(2)Mon trerque le sous-group eD+nconstitué des isométries directes est cyclique d"ordren:D+n?Z/nZ.
(3) Dresser la listes d esclasse sde conjugaison dans Dn. Exercice 2. Groupe des quaternions.On noteH8le sous-groupe deGL2(C)(appelégroupe des quater- nions) engendré par les trois matricesI=?0 1
-1 0? , J=?0i i0? , K=?i0 0-i?Calculer l"ordre deH8, exhiber ses sous-groupes, ses sous-groupes distingués et ses quotients. Est-il isomorphe
au groupe diédralD4? Quel est le rapport avec le corps non commutatif des quaternions?Exercice 3. Groupes d"ordre 6.Montrer de façon élémentaire (aucun argument sophistiqué au-delà du
théorème de Lagrange) que tout groupe d"ordre 6 non cyclique est isomorphe au groupe symétriqueS3.
[Indication : on pourra montrer qu"un tel groupe contient un couple d"éléments d"ordre 2 et 3 ne commutant
pas.] Exercice 4. Signification de l"opération de conjugaison sur des exemples. (1) Soit pun projecteur d"un sous-espace vectorielFd"un espace vectorielEsur un supplémentaireG, etf?GL(E). Caractériser le conjuguéf◦p◦f-1. (2)Même question p ourune symétrie spar rapport à un sous-espace vectorielFd"un espace vectoriel
E, parallèlement à un supplémentaireG.
(3) Soit n?N,σ?Snet(a1···ak)unk-cycle deSn. Calculerσ(a1···ak)σ-1. (4) soit Gun groupe,EetFdeux sous-ensembles deG, etσ?G. Soitgun élément deGtel que gE?F. Quelle propriété vérifie son conjuguéσgσ-1? (5)In venterdes exos similaires...
Exercice 5. Exposant d"un groupe abélien et application. (1) Soit Gabélien eta,bd"ordres finis premiers entre eux. Montrer queordreab= ordrea·ordreb. (2) Soit Gun groupe abélien fini, et soitmle maximum parmi les ordres des éléments deG. Montrer que l"ordre de tout élément deGdivisem. (mest appelé l"exposantdeG). (3) Soit kun corps, etG?k?un sous-groupe fini du groupe multiplicatifk?. Montrer queGest cyclique. [Indication : on pourra considérer les racines du polynômeXm-1?k[X], oùmest l"exposant de G.] (4) Qu"en déduire p ourle group e(Z/pZ)?, oùpest premier? Et pour le groupeC??Exercice 6. Groupes abéliens infinis.
(1) Mon trerque (Z,+)n"est pas isomorphe à(Z2,+), et que(Q,+)n"est pas isomorphe à(Q2,+). (2) Mon trerque le group eab élien(Q,+)n"est pas de type fini. (3)Soit Gun sous-groupe de(C?,·)dont chaque élément est d"ordre fini. Est-il vrai queGest forcément
fini? et de type fini? (4) Mon trerque les sous-group esde (R,+)sont soit de la formeaZ, soit denses. (5)Que dire de Z[⎷2]? Que dire d"une fonction réellefcontinue, admettant1et⎷2pour périodes?
(6)Que dire des sou s-groupesde (C,+)?
Exercice 7. Une action bien utile.SoitGun groupe, etHun sous-groupe deGd"indice finin. On faitopérerGpar "translation" sur l"ensemble des classes à gaucheG/H, c"est-à direg·σH:= (gσ)Hpour tout
σ?G.
(1)(La clé de nom breuxexos) Mon trerque le no yaudu morphisme ρ:G→Bij(G/H)?Snassocié à
cette action est le plus gros sous-groupe deHdistingué dansG, et que de plus il est d"indice fini dansG. (2) Application 1. Mon trerqu"un group enon-ab éliend"ordre 6est isomorphe àS3. (3) Application 2. Soit Gun groupe infini, possédant deux sous-groupes d"indice finiHetK. Montrer qu"il y a un sous-groupe distingué dansGet d"indice fini, contenu dansHet dansK. (4) Application 3. Soit Gun groupe fini, etple plus petit facteur premier de son ordre. SoitHun sous-groupe d"indicepdansG. Montrer queHest distingué dansG. [N.B. Le casp= 2est bien plusélémentaire...]
Exercice 8. Centre d"un groupe; groupes d"ordrep2.SiGest un groupe, on peut faire agirGpar conjugaison sur lui même. (1)Mon trerque le cen treZ(G)deGest constitué des éléments dont l"orbite est réduite à un point.
(2) ( i)Si Gest unp-groupe (ppremier), montrer que le centre deGn"est pas réduit à{1}. (ii)Soit Gun groupe tel queG/Z(G)soit monogène. Montrer qu"alorsGest abélien (et donc en particulier le groupe monogèneG/Z(G)était en fait trivial). (iii)Mon trerqu"un gr ouped"ordre p2est nécessairement abélien. (3) Mon trerque le group edes matrices triangulaires sup érieuresunip otentes G=? (1? ? 0 1?0 0 1)
?GL3(Fp)? est un groupe non-abélien d"ordrep3. Exercice 9.p-Sylow dans un sous-groupe.SoitGun groupe fini d"ordre|G|=pamavecppremier et p?m= 1. SoitS?Gunp-Sylow (c"est-à-dire de cardinalpa), etH?Gun sous-groupe. Montrer qu"ilexisteg?Gtel quegSg-1∩Hsoit unp-Sylow deH. [Indication : faire agirGsur l"ensemble des classes à
gauche deGmoduloS, et montrer que l"une des orbites est de cardinal non multiple dep.]Exercice 10. Existence desp-Sylow.
(1) Soit kun corps, etGun groupe fini. Montrer qu"il existe un entierntel queGsoit isomorphe à un sous-groupe deGLn(k). [Indication : on pourra commencer par plongerGdans un groupe symétrique.] (2)Soit Fple corps àpéléments, oùpest premier. Montrer que le groupe des matrices triangulaires
supérieures avec 1 sur la diagonale est unp-Sylow deGLn(Fp). (3) Soit Gun groupe fini etpun diviseur premier de|G|. Montrer à l"aide de l"exercice9 que Gadmet unp-Sylow.Exercice 11. Calculs dans les groupes symétriques.Écrire la décomposition en produit de cycles à
supports disjoints, et calculer l"ordre, la signature et la puissance 10ème de ?1 2 3 4 5 6 7 8 98 4 2 9 5 6 1 7 3?
,de(35)(142)(134)(45)(12345) et de ?1 2 3 4 5 6 7 86 5 7 1 3 8 4 2?
◦?1 2 3 4 5 6 7 81 8 2 4 5 7 3 6?
Exercice 12. Quelques propriétés du groupe symétrique.Soitn>2. (1) Mon trerque Anest le seul sous-groupe d"indice2deSn. (2) On admet que Anest simple pourn>5. Montrer que pourn>5, les seuls sous-groupes distingués deSnsont{id},AnetSn. Que devient le résultat pourn= 2,3ou4? (3) Soit Hun sous-groupe deSn, d"indicenavecn>3. L"action deSnsurSn/H(ensemble des classes à gauche) par translation induit un morphisme?deSndans Bij(Sn/H). (i)Mon trerque ?est injectif. (ii)En déduire que H?Sn-1. Exercice 13. Isomorphismes exceptionnels et interprétation.Soitpun nombre premier. On note Fp=Z/pZle corps àpéléments. On fait agirGL2(Fp)sur l"ensemble des droites vectorielles (au nombre de
p+ 1, à vérifier!) du planF2p. Il en résulte un morphismeρ: GL2(Fp)-→Sp+1.
(1) Mon trerque le no yaude ρest constitué des homothéties non nulles, d"où une injection PGL2(Fp) := GL2(Fp)/homothéties non nulles?→Sp+1.
(2)On se prop osede v oirque, lorsque pest petit, cela donne lieu à des isomorphismes "exceptionnels" :
(i)Mon trerque ?GL2(Fp) = (p2-1)(p2-p), et en déduire?PGL2(Fp). (ii)Mon trerque GL2(F2)?S3. (iii)Mon trerque PGL2(F3)?S4 (iv)Soit F4un corps fini à4éléments (par exempleF4=Z/2Z[X]/(X2+X+ 1)). Montrer que PGL2(F4)?A5.
(v)Mon trerque PGL2(F5)?S5. (3) In terprétation: mon trerque PGL2(k)agit simplement3-transitivement sur les droites vectorielles dek2, puis interpréter les isomorphismes exceptionnels. Exercice 14. Groupes des isométries du tétraèdre et du cube. (1)Mon trer,en le faisan top érersur les quatre sommets, que le group edes isométries directesdu tétraèdre
est isomorphe au groupe alternéA4. (2)Mon trerque le group edes isométries (directes ou indirectes) d" untétraèdre r égulierest is omorpheà
un produit semi-directA4o{±1}. (voir exercice21 p ourla d éfinition.) (3)Mon trer,en le faisan top érersur les quatre grandes diagonales, que le group edes i sométriesdirectes
du cube est isomorphe au groupe symétriqueS4. (4)On considère un carré "é quateur"du cub e,et le sou s-groupeSdes isométries directes du cube
stabilisant (i.e. laissant globalement fixe) cet équateur. Montrer queS=D4, puis observer sur ce cas
les conclusions du théorème de Sylow. (5)A dapterla question précéden tep ourdécrire les 2-Sylow (= sous-groupes d"ordre 4) deIsom+(tétraèdre)...
(6) ... puis (plus fac ile)les 3-Sylow (= sous-groupes d"ordre 3) deIsom+(tétraèdre)etIsom+(cube). Exercice 15. Groupes symétriques et alternés de petits ordres. (1) P ourc hacundes group essuiv ants,dre sserla liste des classes de conj ugaison: S2, A2, S3, A3, S4, A4, A5.
(2)In terprétergéométriquemen tles résultats p ourA4etA5en utilisant les isomorphismes avec les
groupes de rotations préservant un tétraèdre (resp. un icosaèdre) régulier. (3) Donner un exemple de group eG, et de deux sous-groupesH?K?G, tels queHsoit distingué dansK, queKsoit distingué dansG, mais tels queHne soit pas distingué dansG.Exercice 16. Simplicité deA5.Montrer à l"aide du théorème de Lagrange et de la liste des cardinaux des
classes de conjugaison obtenue dans l"exercice 15 que le group ealterné A5est simple. Exercice 17. Propriétés du groupe alterné. (1) Mon trerque le group ealterné Anest engendré par les 3-cycles. (2) Mon trerque p ourn>5, les 3-cycles deAnsont deux à deux conjugués. Exercice 18. Générateurs deGLn.On dit qu"une matriceM?GLn(k)est unedilatationde rapportλ?k?siMest conjugué à la matrice diagonale diag(λ,1,...,1). Montrer que les dilatations engendrent
GL n(k), pour toutn>2et tout corpsk?=F2. [Indication : on peut admettre, ou redémontrer, que les transvections engendrentSLn(k), puis montrer que?1 1 0 1? est un produit de deux dilatations.] Exercice 19. Automorphismes de certains groupes abéliens non cyclique.Soitpun nombre premier. (1) Mon trerqu"un eapplication fdeZ/pZ×Z/pZ×Z/pZdans lui même est un morphisme de groupe si, et seulement si, c"est un morphisme deZ/pZ-espace vectoriel. (2) En déduire la stru cturedu group eAut(Z/pZ×Z/pZ×Z/pZ)en terme de groupe linéaire.