Ag 1,2,3,4 : exercices avec corrigés

Soit G un groupe et H;K deux sous-groupes de G (a) Montrer que H[K est un sous-groupe de G si et seulement si H

Groupes, anneaux, corps - Claude Bernard University Lyon 1

1 Résoudre dans , l’équation (donner les solutions sous forme algébrique et trigonométrique), et exprimer ces solution en fonction de 2 Montrer que { } muni de la multiplication est un sous-groupe de ( ) 3 Déterminer les ordres possible des sous-groupes de ( ), en déduire tous les sous-groupes de ( )

Morphisme, sous-groupe distingué, quotient

Soit G un groupe et H un sous groupe distingué de G d’indice n Montrer que pour tout a2G, an 2H Donner un exemple de sous-groupe H non distingué de G pour lequel la conclusion précédente est fausse Correction H [002153] Exercice 19 Soit G un groupe ﬁni et H un sous-groupe distingué d’ordre n et d’indice m On suppose que m et n sont

Groupes Examenﬁnal+corrigé

cylique engendré par h K∩hhiétant un sous-groupe strict de hhi, par Lagrange il est trivial De plus le groupe engendré par K et hcontient strictement K, par Lagrange à nouveauilestégalàG Enﬁnghhig−1 = hhipourtoutélémentdehhi,pourtoutélément de K⊂Z(G), et donc ﬁnalement pour tout élément de G: ainsi hhiest distingué dans

Corrig¶e de la feuille d’exercices 1

Les exercices ¶etoil¶es (*) s’adressent aux seuls ¶etudiants inscrits µa l’unit¶e MO12 Corrig¶e de la feuille d’exercices 1 Exercice 1 Etude des sous-groupes de Z=nZ: (i) Montrez que tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe µa Z=nZ; (ii) Montrez que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique;

EXERCICESSURLESGROUPES

(3)Donner un exemple de groupe G, et de deux sous-groupes H⊂K⊂G, tels que Hsoit distingué dans K ,que K soitdistinguédans G ,maistelsque H nesoitpasdistinguédans G Exercice16 Simplicitéde A