Groupes, sous-groupes, ordre - Cours et exercices de
Soit G un groupe et H;K deux sous-groupes de G (a) Montrer que H[K est un sous-groupe de G si et seulement si H
Groupes, anneaux, corps - Claude Bernard University Lyon 1
1 Résoudre dans , l’équation (donner les solutions sous forme algébrique et trigonométrique), et exprimer ces solution en fonction de 2 Montrer que { } muni de la multiplication est un sous-groupe de ( ) 3 Déterminer les ordres possible des sous-groupes de ( ), en déduire tous les sous-groupes de ( )
Morphisme, sous-groupe distingué, quotient
Soit G un groupe et H un sous groupe distingué de G d’indice n Montrer que pour tout a2G, an 2H Donner un exemple de sous-groupe H non distingué de G pour lequel la conclusion précédente est fausse Correction H [002153] Exercice 19 Soit G un groupe fini et H un sous-groupe distingué d’ordre n et d’indice m On suppose que m et n sont
Groupes Examenfinal+corrigé
cylique engendré par h K∩hhiétant un sous-groupe strict de hhi, par Lagrange il est trivial De plus le groupe engendré par K et hcontient strictement K, par Lagrange à nouveauilestégalàG Enfinghhig−1 = hhipourtoutélémentdehhi,pourtoutélément de K⊂Z(G), et donc finalement pour tout élément de G: ainsi hhiest distingué dans
Corrig¶e de la feuille d’exercices 1
Les exercices ¶etoil¶es (*) s’adressent aux seuls ¶etudiants inscrits µa l’unit¶e MO12 Corrig¶e de la feuille d’exercices 1 Exercice 1 Etude des sous-groupes de Z=nZ: (i) Montrez que tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe µa Z=nZ; (ii) Montrez que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique;
EXERCICESSURLESGROUPES
(3)Donner un exemple de groupe G, et de deux sous-groupes H⊂K⊂G, tels que Hsoit distingué dans K ,que K soitdistinguédans G ,maistelsque H nesoitpasdistinguédans G Exercice16 Simplicitéde A
Ag 1,2,3,4 : exercices avec corrigés
Ag 1,2,3,4 : exercices avec corrigés I Ancienne liste oral ccp Algèbre1 2 sous-groupe, avec H 1 6ˆH 2 Soit alors h 1 2H 1 tel que h 1 62H 2 Pour tout h 2 2H
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2
Corrig¶e de la feuille d’exercices 2 1 Polyµedres r¶eguliers 1 1 Trois polyµedres r¶eguliers et leurs groupes Exercice 1 Le t¶etraµedre r¶egulier: on note IT le groupe des isom¶etries qui laissent le t¶etraµedre globalement invariant et DT le sous-groupe de IT constitu¶e par les d¶eplacements de IT
Structures alg´ebriques : groupes, anneaux et corps
1 3 Sous-groupes Dfinition 5 Un sous-groupe d’un groupe (G,∗) est une partie non vide Hde Gtelle que : •∗induit sur Hune loi de composition interne •Muni de cette loi, Hest un groupe On note alors : H
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