Mécanique du solide - Unisciel
Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier _____ 15 On considère un point M rigidement lié au solide ; on note Ω = Ω r r RS / R le vecteur vitesse angulaire instantanée du référentiel (R S) par rapport à (R), qui est a priori une fonction vectorielle du temps
Cours de Mécanique du Solide - UCD
MÉCANIQUE DU SOLIDE Par I Mrani Année 2018-2019 Plan du cours Géométrie vectorielle Les torseurs Cinématique du solide Cinématique de contact de deux solides
Mécanique du solide - F2School
Mécanique du solide Bougarfa Latifa Page 3 Le moment en B est nul si On sait que le support du glisseur est l’ensemble des points où le moment est nul, et qu’il est parallèle à la résultante, donc le support de ce glisseur est parallèle à l’axe OY, de sens contraire à celui-ci, et passe par le point B(x= ) Exercice 3
Mécanique du solide Salle - AlloSchool
78 MÉCANIQUE DU SOLIDE En posant J∆ = X i miHiMipour un système discret ou J(∆) = Z MH2 dmpour un système continu, les point Hiétant les projetés des points Midu solide (Hprojeté de M) sur l’axe fixe, ici (∆), on a : σ(∆) = J(∆) ω= J(∆) θ˙ J∆ est appelé momentd’inertie du solide par rapport à l’axe ∆ On
MP MP* PT PT* et des systèmes Mécanique du solide
que la mécanique relativiste restreinte et générale devi ennent nécessaires Le modèle du solide (au sens de syst ème indéformable idéal) joue un rôle particulier mais extrêmement importan t
MECANIQUE DU SOLIDE - WordPresscom
En pratique, pour la résolution d'un problème de mécanique du solide avec frottements, on formule une hypothèse (adhérence ou glissement), on calcule les composantes de l'action de contact en tenant compte des autres forces s'appliquant au solide et on cherche à voir si les lois de Coulomb
Mécanique du solide rigide Dynamique du solide
Mécanique du solide rigide – Dynamique du solide Page 5 sur 61 3 - Eléments cinétiques d'un solide De la même manière, on peut définir les éléments cinétiques du solide, dans le référentiel galiléen , dans le tableau suivant : 4 - Torseur cinétique, théorème de Koenig Soit un solide de masse volumique et un référentiel
Mécanique du solide rigide Comportement cinématique des
Mécanique du solide rigide – Comportement cinématique des systèmes mécaniques Page 4 sur 74 1 – 2 Repère de temps : En mécanique, le temps est considéré comme absolu et uniforme ( chaque fraguement de temps est identique
Mécanique des systèmes de solides indéformables
Mécanique des systèmes de solides indéformables M BOURICH 11 2 - Espace métrique Un espace métrique est un espace affine auquel on a associe un espace vectoriel euclidien Pour la suite du cours, on désignera par l’espace métrique associé à un espace vectoriel euclidien E de dimension 3
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Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle 71
R 10
Mécanique du solide
Saint Joseph - LaSalleCPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - - Établissement Saint Joseph - LaSalle72MÉCANIQUE DU SOLIDE
10.1Lois de la mécanique d"un système matériel
10.1.1Modélisation d"un système matériel
On peut modéliser un système matériel de deux façons :Approche discrète :M=?
im iApproche continue :M=???
ρd3τ
Dans la suite de l"exposé, on utilisera souvent la notation discrète, mais la notation continue est tout-à-fait
utilisable. Il faut alors remplacer la somme discrète sur l"indiceipar une intégrale sur le volumeτet les
massesmipar la masse élémentaired3m=ρd3τ.10.1.2Théorème du centre d"inertie (ou de la résultante cinétiqueou de la résultante dynamique ou du centre de masse)
10.1.2.1Centre de masse
Le barycentre, ou centre de masse ou centre d"inertie, notéG: M OG=? im i--→OMiAvec un système continu, on a :
OG???ρd3τ=???
ρ--→OM d3τ
10.1.2.2Quantité de mouvement d"un système
On appelle quantité de mouvement totale d"un système, notée-→P: P=? im i-→viAvec un système continu, on a :
P=???ρ--→v(M)d3τ
Saint Joseph - LaSalleCPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle10.2 Théorème du moment cinétique73
En introduisant le centre de d"inertie, on obtient : -→P=M--→v(G) Par application de la deuxième loi de Newton , on obtient alors : d -→P dt=?--→FextCeci constituele théorèmedu centre d"inertie(ou de la résultantecinétique ou de la résultantedynamique
ou encore du centre de masse).10.1.3Référentiel barycentrique
Un référentiel barycentriqueest un référentiel qui a pour origine le centre de masse du système, et qui est
animé d"un mouvement de translation uniforme par rapport à un référentiel galiléen. On le noteraR?.
On noteX?la grandeurXévaluée dans le référentiel barycentrique.Dans un référentiel barycentrique, la quantité de mouvement totale-→P?=-→P/R?est nulle :
P ?=-→0Pour un système ouvert, on considère la masse à l"instantt, et la masse à l"instantt+dtdu système, plus
la masse éjectée durantdt. On peut donc définir dans ce cas un système fermé.10.2Théorème du moment cinétique
10.2.1Moment cinétique
Considérons le moment cinétique par rapport àOd"un point matérielMde massem, animé de la vitesse-→vdans le référentielR. On a :
(O)/R=--→OM?m-→v On définit alors le moment cinétique pour un ensemble de points (système matériel) par : (O)/R=? i--→OM i?m-→viSaint Joseph - LaSalleCPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - - Établissement Saint Joseph - LaSalle74MÉCANIQUE DU SOLIDE
Le transport de moment cinétique peut s"écrire de la façon suivante : Avec-→Pla quantité de mouvement totale du système. Le moment cinétique et la quantité de mouvement
constituent donc un torseur cinétique.10.2.2Premier théorème de Koenig
En partant de la décomposition de la vitesse :
vi=--→v(G)/R+-→v?i oùv(G)/Rest la vitesse du centre de masseGpar rapport au référentielRet-→v?ila vitesse du pointMi
dans le référentiel barycentrique, on obtient le premier théorème de Koenig :Le moment cinétique par rapport à un point fixe est donc égal à la somme du moment cinétique dans le
référentielbarycentriqueet dumomentcinétiqueducentred"inertieaffectéde toutela masse du système:
on décompose donc le moment cinétique total en un moment cinétique lié au mouvement de rotation du
système et à un autre lié au mouvement de translation de son centre d"inertie.Le moment cinétique, dans le référentiel barycentrique, nedépend pas du point par rapport auquel on le
calcule. On l"écrit donc :Il plus facile d"évaluer-→σ?dans le référentiel barycentriquepuisque dans celui-ci, le mouvementdu système
considéré est un mouvement de rotation.10.2.3Théorème du moment cinétique en un point fixe d"unréférentiel galiléen
SoitOun point fixe par rapport à un référentiel galiléenR1. On obtient : dσ(O)/R1
dt=? i--→OM i?--→Fext=? i---→M (O)(--→Fext)10.2.4Théorème du moment cinétique en un point mobile d"unréférentiel galiléen
SoitAun point mobile par rapport au référentiel galiléenR1. On peut alors écrire : dσ(A)/R1
dt=? i--→AM i?--→Fext---→v(A)?-→PSaint Joseph - LaSalleCPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle10.3 Théorème de l"énergie cinétique75
10.2.5Théorème du moment cinétique en un point fixe d"unréférentiel non galiléen
SoitBun point fixe par rapport à un référentiel non galiléenR. On obtient : dσ(B)/R
dt=? i---→M (O)(--→Fext) +---→M(O)(-→Fie) +---→M(O)(-→Fic)10.2.6Théorème du moment cinétique dans le référentielbarycentrique
En particulier, siRréférentiel non galiléen est le référentiel barycentriqueR?et que le point fixeBest le
pointG, centre d"inertie du système,le moment des forces d"inertie de Coriolis---→M(O)(-→Fic)est nul car le
référentiel barycentriqueR?est en translation par rapport à un référentielR1galiléen et le moment des
forces d"inertie d"entraînement---→M(O)(-→Fie)est nul car l"accélération deGest nulle dans le référentiel
barycentrique. On obtient alors : dσ(G)/R?
dt=d--→σ(G)?dt=? i--→GM i?--→FextDans ce cas, on s"affranchit des forces d"inertie. Ce cas particulier du référentiel barycentrique est donc
très intéressant.10.2.7Représentation torsorielle
On a les représentations suivantes :
Torseur Cinématique
-→P (O)Torseur Dynamique
-→R=?--→Fext---→M(O)=? i--→OM i?--→Fext10.3Théorème de l"énergie cinétique
10.3.1Énergie cinétique
Par définition, pour un ensemble de points matériels, l"énergie cinétique est définie de la façon suivante :
E c=? i12miv2i
Pour un système continu, l"énergie cinétique est définie de la façon suivante : E c=???12ρ(M)v2(M)d3τ
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Physique - Chimie - CPGE TSI - - Établissement Saint Joseph - LaSalle76MÉCANIQUE DU SOLIDE
10.3.2Second théorème de Koenig
Le second théorème de Koenig s"énonce de la façon suivante :Ec=E?c+12M v2(G)
L"énergiecinétiqued"unsystèmematérielest égaleàlasommedesonénergiecinétiquedansleréférentiel
barycentrique et de l"énergie cinétique du centre d"inertie affecté de toute la masse du système. C"est
encore une fois la somme d"une énergie cinétique liée à la rotation su système et d"une énergie cinétique
liée à la translation de son centre d"inertie.10.3.3Théorème de l"énergie cinétique
En partant de l"expression de l"énergie cinétique, on obtient :ΔEc=Wext+Wint
oùWextest le travail des forces extérieures etWintle travail des forces intérieures.Si le système est un solide, donc indéformable, le travailWintdes forces intérieures est nul et :
ΔEc=Wext
10.3.4Autres formes du théorème de l"énergie cinétique
Sous forme différentielle, on a :
dE c=δWext+δWintEn utilisant les puissances, on obtient l"expression suivante (appelée parfois théorème de la puissance
cinétique) : dE c dt=Pext+PintEn distinguant les forces conservatives-→Fcet les forces non conservatives-→Fnc, on peut aussi écrire :
δW(-→Fc) =-dEp
oùEpest l"énergie potentielle associée la force conservative-→Fc. En introduisant l"énergie mécanique
E m=Ep+Ec, on a alors :ΔEm=W(-→Fnc)
ou une de ses autres formes (que les forces non conservativessoient intérieures ou extérieures ne change
rien).Saint Joseph - LaSalleCPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle10.4 Cas du solide77
10.4Cas du solide
On définit un solide par :
?(A,B)?Système2?--→AB?=CteC"est donc un système indéformable.
10.4.1Cinétique
Considérons un solide, en mouvement dans un référentiel galiléenR1. Soit un référentielRlié au solide.
SoientAetMdeux points du solide. On a la relation suivante : v(M)=--→v(A)+--→MA?-→ωoù-→ωR/R1est le vecteur rotation instantanée deRpar rapport àR1.-→ωR/R1est défini par :
ωR/R1=θ-→ez
si-→ezest le vecteur définissant l"axe de la rotation deRpar rapport àR1et siθest l"angle de rotation de
Rpar rapportR1.
10.4.2Théorème du moment cinétique
10.4.2.1Solide possédant un point fixe
Soit un solide possédant un point fixe, notéeC. D"après la relation précédente, on obtient, pour tout point
Mdu solide :
v (M)=-→ωR/R1?--→CM10.4.2.2Solide possédant un axe fixe
Le vecteur rotation instantanée est porté par l"axe fixe(Δ). En appliquant le théorème du moment
cinétique en un pointOde cet axe(Δ)et en projetant sur un vecteur unitaire-→eΔporté par ce axe, on
obtient : dσ(O)
dσ(O)·--→e(Δ)
dt=-----→M(O),ext·-→eΔ dσ(Δ) dt=M(Δ),extSaint Joseph - LaSalleCPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - - Établissement Saint Joseph - LaSalle78MÉCANIQUE DU SOLIDE
En posantJΔ=?
im iHiMipour un système discret ouJ(Δ)=? MH2dmpour un système continu,
les pointHiétant les projetés des pointsMidu solide (Hprojeté deM) sur l"axe fixe, ici(Δ), on a :
(Δ)=J(Δ)ω=J(Δ)θ J Δest appelé moment d"inertie du solide par rapport à l"axeΔ.On obtient alors :
dσ10.4.3Théorème de Huyghens
Soient(Δ)et(ΔG)deux droites parallèles distants ded,(ΔG)passant par le centre d"inertieGdu
système. On a alors : J (Δ)=J(ΔG)+M d210.4.4Théorème de l"énergie cinétique
10.4.4.1Énergie cinétique dans le cas général
Il faut utiliser le second théorème de Koenig : E c=E?c+12M V2(G)
10.4.4.2Énergie cinétique d"un solide possédant un point fixe
Soit un solide possédant un point fixe, notéC. On obtient, en partant de l"expression générale de l"énergie
cinétique, et du champ de vitesses, la relation suivante : E c=12--→σ
(C)·-→ω10.4.4.3Énergie cinétique d"un solide possédant un axe fixe
Soit un solide possédant un axe fixe, notéΔ. On obtient alors : E c=12J(Δ)ω2
10.4.4.4Énergie cinétique d"un solide en translation
Dans le cas d"un solde en translation, tous les points du solide ont même vitesse, celle du centre d"inertie,
et on a alors : E c=12M v2(G)
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Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle10.5 Contact entre deux solides79
10.5Contact entre deux solides
10.5.1Types de mouvements relatifs
Il existe trois types de mouvements relatifs :
mouvement de translation,
mouvement de rotation,
mouvement de roulement.
10.5.2Vitesse de glissement
On considère deux solides en contact. À un instant t donné, onsuppose que les pointsI1, du solide1, etI2,
du solide2, sont en contact. On obtient l"expression de la vitesse de glissement, noté-→vg:10.5.3Lois de Coulomb pour le glissement
Considérons un contact. La réaction-→Rpeut se décomposer en deux forces : -→T: la force de frottement,-→N: la réaction normale au support.
10.5.3.1En l"absence de glissement
En l"absence de glissement, on a :
Oùf0est le coefficient de frottement statique.
10.5.3.2Avec glissement
S"il y a glissement, on a :
-→T?=f?-→N?Oùfest le coefficient de frottement dynamique.
On pourra noter que le coefficient de frottement dynamique est inférieur au coefficient de frottement sta-
tique :f < f0.Dans la vie courante, on peut remarquer qu"il est plus facilede pousser un objet lourd sur le sol une fois
que son mouvement est amorcé.