Mécanique du solide - Unisciel
Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier _____ 15 On considère un point M rigidement lié au solide ; on note Ω = Ω r r RS / R le vecteur vitesse angulaire instantanée du référentiel (R S) par rapport à (R), qui est a priori une fonction vectorielle du temps
Cours de Mécanique du Solide - UCD
MÉCANIQUE DU SOLIDE Par I Mrani Année 2018-2019 Plan du cours Géométrie vectorielle Les torseurs Cinématique du solide Cinématique de contact de deux solides
Mécanique du solide - F2School
Mécanique du solide Bougarfa Latifa Page 3 Le moment en B est nul si On sait que le support du glisseur est l’ensemble des points où le moment est nul, et qu’il est parallèle à la résultante, donc le support de ce glisseur est parallèle à l’axe OY, de sens contraire à celui-ci, et passe par le point B(x= ) Exercice 3
Mécanique du solide Salle - AlloSchool
78 MÉCANIQUE DU SOLIDE En posant J∆ = X i miHiMipour un système discret ou J(∆) = Z MH2 dmpour un système continu, les point Hiétant les projetés des points Midu solide (Hprojeté de M) sur l’axe fixe, ici (∆), on a : σ(∆) = J(∆) ω= J(∆) θ˙ J∆ est appelé momentd’inertie du solide par rapport à l’axe ∆ On
MP MP* PT PT* et des systèmes Mécanique du solide
que la mécanique relativiste restreinte et générale devi ennent nécessaires Le modèle du solide (au sens de syst ème indéformable idéal) joue un rôle particulier mais extrêmement importan t
MECANIQUE DU SOLIDE - WordPresscom
En pratique, pour la résolution d'un problème de mécanique du solide avec frottements, on formule une hypothèse (adhérence ou glissement), on calcule les composantes de l'action de contact en tenant compte des autres forces s'appliquant au solide et on cherche à voir si les lois de Coulomb
Mécanique du solide rigide Dynamique du solide
Mécanique du solide rigide – Dynamique du solide Page 5 sur 61 3 - Eléments cinétiques d'un solide De la même manière, on peut définir les éléments cinétiques du solide, dans le référentiel galiléen , dans le tableau suivant : 4 - Torseur cinétique, théorème de Koenig Soit un solide de masse volumique et un référentiel
Mécanique du solide rigide Comportement cinématique des
Mécanique du solide rigide – Comportement cinématique des systèmes mécaniques Page 4 sur 74 1 – 2 Repère de temps : En mécanique, le temps est considéré comme absolu et uniforme ( chaque fraguement de temps est identique
Mécanique des systèmes de solides indéformables
Mécanique des systèmes de solides indéformables M BOURICH 11 2 - Espace métrique Un espace métrique est un espace affine auquel on a associe un espace vectoriel euclidien Pour la suite du cours, on désignera par l’espace métrique associé à un espace vectoriel euclidien E de dimension 3
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PC PC*MP MP*PT PT*
| Classe | prépaMécanique du solide
et des systèmes||Jean-Claude Hulot
Professeur en classes préparatoires
Marc Venturi
Professeur de chaire supérieure
en classes préparatoires au lycée Carnot à Dijon© Nathan,classe prépaCet ouvrage fait partie de la collection " Classe prépa », une collectiond'ouvrages simples et accessibles couvrant l'ensemble des programmes
des classes préparatoires aux Grandes Écoles scientifiques. Élaborée pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés, cette collec- tion est basée sur une approche pragmatique des programmes. Ainsi, chaque chapitre est constitué de cinq rubriques : • Retenir l'essentiel qui reprend les notions indispensables du cours et indique des conseils pour éviter les erreurs les plus fréquentes ; Avant la colle qui regroupe des QCM et des exercices d'application immédiate pour vérifier les connaissances ; Savoir résoudre les exercices qui, sur la base d'exercices " classiques », permet aux élèves de développer les méthodes indispensables en prépa : analyse de l'énoncé, démarche à suivre, réflexes à acquérir... terie d'exercices ; mentés.Coordination éditoriale : Isabelle Ravilly
Relecture : Fanny Morquin
Composition : Softwin
Couverture : Marie-Astrid Bailly-Maître
Maquette intérieure : Thierry Méléard
© Nathan, 2009 - ISBN 978-2-09-160920-1
© Nathan,classe prépa
Avant-propos
La mécanique a non seulement pour but de décrire les mouvements des objets mais aussi d'en comprendre les causes (les forces). Les lois fondamen- tales de la mécanique newtonienne, associées à des modèles de forces, four- nissent les équations nécessaires à la compréhension et à la prévision des mouvements. Le domaine de validité des lois newtoniennes est vaste. Il s'étend des systè- mes ayant pour dimension celle de quelques molécules aux distances astro- nomiques entre les galaxies, à plusieurs centaines de millions d'années- lumière de la Terre, et englobe en particulier l'échelle des phénomènes de taille humaine. En dehors de ces domaines et pour quelques systèmes parti- culiers (superfluides, supraconducteurs...), la mécanique quantique ainsi que la mécanique relativiste restreinte et générale deviennent nécessaires. Le modèle du solide (au sens de système indéformable idéal) joue un rôle particulier mais extrêmement important. Les systèmes indéformables (ou quasi indéformables) sont fréquents autour de nous. La mécanique de ces objets acquiert ainsi un intérêt concret et directement utile. Même si les phénomènes en jeu nous semblent familiers (les forces de con- tact par exemple), leur compréhension et leur description mathématique restent difficiles. Loin d'être évident, le mouvement des objets ou la cause de ces mouvements restent parfois hors du " sens commun » et de l'intui- tion. Dans cet ouvrage destiné aux élèves de seconde année de CPGE, on rap- pelle dans le cours tous les théorèmes et relations au programme. Les exer- cices proposés sont issus pour la plupart d'écrits et d'oraux de concours d'entrée aux Grandes Écoles. Que ces exercices soient des vérifications et applications directes du cours ou qu'ils permettent de vérifier sa maîtrise et de s'entraîner, leur correction est toujours explicite et détaillée. Nous espérons que les étudiants trouveront ici les moyens de se familiariser avec les lois de la mécanique des systèmes. Nous voulons remercier très chaleureusement Philippe Fleury pour ses con- seils et ses remarques toujours judicieux et constructifs, les éditions Nathan, et tout particulièrement Isabelle Ravilly pour ses travaux d'éditions.Jean-Claude Hulot
Marc Venturi
© Nathan,classe prépa
Sommaire
Avant-propos ......................................................................................................... 3
1Le centre de masse des systèmes matériels
1 - Définition et propriétés du centre de masse ............................................... 7
2 - Les symétries des systèmes matériels .......................................................... 11
savoir résoudre les exercices ........................................................................ 15
corrigés .......................................................................................................... 18
2Cinématique du solide
1 - Champ des vitesses d'un solide ................................................................. 23
2 - Cas particuliers de mouvements d'un solide ............................................. 24
3 - Contact entre deux solides ....................................................................... 26
4 - Rappel des lois de composition des vitesses
et des accélérations ........................................................................................
28savoir résoudre les exercices ........................................................................ 33
s'entraîner ..................................................................................................... 36
corrigés .......................................................................................................... 37
3La résultante et le moment cinétiques
1 - La résultante cinétique ............................................................................. 41
2 - Le moment cinétique ............................................................................... 43
3 - Théorème de Koenig ................................................................................ 44
savoir résoudre les exercices ........................................................................ 49
s'entraîner ..................................................................................................... 52
corrigés .......................................................................................................... 54
4Moment cinétique d'un solide
1 - Moment d'inertie d'un système par rapport à un axe .............................. 61
2 - Moment cinétique d'un solide en un point d'un axe de rotation ............ 63
3 - Moment cinétique d'un solide
par rapport à un axe de rotation ...................................................................
65savoir résoudre les exercices ........................................................................ 72
s'entraîner ..................................................................................................... 81
corrigés .......................................................................................................... 83
5Les actions sur un système
1 - La résultante des actions .......................................................................... 91
2 - Le moment des actions ............................................................................ 94
3 - Exemples d'actions sur des systèmes ......................................................... 96
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 103
s'entraîner ................................................................................................... 108
corrigés ........................................................................................................ 113
6Énergie cinétique d'un système matériel
1 - Définition et expressions de l'énergie cinétique ..................................... 125
2 - Le second théorème de Koenig ............................................................. 127
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 131
© Nathan,classe prépa
s'entraîner ................................................................................................... 138
corrigés ........................................................................................................ 141
7Les travaux des actions sur un système - Énergie potentielle
1 - Puissance et travail d'un système de forces ............................................. 147
2 - Puissance et travail des actions exercées sur un solide ............................ 149
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 155
s'entraîner ................................................................................................... 159
corrigés ........................................................................................................ 162
8Théorème de la résultante cinétique
1 - Le théorème de la résultante cinétique ................................................. 171
2 - La loi de conservation de la résultante cinétique ................................... 172
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 176
s'entraîner ................................................................................................... 185
corrigés ........................................................................................................ 188
9Théorème du moment cinétique
1 - Théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel (rappel) .... 195
2 - Théorème du moment cinétique des systèmes matériels ........................ 196
3 - Théorème du moment cinétique scalaire ............................................... 197
4 - Conservation du moment cinétique ...................................................... 198
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 202
s'entraîner ................................................................................................... 211
corrigés ........................................................................................................ 213
10Théorème de l'énergie cinétique
1 - Système fermé de points matériels .......................................................... 221
2 - Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide .......................... 222
3 - Système de solides .................................................................................. 224
4 - Énergie potentielle et énergie mécanique ............................................. 225
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 231
s'entraîner ................................................................................................... 237
corrigés ........................................................................................................ 239
11Actions de contact
1 - Description des actions de contact ......................................................... 249
2 - Les lois de Coulomb du frottement ....................................................... 251
3 - Puissance des actions de contact ............................................................ 254
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 257
s'entraîner ................................................................................................... 262
corrigés ........................................................................................................ 269
Index ....................................................................................................................... 287
© Nathan,classe prépa
© Nathan,classe prépa
1 - Le centre de masse des systèmes matériels
retenir l'essentiel 7Le centre de masse
des systèmes matériels Une notion très importante en physique est celle de centre de masse. Ainsi dans un réfé- rentiel galiléen, le centre de masse d'un système isolé a un mouvement rectiligne et uni- forme, alors que ce n'est généralement pas le cas d'un point quelconque du système. Plus généralement, on montrera dans les chapitres suivants que les lois du mouvement du cen- tre de masse sont relativement simples à écrire.1Définition et propriétés du centre de masse
1.1.La masse
La masse est une grandeur physique qui, en physique newtonienne, a les propriétés suivantes : - elle est strictement positive ; - elle est additive : on peut sommer les masses de sous-systèmes disjoints (on dit que la masse est une grandeur extensive) ; - elle est conservée au cours du temps, quand le système est fermé ; - elle garde la même valeur dans tous les référentiels (on dit que c'est une grandeur inva- riante). En outre, c'est l'une des grandeurs fondamentales du Système International d'unités (SI). L'unité SI de masse est le kilogramme (kg). L'étalon international du kilogramme est con- servé au Bureau international des poids et mesures, à Sèvres. 1.2.Le modèle du point matériel
Le point matériel est le système physique le plus simple, c'est-à-dire celui dont l'état com-
plet est décrit avec le plus petit nombre de paramètres. Ce nombre se réduit à trois variables
réelles, les trois coordonnées de position dans l'espace ( dans une base cartésienne ou dans une base cylindrique par exemple). Il ne faut pas confondre un point matériel avec un système ponctuel. Ce dernier peut pos-séder d'autres paramètres d'état qui en font un système plus complexe qu'un point matériel.
xyz,,() rθz,,()Remarque
Par exemple, un dipô-
le électrostatique ponc- tuel possède, en plus de sa position et de sa masse, un vecteur mo- ment dipolaire électri- que. L'état complet du dipôle nécessite de connaître l'orientation de son moment dipo- laire. MP© Nathan,classe prépa
retenir l'essentiel Mécanique du solide et des systèmes PC, MP, PT - © Nathan, Classe prépa 81.3.Les systèmes de points matériels
1.3.1.Masse d'un système de points matériels
On considère un ensemble de N points matériels indicés par de masse respective Cet ensemble forme le système de points matériels : La description de l'état complet du système de N points matériels nécessite donc3Ncoordonnées de position (3 pour chaque vecteur position ) et N masses.
On définit la masse M de l'ensemble du système grâce à la propriété d'additivité des
masses :1.3.2.Le centre de masse d'un système de points matériels
Définition: le centre de masse (ou centre d'inertie) G d'un système matériel est le point géométrique G tel que : Il s'agit donc du barycentre des points matériels, pondérés par leur masse. Une expression plus utilisée pour déterminer explicitement la position de G est celle qui fait intervenir un point particulier du repère d'espace, son origine O le plus souvent. Dans ce cas, on montre que : 1.4.Propriétés du centre de masse
1.4.1.Coordonnées du centre de masse
Soit un système d'axes Ox, Oy et Oz définissant une base cartésienne de l'espace. La base vectorielle associée est orthonormée directe. Soient les trois coordonnées cartésiennes du centre de masse G du système Alors Soient les trois coordonnées cartésiennes de chaque point matériel du sys- tème. Alors, les coordonnées de G sont données par :Pi,i1...N,,,=
mi.S()S()Pimi,()i1...N,,()?,{}=
S() OPi S() Mmi i1=N=Remarque
Cette définition est
intrinsèque. Elle ne fait intervenir que les positions des points matériels de et leur masse, indépen- damment de tout système de coordon- nées. G est unique, sous réserve que la masse M du système soit non nulle, ce qui est le cas des systè- mes physiques en mécanique newto- nienne. S()S()Pimi,()i1...N,,()?,{}=
miGPi i1=N0= OG1M-----miOPi
i1=N= exeyez,,() xGyGzG,,()S().OG xGexyGeyzGez++=.
xiyizi,,()Pi xG1M-----mixi
i1=N= y G1M-----miyi
i1=N z G1M-----mizi
i1=N© Nathan,classe prépa
91.4.2.Associativité du centre de masse
On est souvent amené, par commodité des calculs par exemple, à décomposer un système complexe en plusieurs sous-systèmes plus simples Sur la figure 1, est formé de la réunion de trois sous-ensembles disjoints. Soit un système matériel formé de sous-systèmes matériels, notés à Utilisons l'indice entier j pour indicer ces sous-systèmes : Soit le centre de masse du sous-système et la masse de ce sous-système. Soit G le centre de masse du système matériel et M sa masse totale :Soit O un point de l'espace.
Alors on a :
1.5.Les systèmes continus
1.5.1.Le centre de masse d'un système tridimensionnel
Un système de volume V, de masse M, est découpé (par la pensée) en éléments maté-
riels de volume δV et de masse δm. Chaque élément est repéré et distingué des autres par
son centre de masse P. On notera donc les volume et masse et pour les distinguer entre eux (fig. 2). On définit la masse volumique moyenne de l'élément matériel : Lorsque l'élément de volume δV tend vers 0, on obtient la masse volumique locale : La relation précédente peut se noter de manière équivalente . Pour la détermination du centre de masse d'un système matériel composé, cha- que sous-système est équivalent à un seul point matériel : son centre de masse affecté de la masse du systèmeS()s().S()
Fig. 1
(S )(s 1) (s 3)(s 2)S()N′s1()sN′().
j 1 ...N′.,,=Gjsj()mjmsj()=
S()Mmj
j 1=N=. OG1M-----mjOGj
j1=N′= S() sj() Gjmj. S()δVP()δmP()
Fig. 2
PδVδV
(P )δm δm (P )V P(SρP()ρP()δmP()
δVP()----------------.=
ρP()δm
δV-------
δV0→limdm
dV--------== dmρP()dV=© Nathan,classe prépa
- © Nathan, Classe prépa10Le symbole de sommation discrète Σ, qui utilise des indices entiers, est remplacé par le
symbole qui décrit une sommation continue sur un ensemble de points P du volumeV qui définit le système
La masse totale s'exprime alors par : et le centre de masse G est défini par : De même, les coordonnées de G s'obtiennent en projetant cette expression vectorielle sur une base cartésienne telle que les coordonnées du point P soient : Les cas bidimensionnel et unidimensionnel sont traités en exercice.1.5.2.Les théorèmes de Guldin
Les théorèmes de Guldin, mathématicien suisse (1577-1643) contemporain de Galilée, per- mettent, dans certains cas, une détermination rapide de la position du centre de masse.Ils s'énoncent de la façon suivante.
Premier théorème de Guldin
Soit une courbe plane, de masse linéique
λ uniforme, de longueur L, de centre de masse
G (fig. 3).
Soit Δ un axe ne coupant pas La rota-
tion de autour de Δ engendre une surface d'aire S.Alors la distance d de G à l'axe Δ est .
Second théorème de Guldin
Soit une surface plane, de masse surfaci-
que σ uniforme, d'aire S, de centre de masseG (fig. 4).
Soit Δ un axe ne coupant pas La rota-
tion de autour de Δ engendre un volume V.Alors la distance d de G à l'axe Δ est .
V S(). MdmV= OG1M----OPdmV
1M----ρP()OPdVV==
xyz,,() xG1M-----ρP()xdVV=
y G1M-----ρP()ydVV
z G1M-----ρP()zdVV
dS2πL----------=
Fig. 3
L Gd dV2πS----------=
Fig. 4
(?) d G V© Nathan,classe prépa
111.5.3.Enveloppe convexe (ou minimale) d'un système de points
Définitions:
- Dans le cas d'un système plan, l'enveloppe mini- male du système est la courbe de plus petite lon- gueur contenant tous les points (fig. 5). - Dans le cas d'un système à trois dimensions, l'enveloppe minimale est la surface de plus petite aire contenant tous les points.2Les symétries des systèmes matériels
2.1.Invariance d'un système
Soit un système matériel décrit par le champ de masse volumique La transformation T laissant le système invariant est aussi appelée symétrie du sys- tèmeCouramment, les symétries des systèmes matériels sont constituées par, outre l'élément
neutre, les opérations suivantes : - les translations ; -les rotations; - les symétries planes (opération miroir) et ponctuelles (inversion). 2.2.