TD 9 : Chaînes de Markov Corrigé
Solution de l’exercice 3 1 Soit i 0 Par la propriété de Markov forte, conditionnellement à F T i, le processus (S T i+n) n 0 a la loi d’une marche simple issue de i, donc Se= (S T i+n i) n 0 est une marche simple sur Z conditionnellementàF T i Deplus,ona T i+1 T i = minfn 0jSe n = 1g; donc conditionnellement à F T i, la variable T i+1
TD 5 : Chaînes de caractères
Exercice 2 Écrire une fonction int nombre_espaces( char ∗ s) qui renvoie le nombre de carac- tères "espace" présents dans la chaîne s Utilisez la fonction char ∗strchr( const char ∗s, int c) qui renvoie l'adresse de la première
Initiation aux processus : Chaînes de Markov (solutions)
Initiation aux processus : Cha^ nes de Markov (solutions) Fabrice Rossi 18 f evrier 2003 1 Espace d’ etat ni 1 1 Exercice 1 1 1 1 Question 1 Pour repr esen ter la cha^ ne, on choisit de num eroter les etats de 1 a 3, dans l’ordre des lignes (ou des
Corrigé de l’examen du 18 avril 2013 (durée 2h)
n 1 sont des suites de v a indépendantes par indépendance des v a X n On a de plus par la question précédente en calculant les lois marginales que P(Y1 1 = 1) = P(Y1 1 = 1) = 1=2, et de même pour Y n 2, ce qui donne et la loi des v a et l’indépendance des deuxsuites f)Lasuite(R1 n) estdoncunesuitedev a i i d deloi 1 2 1 + 1 2
Feuille d’exercices &# 3 : Chaînes de Markov
Exercice 8 Quand les vaches ne regardent pas les trains Sur une route, en moyenne, trois camions sur quatre sont suivis par une voiture, tandis que seule une voiture sur cinq est suivie par un camion Déterminer les proportions de voitures et de camions sur cette route Exercice 9 Un autre exemple de chaîne météo
Corrigé de l’examen du 26 avril 2012 (durée 2h)
UniversitéPaulSabatier(Toulouse3) MagistèreÉconomisteStatisticien M1-Processus Année2011–2012 Corrigé de l’examen du 26 avril 2012 (durée 2h
Série d’exercice Corrigé Préparé par : Zouari Lazhar
(n étant un entier de l’intervalle [15, 30]) Exercice N° 21 Ecrire un programme Pascal permettant de chercher puis d’afficher la plus grande valeur d’un tableau T contenant n entiers (5 ≤ n ≤ 20) ainsi que son indice Dans le cas d’ex aequo, on affiche l’indice de la première occurrence Exercice N° 22
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1 Le vélo: transmission par chaine Exercice 2: Coloriez (avec des couleurs différentes) les 6 éléments du système de transmission (vélo sans vitesses) Nommez ces éléments (aidez vous de l'exercice 1 du TP sur le freinage) Pédale , manivelle, plateau , chaîne , pignon, roue arrière Page 1/4
Sujet du bac S Mathématiques Obligatoire 2017 - Pondichéry
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice 3 La chocolaterie vend un lot de 10 000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution Elle affirme au responsable achat de l’enseigne que, dans ce lot, 90 des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l’intervalle [81,7 ; 88,3]
MÉTHODE : COTATION FONCTIONNELLE – LES CHAINES DE COTES
2eme étape : Pour tracer la chaine de cote : - On part de la surface terminale à l’origine de « a » - On trace des cotes qui passent par les surfaces fonctionnelles - On revient sur la surface terminale à l’extrémité de « a » graphe de contact : S1 S3 1/2 2/3 a 1 3 a 1/2 2/3 S3 S1 Chaine de cotes : a3 a2 a2 a3 Vérification :
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Université Paul Sabatier (Toulouse 3) Magistère Économiste Statisticien
M1 - Processus Année 2012-2013
Corrigé de l"examen du 18 avril 2013(durée 2h)Documents et calculatrices interdits. Toute utilisation d"un résultat du cours devra être soigneusement
justifiée. Les trois exercices sont indépendants. Exercice 1 :On considère la matriceQde taille77suivante : Q=0 BBBBBBBB@1=5 0 2=50 0 0
0 8=9 0 0 1=9 0 0
3=4 0 0 0 0 1=4 0
0 0 0 0 0 0 1
0 1=8 0 0 0 0 7=8
0 0 0 0 0 1 0
0 0 1=9 0 8=9 0 01
CCCCCCCCA;
où0. a) P ourqu ellev aleurde ,Qest-elle une matrice stochastique? b) Soit (Xn)n0une chaîne de Markov associée à la matrice de transitionQ, pour la valeur detrouvée à la question 1). Dessiner le graphe de(Xn)n0en précisant les probabilités de transition
entre les différents états. c) Détermin erles classes d"états récurren tset transitoires. d)La c haîneest-elle irréductible ?
e)Calcul erP1(X2= 3),P7(X2= 4)etP5(X2= 5).
Exercice 2 :Soitun paramètre tel que0< <1. On considère la suite de variables aléatoires (Xn)n0définie parX0=xp.s. avec0< x <1, et pour toutn0, X n+1=Xn+ (1)"n+1; où("n)n1est une suite de v.a. à valeurs dansf0;1gp.s. et vérifiantE(f("n+1)jFn) =Xnf(1) + (1Xn)f(0);
pour toute fonction borélienne positivef, et où(Fn)0est la filtration naturelle de(Xn)n0,i.e. F n=(X0;X1;:::;Xn)(c"est-à-dire que conditionnellement àFn,"n+1suit une loi de Bernoulli de paramètreXn). a) Vérifier que p ourt outn0, on a bien0< Xn<1p.s. b)Mon trerque (Xn)n0est une(Fn)n0-martingale.
c) Mon trerqu e(Xn)n0converge dansL2et presque sûrement vers une certaine v.a. que l"on notera X 1. d)Mon trerque p ourtout n0, on a
E (Xn+1Xn)2= (1)2EXn(1Xn): Indication : Commencer par calculerE("2n+1)etE(Xn"n+1) en conditionnant parFn. e)En déduire qu eE(X1(1X1)) = 0.
f)Déter minerla loi de X1.
1 Exercice 3 :On considère une marche aléatoire simple surZ2. Pour cela, soit(Xn)n1une suite de variables aléatoires surZ2indépendantes et identiquement distribuées, de loi P(X1= (1;0)) =P(X1= (1;0)) =P(X1= (0;1)) =P(X1= (0;1)) =14 On définit la marche aléatoire(Sn)n0surZ2parS0= (0;0)etSn=Pn i=1Xi, pour toutn1. Pour un vecteurdeZ2, on note= (1;2)ses coordonnées surZ. a) Mon trerque (Sn)n0est une chaîne de Markov surZ2. b) Mon trerque les suites (X1n)n1et(X2n)n1sont deux suites de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées surZ, de loi14 1+14 1+12 0: c) A-t-on indép endanceen trele ssuites (X1n)n1et(X2n)n1? d) On in troduit,p ourtout n, les v.a.Y1n=X1n+X2netY2n=X1nX2n, etR1n=S1n+S2net R2n=S1nS2n, de telle sorte queR1n=Pn
i=1Y1ietR2n=Pn i=1Y2i. Calculer le loi jointe de (Y1n;Y2n). e) En déduire que (Y1n)n1et(Y2n)n1sont deux suitesindépendantesde v.a. indépendantes et identiquement distribuées surZde loi12 1+12 1. f)Mon trerque P(R12n= 0) =P(R22n= 0) =2n
n 12 2n. g)En déduire P(S2n= (0;0)).
h)Que v autP(S2n+1= (0;0))?
i) Mon trerque (0;0)est récurrent.On pourra utiliser la formule de Stirling :n!+1nnenp2n.Solution de l"exercice1.
a) Il faut que la s ommedes co efficientsde la pr emièreligne soit éga leà 1, d"où = 2=5. b)On obtien tle graphe suiv ant: 136
47522/5
= 2=53/41=411/98/91/8
7/81/91/51
8/9 c) Du graphe, on obtien tqu"il y a une classe récurren tef6g, et une classe transientef1;2;3;4;5;7g. d)Non, sinon e llen"admettrai tqu"une seule classe.
e)La loi de X2sousPxest donnée parPx(X2=y) =P
zQ(x;z)Q(z;y), d"où P1(X2= 3) =Q(1;1)Q(1;3) = 2=25
P7(X2= 4) = 0
P5(X2= 5) =Q(5;7)Q(7;5) +Q(5;2)Q(2;5) = 7=88=9 + 1=81=9 = 57=72 = 19=24:
2Solution de l"exercice2.
a) P arh ypothèse0< X0<1. Supposons par récurrence que0< Xn<1. Alors comme0< <1 et que"n+1est à valeurs dansf0;1g, on aXn+1>0etXn< + 1= 1. b)Xnest évidemmentFn-mesurable, et dansL1car bornée par la question précédente. Alors,E(Xn+1jFn) =E(Xn+ (1)"n+1jFn)
=Xn+ (1)E("n+1jFn)carXnestFn-mesurable =Xn+ (1)Xnpar définition de"n+1 =Xn:Donc(Xn)n0est bien une(Fn)n0-martingale.
c) Comme 0< Xn<1,(Xn)nest une martingale positive bornée dansL2(et aussi dansL1),i.e. sup nE(jXnj2)<1, elle converge donc p.s. et dansL2. d) On aE((Xn+1Xn)2) =E((XnXn+ (1)"n+1)2)
= (1)2E(X2n) + (1)2E("2n+1)2(1)2E(Xn"n+1): Or, commeE("2n+1) =E(E("2n+1jFn)) =E(Xn)et de mêmeE(Xn"n+1) =E(XnE("n+1jFn)) = E(X2n), on obtient bien le résultat demandé. e) Comme Xnconverge dansL2, elle est de Cauchy pour la normeL2(l"espaceL2étant complet), et doncE((Xn+1Xn)2)!0(on peut aussi appliquer le théorème de convergence dominée). De plus par convergence dominée, on aE(Xn(1Xn))!E(X1(1X1)), d"où le résultat. f) Comme X1(1X1)2[0;1]p.s., etE(X1(1X1)) = 0, on aX1(1X1) = 0p.s., c"est-à-dire X1=0 ou 1 p.s. DoncX1suit une loi de Bernoulli de paramètreE(X1) = limn!1E(Xn) =x
carXnest une martingale.Solution de l"exercice3.
a) Soien tx1;:::;xn+12Z2tels queP(S1=x1;:::;Sn=xn)>0. Alors, P(Sn+1=xn+1jS1=x1;:::;Sn=xn) =P(Sn+Xn+1=xn+1jS1=x1;:::;Sn=xn) =P(xn+Xn+1=xn+1jS1=x1;:::;Sn=xn) =P(Xn+1=xn+1xn); par indépendance entreXn+1et les v.a.S1;:::;Sn. De même,P(Sn+1=xn+1jSn=xn) = P(Xn+1=xn+1xn), et donc(Sn)nest une chaîne de Markov. b) On v oitque (X1n)est une suite de v.a. i.i.d. car(Xn)l"est. Pour déterminer la loi, on calcule :P(X11= 1) =P(X1= (1;0)) = 1=4
P(X11=1) =P(X1= (1;0)) = 1=4
P(X11= 0) =P(X1= (0;1)) +P(X1= (0;1)) = 1=2:
On obtient de même pour la suite(X2n).
c) Les suites (X1n)et(X2n)ne sont pas indépendantes, car par exempleP(X11= 0;X21= 0) = 06=P(X11= 0)P(X21= 0);
(si l"une des coordonnées est nulle, l"autre est forcément non nulle). 3 d)Les v.a. Y1netY2nsont à valeurs dansf1;1g, et on aP(Y11= 1;Y21= 1) =P(X1= (1;0)) = 1=4
P(Y11= 1;Y21=1) =P(X1= (0;1)) = 1=4
P(Y11=1;Y21= 1) =P(X1= (0;1)) = 1=4
P(Y11=1;Y21=1) =P(X1= (1;0)) = 1=4:
e) Les suites (Y1n)n1et(Y2n)n1sont des suites de v.a. indépendantes par indépendance des v.a. X n. On a de plus par la question précédente en calculant les lois marginales queP(Y11= 1) = P(Y11=1) = 1=2, et de même pourY2n, ce qui donne et la loi des v.a. et l"indépendance des deux suites. f) La suite (R1n)est donc une suite de v.a. i.i.d. de loi12 1+121, c"est-à-dire une marche aléatoire
surZ. Pour avoirfR12n= 0g, il faut que exactementnv.a.Y1isoient égales à+1etnv.a. égalesà1. Il y a2n
nchoix possibles de ces variables, on obtient donc par indépendanceP(R12n= 0) =2n
n 12 2n:De même pour la suite(R2n).
g) Les suites (R1n)et(R2n)étant indépendantes par la question e), on obtient P(S2n= 0) =P(R12n= 0;R22n= 0) =P(R12n= 0)P(R22n= 0) =2n n 2142n: h) La suite (Sn)ne pouvant revenir en l"origine en un nombre impair de pas, on aP(S2n+1= (0;0)) = 0. i)